Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

16.Graf Isomorfik (Isomorphic graph) Definisi Dua buah graf G 1 dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul- simpul.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "16.Graf Isomorfik (Isomorphic graph) Definisi Dua buah graf G 1 dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul- simpul."— Transcript presentasi:

1 16.Graf Isomorfik (Isomorphic graph) Definisi Dua buah graf G 1 dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul- simpul dan sisi-sisi kedua graf tersebut sedemikian sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G 1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G 2 juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G 2. Dari definisi diatas kita dapat menyederhanakan bahwa dua buah yang isomorfik adalah dua buah graf yang sama; hanya tampilan secara geometrik kedua graf tersebut kelihatan berbeda.

2 Contoh d e c b a d a e c b y x v w z

3 z y x w v e c b a d  a b e c d  w y z x v

4 Untuk memastikan bahwa dua buah graf isomorfik, kita dapat memeriksa matriks ketetanggaannya. Jika matriks ketetanggaanya sama, maka dipastikan bahwa kedua graf isomorfik. Sebelum menyusun matriks ketetanggaan, terlebih dahulu harus kita urutkan simpul-simpul pada G 2 mengikuti urutan simpul pada G 1 sesuai korespondensinya. a b e c d   w y z x v

5 d e c b a z y x w v

6 Graf G 1 (V 1, E 1 ) dan G 2 (V 2, E 2 ) dikatakan isomorfik jika: - Jumlah simpul dan sisi pada kedua harus sama. - Jumlah simpul yang mempunyai derajad tertentu harus sama. - Jika pada G 1, u 1 bertetangga v 1 dan w 1, sedangkan pada G 2, u 2 bertetangga v 2 dan w 2, maka derajad v 1 harus sama dengan v 2 dan derajad w 1 harus sama dengan dan w 2. - Terdapat korespondensi satu-satu V 1 ke V 2.

7 Contoh Tentukan apakah graf berikut isomorfik. c b d ef a st x wvu   s t w u v x  a b e c d f Karena kedua graf tidak berkorespondensi satu- satu, maka dikatakan bahwa kedua graf tidak isomorfik

8 Contoh Tentukan apakah graf berikut isomorfik.         a c h f g e d b         p r w u v t s q Gambar 1 Gambar 2

9 Pada Gambar 1, simpul a mempunyai derajad 2. Tetangganya b dan d mempunyai derajad masing- masing 3. Pada Gambar 2, simpul yang berkemungkinan berkorespondensi dengan simpul a pada Gambar 1 hanya q, r, u, atau v, karena masing-masing mempunyai derajad 2 (sama seperti simpul a). Akan tetapi tetangga dari q, r, u, dan v mempunyai derajad 3 dan 2, sehingga tidak mungkin simpul a pada Gambar 1 berkorespondensi dengan salah satu dari q, r, u, atau v pada Gambar 2.

10 Karena simpul a tidak berkoresponden dengan salah satu simpul pada Gambar 2, maka tidak ada korespondensi satu ke satu dari kedua graf tersebut. Selanjutnya disimpulkan bahwa Gambar 1 dan Gambar 2 tidak isomorfik

11 Contoh Tentukan apakah graf berikut isomorfik. Gambar 1 Gambar 2   a p f e c d b r u s t q

12 Kemungkinan korespondensi: a ke u atau r c ke u atau r b ke q atau s d ke q atau s e ke p atau t f ke p atau t a  b  c  d  e  f   p  q  r  s  t  u   a p f e c d b r u s t q

13 M G1 = M G2 =

14 Karena M G1 = M G2, graf pada Gambar 1 isomorfik dengan graf pada Gambar 2. Gambar 1   a f e c d b Gambar 2 p r u s t q

15 17. Graf Planar dan Graf Bidang Graf yang dapat digambar tanpa terjadinya perpotongan antar sisi disebut graf planar. Graf planar yang digambarkan tanpa ada perpotongan antar sisi disebut graf bidang. Graf bidang pasti merupakan graf planar. Graf planar belum tentu graf bidang.

16 Contoh Graf K 4 adalah Graf Planar p r s q p r s q

17 Contoh Graf K 6 bukan Graf Planar    

18 Contoh Graf K 3,3 bukan Graf Planar

19 18. Rumus Euler Sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region atau face) Jumlah wilayah pada bidang datar termasuk wilayah luar. Jumlah wilayah pada graf planar sederhana dapat dihituyng dengan rumus, n – e + f = 2 atau f = e – n + 2 n = jumlah simpul e = jumlah sisi

20 Contoh Tentukan jumlah wilayah pada graf planar berikut f = e – n + 2 = 11 – = 6 Jadi jumlah wilayah = 6  R1R1 R2R2 R3R3 R5R5 R4R4 R6R6 

21 19. Ketidaksamaan Euler Pada graf sederhana terhubung dengan f wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (dengan e > 2) berlaku ketidaksamaan: 2e  3f atau 2e/3  f Dari rumus Euler, f = e – n + 2 Sehingga: 2e/3  e – n + 2 2e/3 – e  – n + 2  – 1/3 e  – n + 2 1/3 e  n – 2  e  3n – 6 (ketidaksamaan Euler) Suatu graf dikatakan planar jika memenuhi ketidaksamaan Euler. Jika tidak planar maka graf dikatakan tidak planar.

22 Contoh Pada graf K 4 berikut, n = 4, e = 6. Tentukan apakah graf tersebut memenuhi ketidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(4) – 6 = 6 Karena e = 6, maka graf K 4 dikatakan memenuhi Ketyidaksamaan Euler e  3n – 6.

23 Contoh Pada graf K 5 berikut, n = 5, e = 10. Tentukan apakah graf tersebut memenuhi Ketidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(5) – 6 = 9 Karena e = 10 > 9, maka graf K 4 dikatakan tidak memenuhi ketidaksamaan Euler e  3n – 6. Artinya graf K 5 tidak planar

24 Perlu diketahui bahwa ketidaksaman Euler merupakan syarat perlu; bukan syarat cukup. Artinya jika suatu graf memenuhi ketidaksamaan Euler, belum tentu graf tersebut planar. Perhatikan contoh berikut!

25 Contoh Pada graf bipartit K 3,3 berikut, n = 6, e = 9. Tentukan apakah graf tersebut memenuhi ketidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(6) – 6 = 12 Didapat e = 9 < 12. Walaupun memenuhi ketidaksamaan Euler, kita telah mengetahui bahwa graf K 3,3 dbukan graf planar.

26 20. Graf Homeomorfik Dua graf G 1 dan G 2 dikatakan homeomorfik jika salah satu dari kedua graf tersebut dapat diperoleh dari graf yang lain dengan cara menyisipkan dan/atau membuang secara berulang-ulang simpul yang berderajad 2. G1G1 G2G2 G3G3 v x y Ketiga graf diatas adalah Homeomorfik satu sama lain. Graf G 2 didapat dengan menghilangkan simpul v pada G 1. Sedangkan G 3 didapat dari G 2 dengan Menambahkan simpul x dan y.

27 21. Teorema Kuratowski Menurut Kuratowski terdapat 2 jenis graf tidak planar, yaitu: 1.Graf Kuratowski pertama, yaitu graf lengkap yang mempunyai 5 buah simpul (K 5 ) adalah graf tidak planar. 2. Graf Kuratowski kedua, yaitu graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 buah sisi (K 3,3 ) adalah graf tidak planar.

28 Sifat graf Kuratowski: 1.Kedua jenis graf Kuratowski adalah graf teratur 2.Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak planar 3.Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkan menjadi graf planar 4.Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak planar dengan jumlah simpul minimum. Sedangkan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak planar dengan jumlah sisi minimum. Keduanya adalah graf tidak planar paling sederhana.

29 Teorema Kuratowski: Graf G adalah tidak planar jika dan hanya jika mengandung upagraf yang isomorfik dengan K 5 atau K 3,3 atau homeomorfik dengan salah satu dari keduanya.

30 Perhatikan graf berikut. Graf G mengandung upagraf G 1 yang isomorfik dengan graf K 3,3. Jadi G tidak planar a b c f e d a b c f e d G G1G1

31 f e d b a c f a c d b g g a bd c g f Graf G tidak planar karena upagrafnya G 1 isomorfik dengan K 3,3.

32 22. Graf Dual (Dual Graph) Misal terdapat graf bidang G. Kita dapat membuat dual dari graf G atau G* dengan cara: 1. Pada setiap wilayah atau muka f di G, buat sebuah simpul v* yang merupakan simpul untuk G*. 2. Untuk setiap sisi e di G, tarik sisi e* yang menjadi sisi untuk G* dan memotong sisi e tersebut. Sisi e* menghubungkan dua buah simpul v 1 * dan v 2 * (simpul-simpul di G*) yang berada pada muka f 1 dan f 2 yang dipisahkan oleh sisi e di G. Untuk sisi e yang salah satu simpulnya merupakan simpul yang mempunyai derajad 1, maka sisi e* merupakan sisi gelang.

33 Contoh Gambarkan dual dari graf berikut!   

34 Contoh Gambarkan dual dari graf berikut!     

35 Contoh Gambarkan dual dari graf berikut! e4e4 e1e1 e7e7 e2e2 e6e6 e5e5 e3e3 e6*e6* e4*e4* e7*e7* e5*e5* e2*e2* e1*e1* e3*e3*    

36 Contoh Gambarkan dual dari graf berikut! e4e4 e1e1 e7e7 e2e2 e6e6 e5e5 e3e3 e6*e6* e5*e5* e4*e4* e7*e7* e2*e2* e1*e1* e3*e3*       e7*e7* e4*e4*  e5*e5* e6*e6* e1*e1* e2*e2* e3*e3* 

37 Contoh Gambarkan dual dari graf berikut! e4e4 e1e1 e2e2 e5e5 e3e3 e6e6 e7e7 e6*e6* e7*e7* e1*e1* e2*e2* e4*e4* e5*e5* e3*e3*    

38 Contoh Gambarkan dual dari graf berikut! e4e4 e1e1 e2e2 e5e5 e3e3 e6e6 e7e7 e6*e6* e7*e7* e1*e1* e2*e2* e4*e4* e5*e5* e3*e3*     e1*e1* e2*e2* e4*e4* e3*e3* e5*e5* e6*e6* e7*e7*   

39  2  8  1  3  4  7  6  5 Khusus untuk graf yang merepresentasikan peta, bidang luar tidak dinyatakan sebagai sebuah simpul

40 23. Lintasan Euler dan Sirkuit Euler Lintasan Euler adalah: Lintasan yang melalui masing-masing sisi pada suatu graf tepat satu kali. Sirkuit Euler adalah: Lintasan yang melalui masing-masing sisi pada suatu graf tepat satu kali dan kembali ke simpul awal. Graf yang memiliki sirkuit Euler dinamakan graf Euler (Eulerian Graph). Graf yang hanya memiliki lintasan Euler disebut graf semi-Euler (semi-Eulerian Graph).

41 Contoh ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ Lintasan Euler : 3 – 1 – 2 – 3 – 4 – 1 ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ Sirkuir Euler: 1 – 2 – 3 – 4 – 7 – 3 – 5 – 7 – 6 – 5 – 2 – 6 – 1

42 Teorema 23.1 Graf terhubung tak-berarah G adalah graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul di dalam graf tersebut berderajad genap. Contoh a b e d c Sirkuit Euler: a, e, c, d, e, b, a

43 Teorema 23.2 Graf terhubung tak-berarah G adalah graf semi-Euler (memiliki lintasan Euler) jika dan hanya jika di dalam graf tsb. terdapat tepat dua simpul berderajad ganjil Contoh a b e d c Lintasasn Euler : a, c, d, e, b, d, a, b

44 Teorema 23.3 Graf terhubung berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajad masuk dan derajad keluar yang sama. G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajad masuk dan derajad keluar yang sama, kecuali dua buah simpul, yaitu simpul pertama memiliki derajad-keluar satu lebih besar dari derajad masuk, dan yang kedua memiliki derajad-masuk satu lebih besar dari derajad keluar.

45 Contoh a ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸  b c d e f g Sirkuit Euler: a – g – c – b – g – e – d – f – a

46 23. Lintasan Hamilton dan Sirkuit Hamilton Lintasan Hamilton adalah: Lintasan yang melalui tiap simpul pada suatu graf tepat satu kali. Sirkuit Hamilton adalah: Lintasan yang melalui tiap simpul pada suatu graf tepat satu kali; kecuali simpul awal yang dilalui dua kali. Karena lintasan kembali ke simpul awal, maka simpul awal berfungsi juga sebagai simpul akhir. Graf yang memilki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton. Graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

47 Contoh (a)Graf yang memiliki lintasan Hamilton : 3, 2, 1, 4 (b)Graf yang memiliki sirkuit Hamilton : 1, 2, 3, 4, 1 (c)Graf yang tidak memiliki lintasan dan sirkuit Hamilton (a) (b) (c)

48 Teorema 23.4 (Teorema Dirac) Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n  3) sedemikian sehingga derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu d(v)  2 untuk setiap simpul v di G), maka G adalah graf Hamilton. Teorema 23.5 (Teorema Ore) Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n  3) sedemikian sehingga d(v) + d(u)  n untuk setiap pasang simpul tidak bertetangga u dan v, maka G adalah graf Hamilton Teorema 23.6 (Teorema Ore) Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton

49 Teorema 23.7 Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n  3) terdapat sebanyak (n – 1)!/2 sirkuit Hamilton. Teorema 23.8 Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n  3 dan n ganjil) terdapat (n – 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n  4 maka di dalam graf terdapat (n – 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.

50 24. Lintasan Terpendek Persoalan lintasan terpendek a. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul lainnya b. Lintasan terpendek antara dua buah simpul melalui simpul lainnya. Pembahasan dibatasi hanya pada persoalan a.

51 a.Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul lainnya Contoh 12.26

52  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3 

53  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3 

54  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3 

55  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  

56  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  

57  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  

58  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3   4 

59  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3   4 

60  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3    4 

61  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3    4 

62  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3   5   4 

63  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3   45 5   4 

64 atau dapat diselesaikan dengan cara:

65  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  0

66  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  0

67  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  0 L 3 = 10{1, 3}

68  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  0 L 3 = 10{1, 3}

69  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  0 L 3 = 10{1, 3} L 4 = min (l 1,4, l 1,3,4 ) = l 1,3,4 = 25{1, 3, 4}

70  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  0 L 3 = 10{1, 3} L 4 = min (l 1,4, l 1,3,4 ) = l 1,3,4 = 25{1, 3, 4}

71  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  0 L 3 = 10{1, 3} L 4 = min (l 1,4, l 1,3,4 ) = l 1,3,4 = 25{1, 3, 4} L 2 = min (l 1,3,4,2, l 1,3,2, l 1,2 ) = l 1,3,4,2 = 45{1, 3, 4, 2}

72  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  0 L 3 = 10{1, 3} L 4 = min (l 1,4, l 1,3,4 ) = l 1,3,4 = 25{1, 3, 4} L 2 = min (l 1,3,4,2, l 1,3,2, l 1,2 ) = l 1,3,4,2 = 45{1, 3, 4, 2}

73  2  015  10  320  015  4  20  035  5  300  6  3  0 L 3 = 10{1, 3} L 4 = min (l 1,4, l 1,3,4 ) = l 1,3,4 = 25{1, 3, 4} L 2 = min (l 1,3,4,2, l 1,3,2, l 1,2 ) = l 1,3,4,2 = 45{1, 3, 4, 2} L 5 = min (l 1,3,4,2, 5, l 1,3,4,5, l 1,3,5, l 1,5 ) = l 1,5 = 45{1, 5}

74  4 15  2 20  

75 25. Pewarnaan Graf (Graph Coloring) Pewarnaan graf mencakup pewarnaan simpul, sisi, dan wilayah (region). Materi kuliah hanya membahas pewarnaan simpul. Definisi 25.1 Pewarnaan simpul adalah memberi warna pada simpul-simpul pada graf, sedemikian sehingga setiap dua simpul bertetangga mempunyai warna yang berbeda. Persoalan pewarnaan graf bukan hanya memberi warna berbeda pada dua simpul yang bertetangga, Tapi diinginkan jumlah warna yang diperlukan sesedikit mungkin.

76 Jumlah warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai simpul disebut bilangan kromatik (chromatic number), disimbolkan dengan  (G). Suatu graf yang mempunyai bilangan kromatik k dilambangkan dengan  (G) = k. Graf berikut mempunyai bilangan kromatik  (G) = 3  Merah Kuning Hijau  

77 Bilangan kromatik beberapa jenis graf -Graf kosong  (G) = 1 -Graf lengkap K n  (G) = n -Graf bipartit K m, n  (G) = 2 -Graf lingkaran (simpul ganjil)  (G) = 3 -Graf lingkaran (simpul genap)  (G) = 2 Bilangan kromatik graf planar: Teorema 24.1 Bilangan kromatik graf planar tidak lebih dari 6 Teorema 24.2 Bilangan kromatik graf planar tidak lebih dari 5 Teorema 24.3 Bilangan kromatik graf planar tidak lebih dari 4

78  2  8  1  3  4  7  6  5

79  2  8  1  3  4  7  6  5

80 8   6 5  2     

81 8   6 5  2      Merah Hitam Hijau Kuning Merah Hijau Hitam Hijau Bilangan kromatik  (G) = 4

82 Contoh Misal terdapat 8 orang mahasiswa (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) dan lima buah mata kuliah yang dipilih (A, B, C, D, E). Matriks berikut menunjukkan mahasiswa i mengambil mata kuliah j. ABCDE

83 ABCDE  A  B  C  D  E

84 Contoh Tentukan jumlah warna minimum yang dibutuhkan untuk mewarnai simpul-simpul pada graf berikut!            

85 Contoh Tentukan jumlah warna minimum yang dibutuhkan untuk mewarnai simpul-simpul pada graf berikut!             Jumlah warna yang dibutuhkan adalah 3      

86 Latihan 1: Gambarkan dual graf dari peta berikut!

87  F  A  D  B  C  E

88  F  A  D  B  C  E D F A C E B  F  A  D  B  C  E

89 Latihan 2: Di suatu negara terdapat 7 stasiun televisi. Pemerintah menetapkan aturan bahwa dua stasiun televisi yang berjarak  150 km tidak boleh beroperasi pada saluran frekuensi yang sama. Tabel berikut adalah jarak antar stasiun televisi

90 Pertanyaan: a.Gambarkan graf yang memodelkan persoalan ini, dan jelaskan arti simpul dan sisi pada graf tersebut! b.Berapa jumlah minimum frekuensi yang dibutuhkan oleh ke tujuh stasiun televisi tersebut? Penyelesaian: 1   6  5 2   7 3  4  a.Simpul merepresentasikan stasiun televisi. Sisi merepresentasikan jarak dua stasiun  150 km b.Jumlah minimum frekuensi yang dibutuhkan =  (G) = 3

91


Download ppt "16.Graf Isomorfik (Isomorphic graph) Definisi Dua buah graf G 1 dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul- simpul."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google