Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB 6. INTEGRASI VEKTOR PENDAHULUAN Pada bab ini terdapat 4 sub-bab yg perlu diperhatikan Ke-4 sub-bab itu merupakan dasar dari Integrasi Vektor Empat.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB 6. INTEGRASI VEKTOR PENDAHULUAN Pada bab ini terdapat 4 sub-bab yg perlu diperhatikan Ke-4 sub-bab itu merupakan dasar dari Integrasi Vektor Empat."— Transcript presentasi:

1 BAB 6. INTEGRASI VEKTOR PENDAHULUAN Pada bab ini terdapat 4 sub-bab yg perlu diperhatikan Ke-4 sub-bab itu merupakan dasar dari Integrasi Vektor Empat sub-bab yg harus dipelajari meliputi : 1. Integral biasa vektor ⇨ integral tak-tentu dan tertentu 2. Integral Garis (Kurva) ⇨ integral suatu lintasan 3. Integral Permukaan ⇨ integral luas bidang datar 4. Integral Volume ⇨ integral isi bidang tertutup

2 6.1. INTEGRAL BIASA

3 Bila A adalah gaya F pada sebuah partikel yg bergerak sepanjang C maka integral garis ini menyatakan usaha yg dilakukan oleh gaya.

4 6.2. INTEGRAL GARIS

5

6 6.3. INTEGRAL PERMUKAAN

7 Integral-integral permukaan (luas) lainnya

8  Untuk menghitung integral permukaan (luas) akan lebih mudah

9 6.4. INTEGRAL VOLUME

10 Karena B merupakan balok yg melingkupi benda ruang G, maka integral volume :

11 Contoh soal Integrasi Vektor

12 Jawaban contoh soal Integrasi Vektor

13

14

15 4. B = 2xz i – x j + y2 k dan x = 0, y = 0, z = 4 dan z = x2

16 Latihan soal/PR

17 BAB.7. MATRIKS (Matrices) Pendahuluan  Matriks merupakan sederetan bilangan berbentuk persegi panjang yg diapit oleh sepasang kurung siku dan memenuhi aturan 2 tertentu yg diberikan oleh operasi ini. Sebagai contohnya : a b – Matriks a dapat dipandang sebagai matriks koefisien dari per-. samaan linier : 2x + 3y + 7z = 0 dan x – y + 5z = 0. bisa juga sebagai matriks lengkap persamaan linier tak-. homogen : 2x + 3y = 7 dan x – y = 5

18 Matriks b, dapat dianggap baris 2 nya sebagai koordinat titik (1,3,1) dan (4,7,6).  Matriks a 11 a 12 a 13 ….. a 1n. a 21 a 22 a 23 …. a 2n. ……………………… disebut matriks berordo m x n.. a m1 a m2 a m3 a mn  bilangan/fungsi a ij disebut elemen, contohnya : a 12, a 23 dst.  dalam penulisan subscript ganda, subscript pertama : baris dan. subscript kedua : kolom. Jadi semua elemen pada baris kedua. mempunyai 2 sebagai subscript pertama dan semua elemen pd. kolom kelima mempunyai 5 subscript kedua, dst.  Dalam menunjukkan sebuah matriks kadang dipakai sepasang tanda kurung ( ), garis tegak ganda | |, tapi umumnya digunakan kurung siku ganda [ ]

19 7.1. Matriks Bujur sangkar Bila m = n, (1,1) adalah bujur sangkar dan akan disebut matriks bujur sangkar berordo n atau sebuah matriks bujursangkat n. Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen a 11, a 22, … a mn disebut elemen diagonal. Jumlah elemen 2 diagonal matriks bujur sangkar A disebut trace A. Matriks Sama Dua matriks A = [a ij ] dan B = [b ij ] disebut sama, A = B, jika dan hanya jika keduanya berordo sama serta setiap elemen yg seletak sama, yaitu jika dan hanya jika : a ij = b ij dimana i = 1, 2, 3,…m dan j = 1, 2, 3,….n. Jadi dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika yg satu merupakan duplikat yg lainnya. Matriks Nol Matriks yg semua elemennya nol disebut matriks nol. Jadi A = 0

20 7.2. Jumlah dan Selisih Matriks Jika A = [a ij ] dan B = [b ij ],dua buah matriks m x n, maka jumlah atau selisih, A ± B didefinisikan sebagai matriks C = [c ij ], m x n, dengan tiap elemen C adalah jumlah atau selisih elemen A dan elemen B yg seletak. Jadi A ± B = [a ij ± b ij ]. Contoh : A = B = maka. A + B = (– 1) (– 3) = A – B = 2 – 2 2 – 3 3 – 1 0 – – (– 1) 1 – 2 4 – (– 3) = 3 – 1 7

21  Dua matriks berordo sama disebut bersesuaian untuk penjumlah- an atau pengurangan  Dua matriks berordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Contohnya : pada matriks a dan b di atas, tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.  Jumlah dari k buah matris A adalah suatu matriks yg berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yg seletak. Contoh : A = 1 – 2. 2 – 3 maka. 3 A = A 3 = A + A + A = 1 – – – 2 3 – 6. 2 – 3 2 – 3 2 – 3 = 6 – 9 – 5 A = – – 10 15

22 Dengan asumsi bahwa matriks A, B dan C adalah bersesuaian untuk penjumlahan, dapat dinyatakan : 1. A + B = B + A Hukum Komutatif 2. A + (B + C) = (A + B) + C Hukum Asosiatif 3. k (A + B) = kA + kB = (A + B) k 4. Terdapat suatu matriks D sedemikian sehingga A + D = B Hukum 2 ini merupakan hasil dari hukum aljabar elementer yg mengatur penjumlahan bilangan dan polinom.

23 7.3. PERKALIAN MATRIKS  Bila matriks A = [ a 11 a 12 a 13 …a 1m ] yg berordo 1 x m dan matriks B = b 11. b 21..…. b m1 yg berordo m x 1. Maka hasil kali AB = C [a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 12 b 31 + …… + a 1m b m1 ] yg berordo 1 x 1  Perhatikan bahwa operasinya adalah elemen baris dikalikan elemen kolom yg sepadan lalu hasilnya dijumlahkan. Contoh : A = a 11 a 12 B = b 11 b 12. a 21 a 22 b 21 b 22 a 31 a 32 maka A B = a 11 a 12 b 11 b 12. a 21 a 22 b 21 b 22 =. a 31 a 32

24 . A B = a 11 a 12 b 11 b 12. a 21 a 22 b 21 b 22 =. a 31 a 32. a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22. a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22. a 31 b 11 + a 32 b 21 a 31 b 12 + a 32 b 22  Hasil kali AB terdefinisi atau A bersesuaian terhadap B utk perkalian, hanya jika banyaknya kolom A sama dengan baris B. Bila A bersesuaian terhadap B utk perkalian, maka B tidak perlu bersesuaian terhadap A utk perkalian.  Dengan anggapan bahwa A, B, C bersesuaian utk jumlah dan hasil kali yg ditunjukkan, ada beberapa ketentuan : 5. A(B + C) = AB + AC Hukum Distributif 1 6. (A + B) C = AC + BC Hukum Distributif 2 7. A(B+C) = (AB)C Hukum Asosiatif

25 7.4. Hasil-kali Matriks dengan Partisi

26 Dalam sembarang partisi demikian diperlukan bahwa kolom 2 A dan baris 2 B dipartisi secara eksak dengan cara yg sama; tetapi

27 Contoh soal Matriks 1. Bila matriks A = dan B = Tentukan a. A + B. b. A – B 2. Jika diberikan matriks P = 1 2 dan Q = Hitunglah R sedemikian rupa sehingga P + Q – R = 0 ? 3. a. Bila matriks K = [ ] dan L = Tentukan K L ?

28 . 3b. Bila matriks K = [ ] dan L = Tentukan LK ? 3c. Bila matriks M = [ ] dan N = Tentukan MN ? 3d. Bila matriks O = dan P = Tentukan OP ? 3e. Bila matriks Q = dan R = Tentukan QR ?

29 . 4. Bila matriks A = dan B = Tentukan AB dan BA ? 5a. Bila matriks S = dan T = Tentukan ST dengan metode parsial ? 5b. Bila matriks U = dan V = Tentukan UV dengan metode parsial ?

30 Jawaban contoh soal Bab 7. Matriks = – = P + Q – R = a b – c d = e f – 3 – a = 0 2 – 2 – b = – c = 0. a = - 2 b = 0 c = 4. 4 – 5 – d = – e = – f = 0. d = - 1 e = 9 f = 9

31 Jadi R = a. KL = [ ] 4. 5 = [ 2(4) + 3(5) +(-1)(6) ] = [ 17 ]. 6 3b. LK = 4 [ ] = 4(2) 4(3) 4(-1) = (2) 5(3) 5(-1) (2) 6(3) 6(-1) c. MN = [ ] = = [ 3(4) + 2(0) + 1(5) 3(-6) + 2(-7) + 1(8) 3(9) + 2(10) + 1(-11) 3(6) + 2(7)+1(-8) ]. = [ ]

32 . 3d. OP = (1) + 3(2) + 4(3) = 1(1) + 5(2) + 6(3) = e. QR = (3) + 2(1) + 1(-2) 1(-4) + 2(5) + 1(2) = 4(3) + 0(1) + 2(-2) 4(-4) + 0(5) + 2(2) = EF = = = 1(1)+(-1)(2)+1(1) 1(2)+(-1)(4)+1(2) 1(3)+(-1)(6)+1(3). -3(1)+2(2)+(-1)(1) (-3)(2)+2(4)+(-1)(2) ( - 3)(3)+2(6)+(-1)(3) (-2)(1)+1(2)+(0)(1) (-2)(2)+(1)(4)+(0)(2) (-2)(3)+1(6)+(0)(3)

33 . = FE = = = 1(1)+(2)(-3)+3(-2) 1(-1)+(2)(2)+3(1) 1(1)+(2)(-1)+3(0). 2(1)+4(-3)+(6)(-2) (2)(-1)+4(2)+(6)(1) (2)(1)+4(-1)+(6)(0) (1)(1)+2(-3)+(3)(-2) (1)(-1)+(2)(2)+(3)(1) (1)(1)+2(-1)+(3)(0). = Jadi EF ≠ FE

34 5a. ST dengan metode Partisi : S 11 T 11 + S 12 T 21 S 11 T 12 + S 12 T ⩰ S 21 T 11 + S 22 T 21 S 21 T 12 + S 22 T [ ] [ 2 ] [ 1 0 ] [ 1 ] [ ] [ 1 0 ] 0 + [ 1 ] [ 2 ] [ ] + [ ] [ 0 ] + [ 2 ]

35 = [ ] [ 2 ] b.. UV dengan metode Partisi ⩰ [ U 11 V 11 U 12 V 21 ] [ ] =

36 SOAL LATIHAN/PR Bab 7. MATRIKS SOAL LATIHAN/PR Bab 7. MATRIKS 1. A = , B = dan C = Hitunglah : a. A + B = ? dan A – C = ?. b. D bila A – B + C = 0 ? 2. P = Q = R = Buktikan bahwa : PQ = PR 3. K = L = Hitunglah KL dengan metode Parsial ?

37 BAB 8. JENIS-JENIS MATRIKS Pendahuluan  Matriks dapat dibagi atas beberapa jenis, dalam SAP dibedakan atas 8(delapan) jenis  Ada delapan jenis matriks yg perlu dipelajari dalam kuliah Matriks yaitu yg akan dijelaskan secara singkat di bawah MATRIKS SATUAN - Matriks bujur-sangkar A yg elemen 2 nya a ij = 0 utk i ˃ j di-. sebut segitiga atas. - Matriks bujur sangkar A yg elemen 2 ny a ij = 0 utk i < j disebut. segitiga bawah. - Matriks diagonal

38 . a 11 a 12 a 13 …a 1n a … … a 22 a 23 … a 2n a 21 a 22 0 … … a 33 ….a 3n a 31 a 32 a 33 … … 0.. …,,,. …. …… …. …. …. …. … a nn a n1 a n2 a n3 … a nn.. a … a 22 0 … a 33 …. 0 = matriks diagonal = diag (a 11, a 22, a 33, …..a nn ). …. ….. ….. … a nn - Bila dalam matriks diagonal D, a 11 = a 22 = ….= a nn = k, D disebut matriks skalar. - Bila k = 1 matriks itu disebut matriks satuan atau matriks identitas, ditunjukkan oleh I n. Misalnya : I 2 = 1 0 I 3 =

39 8.2 MATRIKS BUJUR SANGKAR KHUSUS  Bila A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB = BA, maka A dan B disebut komutatif atau dapat saling dipertukarkan.  Bila A dan B sedemikian sehingga AB = – BA,maka matriks A dan B disebut anti-komutatif  Matriks A dengan sifat A k+1 = A dengan k bulat positif, disebut periodik  Bila k bilangan bulat positif terkecil utk mana A k+1 = A. maka A disebut berperiode k  Bila k = 1 sehingga A 2 = A maka A disebut idempoten  Matriks A utk mana A p =0 dengan p bilangan bulat positif disebut nilpoten  Bila p bilangan bulat positif terkecil utk mana A p = 0 maka A disebut nilpoten berindex p

40 8.4 TRANSPOSE MATRIKS  Matriks berordo m x m yg diperoleh dari penukaran baris dengan kolom matriks A, m x m disebut tanspose dari A dan dinyatakan oleh A. Misalnya :. A = ⇨ A’ = Perhatikan bahwa elemen a ij pada baris ke i dan kolom ke j dari A berada pada baris ke j dan kolom ke i dari A’.  Bila A’ dan B’ masing 2 transpose dari A dan B, dan jika k suatu skalar maka : a. (A’)’ = A b. (kA) = kA’ c. (A + B)’ = A’ + B’ d. (AB)’ = B’ · A’

41 8.3 MATRIKS BALIKAN (Matriks Invers)  Bila A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB = BA = I maka B disebut invers (balikan) dari A, B = A -1. Matriks B juga mempunyai invers, yaitu A, ditulis A = B -1 Misal : = = I  Jika A and B matriks bujur sangkar berordo sama dengan invers masing 2 A -1 dan B -1 maka (AB) -1 = B -1 A -1  Sebuah matriks sedemikian sehingga A 2 = I disebuat involuntari. Jadi matriks involuntari adalah balikannya sendiri. Misalnya matriks satuan.

42 8.5 MATRIKS SIMETRI Matriks A sedemikian sehingga A’ = A disebut simetri. Jadi suatu matriks bujur sangkar A = [a ij ] adalah simetri asalkan a ij = a ji untuk semua i dan j. Misalnya :. A = adalah simetri dan juga kA untuk sembarang skalar k.  Jika A matriks bujur sangkar berordo n maka A + A’ adalah simetri  Matriks bujur sangkar A sedemikian sehingga A’ = – A disebut simetri miring. Jadi suatu matriks bujur sangkar A adalah simetri miring a ij = – a ji untuk semua nilai i dan j. Dan elemen 2 diagonal nol. Misalnya :. A = adalah simetri miring dan juga kA utk sebarang k.

43 8.6 KONYUGAT SUATU MATRIKS

44

45 3. Konyugat jumlah dua matriks adalah jumlah konyugatnya, yaitu 3. Konyugat jumlah dua matriks adalah jumlah konyugatnya, yaitu

46 8.7 MATRIKS HERMITE

47 8.8 MATRIKS JUMLAH LANGSUNG Tetapkan A 1, A 2, …, A s masing 2 adalah matriks bujur sangkar berordo m 1, m 2, …,m s. A = A 1 0 … A 2 … 0 = diag (A 1, A 2, …A s ). ………… A s dari matriks diagonal disebut jumlah langsung dari A s. Contohnya : tetapkan A 1 = 1 2 dan A 2 = Jumlah langsung A 1, A 2, A 3 adalah diagonal (A 1, A 2, A 3 ) =

48 . =

49 Contoh soal Jenis Matriks 1. Buktikan bahwa matriks A = adalah idempoten ? Bila B = buktikan bahwa matriks B nilpoten berordo Diketahui matriks P = dan Q = Tentukan : a. PQ. b. P’Q’ (transpose P dikali transpose Q) ? 4. Jika K = 1 – 2i - i dan L = 2 – 2i i i 2 2 – 3i. Hitunglah :

50

51 Jawaban contoh soal Jenis2 Matriks = (2)+(-2)(-1)+(-4)(1) 2(-2)+(-2)(3)(-4)(-2) 2 ( -4)+(-2)(4)+(-4)(-3). -1(2)+3(-1)+4(1) -1(-2)+3(3)+4(-2) -1(-4) +3(4)+4(-3). 1(2)+(-2)(-1)+(-3)(1) 1(-2+(-2)(3)+(-3)(-2) 1(-4)+(-2)(4)+(-3)(-3). = B 2 = B B = = 1(1)+1(5)+3(-2) 1(1)+1(2)+3(-1) 1(3)+1(6)+3(-3). 5(1)+2(5)+6(-2) 5(1)+2(2)+6(-1) 5(3)+2(6)+6(-3). (-2)(1)+(-1)(5)+(-3)(-2) (-2)(1)+(-1)(2)+(-3)(-1) (-2)(3)+(-1)(6)+(-3)(-3)

52 . = B 3 = B 2 B = = (1)+3(5)+9(2) 3(1)+3(2)+(9)(1) 3(3)+3(6)+9(-3). (-1)(1)+(-1)(3)+(-3)(-2) (-1)(1)+(-1)(2)+(-3)(-1) (-1)(3)+(-1)(6)+(-3)(-3) = a. PQ = (4)+3(2)+6(1) 2(5)+3(3)+6(0) = 5(4)+4(2)+(-1)(1) 5(5)+4(3)+(-1)(0) =

53 3b. P’ Q’ =

54 .

55 SOAL LATIHAN/PR JENIS 2 MATRIKS SOAL LATIHAN/PR JENIS 2 MATRIKS 1. Buktikan bahwa matriks P = adalah idempoten ? 2. Bila matriks Q = buktikan bahwa matriks Q nilpoten ? 3. Buktikan bahwa matriks A = adalah balikan (invers). dari matriks B = Buktikan bahwa matriks D, adalah matriks Hermite ?

56 . D = 1 1+i 2+3i. 1- i 2 -i. 2-3i i 0

57 BAB 9. DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR BAB 9. DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR


Download ppt "BAB 6. INTEGRASI VEKTOR PENDAHULUAN Pada bab ini terdapat 4 sub-bab yg perlu diperhatikan Ke-4 sub-bab itu merupakan dasar dari Integrasi Vektor Empat."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google