Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

P O H O N. 1.Definisi Pohon didefinisikan sebagai graf terhubung sederhana tak berarah yang tidak mempunyai sirkuit. Gambar 1 Graf G 1 dan G 2 pohon.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "P O H O N. 1.Definisi Pohon didefinisikan sebagai graf terhubung sederhana tak berarah yang tidak mempunyai sirkuit. Gambar 1 Graf G 1 dan G 2 pohon."— Transcript presentasi:

1 P O H O N

2 1.Definisi Pohon didefinisikan sebagai graf terhubung sederhana tak berarah yang tidak mempunyai sirkuit. Gambar 1 Graf G 1 dan G 2 pohon. Graf G 3 dan G 4 bukan pohon. G 1 G 2 G 3 G 4 a b a b c d c d c d c d e f e f e f e f

3 Graf G 3 buka pohon karena terdapat sirkuit a-b-e-d-a Graf G 4 bukan pohon karena terdapat sirkuit tidak terhubung. Hutan Hutan didefinisikan sebagai kumpulan pohon yang saling lepas. Gambar 2 adalah contoh hutan. Gambar 2 Hutan yang terdiri dari 3 pohon

4 2. Sifat-sifat pohon Teorema 1. Jika G = (V, E) adalah graf tak berarah sederhana dengan jumlah simpul = n, maka semua pernyataan berikut ekivalen: a.G adalah pohon b. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal. c. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi

5 d. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah sisi e. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan menyebabkan terbentuk hanya satu sirkuit f.Terhubung dan semua sisinya adalah jembatan (jembatan adalah sisi yang bila dihapus menyebabkan graf terpecah menjadi dua komponen)

6 Contoh 1 Sebuah pohon mempunyai 2n buah simpul berderajat 1, 3n buah simpul berderajat 2, dan n buah simpul berderajat 3. Tentukan banyaknya banyaknya simpul dan sisi di dalam pohon itu! Penyelesaian Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat semua simpul di dalam sebuah graf = 2 kali jumlah sisinya. 2n  1 + 3n  2 + n  3 = 2 |E|  11n = 2|E|  11n / 2 Jumlah sisi sebuah pohon (|E|) = jumlah simpul – 1 = 2n + 3n + n = 6n – 1 11n/2 = 6n – 1  11n = 12n – 2  n = 2 Jumlah simpul = 6n – 1 = 6(2) – 1 = 11

7 3. Pohon merentang Misal G = (V, E) adalah graf tak-berarah terhubung yang bukan pohon, yang berarti di G terdapat beberapa sirkuit. G dapat diubah menjadi pohon T = (V 1, E 1 ) dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang ada. Mula-mula pilih sebuah sirkuit, lalu hapus sebuah sisi pada sirkuit tersebut. G tetap terhubung dan jumlah sirkuitnya berkurang satu.

8 Jika proses ini dilakukan berulang-ulang samapi semua srkuit di G hilang, maka G menjadi sebuah pohon T yang dinamakan pohon merentang (spanning tree). Disebut pohon merentang karena semua simpul pada pohon T = simpul pada graf G dan sisi-sisi pada pohon T  sisi-sisi pada graf.

9 G T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 Gambar 3 Graf G dengan 4 pohon merentangnya

10 Teorema 2 Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang. Sisi pada pohon merentang, disebut cabang (branch), adalah sisi dari graf semula. Tali hubung (chord atau link) dari pohon adalah sisi dari graf yang tidak terdapat di dalam pohon merentang. Pada graf terhubung dengan m buah sisi dan n buah simpul terdapat n – 1 buah cabang dan m – n + 1 tali hubung

11 Himpunan tali hubung beserta simpul yang bersisian dengannya disebut komplemen pohon. Untuk graf terhubung G dengan n buah simpul dan m buah sisi, maka: Jumlah cabang = n – 1 Jumlah tali hubung = m – n + 1 Untuk graf tak-terhubung dengan k komponen, m buah sisi dan n buah simpul, maka: Jumlah cabang = n – k Jumlah tali hubung = m – n + k

12 Jumlah cabang pada pohon merentang dari sebuah graf G disebut rank graf G. Jumlah tali hubung pada graf G disebut nullity graf G rank + nullity = jumlah sisi graf G Nullity sering diacu sebagai bilangan siklomatik, atau bilangan Betti pertama. Pada sebuah pohon, jika kita tambahkan sebuah sisi antara dua buah simpul maka akan terbentuk sirkuit. Sirkuit yang terbentu dengan penambahan sebuah tali hubung pada pohon merentang disebut sirkuit fundamental.

13 4. Pohon merentang minimum Jika G adalah graf berbobot, maka bobot pohon merentang T dari G didefinisikan sebagai jumlah bobot semua sisi di T. Pohon merentang yang berbeda mempunyai bobot yang berbeda pula. Diantara pohon merentang dari graf G, pohon merentang yang mempunyai bobot minimum disebut pohon merentang minimum (minimum spanning tree). Algoritma untuk mencari pohon merentang minimum: 1. Algoritma Prim 2. Algoritma Kruskal

14 Algoritma Prim 1.Ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T 2. Pilih sisi e yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi e tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan e ke dalam T. 3.Ulangi langkah 2 sebanyak (n – 2) kali Jumlah seluruh langkah di dalam algoritma Prim adalah 1 + (n – 2) = n – 1, yaitu sebanyak jumlah sisi di dalam pohon merentang dengan n buah simpul.

15 Contoh 2 Cari pohon merentang minimum dari graf berikut Dengan menggunakan algoritma Prim!  2  1  4  3  5 

16  2  1  4  3  5   2  1  4  3  5  Pembentukan pohon merentang minimum dengan algoritma Prim LangkahSisiBobot

17  2  1  4  3  5   4  3  5  6  2  Pembentukan pohon merentang minimum dengan algoritma Prim LangkahSisiBobot 1(1, 2)10

18  2  1  4  3  5   4  3  5  2  1 10  Pembentukan pohon merentang minimum dengan algoritma Prim LangkahSisiBobot 2(2, 6)25

19  2  1  4  3  5   4  5  2  1 10   Pembentukan pohon merentang minimum dengan algoritma Prim LangkahSisiBobot 3(3, 6)15

20  2  1  4  3  5   5  2  1 10   3 15  4 20 Pembentukan pohon merentang minimum dengan algoritma Prim LangkahSisiBobot 4(4, 6)20

21  2  1  4  3  5   2  1 10  6 25  5 35  3 15  4 20 Pembentukan pohon merentang minimum dengan algoritma Prim LangkahSisiBobot 5(3, 5)35

22 Latihan 1 Tentukan graf merentang minimum dengan menggunakan algoritma Prim B A D C I E F G H K J

23 10 B A 23 D 21 C 20 I E 35 F 25 G 55 H 45 K 12 J Langkah SisiBobot 1A, B10 2B, C21 3B, D23 4D, E20 5E, I20 6I, J12 7E, F35 8F, G25 9J, K45 10F, H55

24 Algoritma Kruskal 1.Urutkan sisi pada graf dari kecil ke besar. 2. Pilih sisi e yang mempunyai bobot minimum dan e tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan e ke dalam T. 3.Ulangi langkah 2 sebanyak (n – 2) kali

25 Contoh 3 Cari pohon merentang minimum dari graf berikut Dengan menggunakan algoritma Kruskal!  2  1  4  3  5 

26  2   5 35  3  6 15  4 20 Langkah SisiBobot 11, , , , , , 535

27 Latihan 2 Tentukan graf merentang minimum dengan menggunakan algoritma Kruskal B A D C I E F G H K J

28 10 B A C 20 D E 35 F 25 G 55 H 45 K I 12 J LangkahSisiBobot 1A, B10 2I, J12 3D, E20 4E, I20 5B, C21 6B, D23 7C, D25 8B, I25 9F, G25 10A, J30 11E, F35 12D, F40 13J, K45 14F, H55 LangkahSisiBobot 15G, H60 16E, K70 17C, G80

29 5. Pohon Berakar Pohon yang sebuah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisinya diberi arah menjauh dari akar dinamakan pohon berakar. Akar mempunyai derajat masuk = 0. Simpul-simpul lainnya mempunyai derajat masuk = 1. Simpul-simpul yang mempunyai derajat keluar = 0 disebut simpul dalam atau simpul cabang. Setiap simpul pada sebuah pohon dapat dicapai dari akar dengan sebuah lintasan tunggal (unik).

30        b a d c h j f e g i (A)   a e d b c ji f g (B) h (A)Pohon berakar, (B) Arah panah dapat dibuang Gambar 4

31 Sebuah pohon tak berakar dapat diubah menjadi pohon berakar dengan memilih salah satu simpul sebagai akar. Pemilihan simpul yang berbeda untuk dijadikan akar akan menghasilkan pohon berakar yang berbeda pula. Perhatikan Gambar 5 berikut.

32 b sebagai akar b e d a c f g h e sebagai akar e a f d b c g h e b a c d h g f Gambar 5 Pemilihan akar untuk membentuk pohon berakar

33 6. Terminologi pada Pohon Berakar Anak (child atau children) dan Orangtua (parent) Misal x adalah sebuah simpul di dalam pohon berakar. Simpul y dikatakan anak simpul x jika ada sisi dari simpul x ke simpul y. Sedangkan x disebut orangtua (parent) y. Perhatikan gambar 6 berikut.

34 a adalah orang tua dari b, c, d b, c, d adalah anak-anak dari a b adalah orang tua e, f e, f adalah anak-anak dari b e adalah orang tua dari h, i, j. h, i, j adalah anak-anak dari e. d adalah orang tua g g adalah anak-anak dari d g adalah orang tua dari k. l, m adalah anak-anak dari k. k adalah orang tua dari l, m. e a f d b c g h i j m l k Gambar 6

35 e a f d b c g h i j m l k Lintasan (Path) Lintasan dari simpul v 1 ke simpul v k adalah runtunan simpul-simpul v 1, v 2, v 3, …, v k sedemikian, sehingga v i adalah orangtua dari v i + 1 untuk 1  i  k. Lintasan a ke j adalah a, b, e, j. Panjang lintasan = jumlah sisi yang dilalui dalam suatu lintasan, yaitu k – 1. Panjang lintasan dari a ke j adalah 3

36 e a f d b c g h i j m l k Gambar 6 Keturunan (descendant) atau leluhur (ancestor) Jika terdapat lintasan dari simpul x ke simpul y di dalam pohon, maka x disebut leluhur dari simpul y. Sedang y adalah keturunan simpul x. Pada gambar 6, b adalah leluhur simpul h. Berarti h adalah keturunan simpul b.

37 e a f d b c g h i j m l k Gambar 6 Saudara Kandung (sibling) Simpul-simpul yang mempunyai orangtua yang sama disebut saudara kandung (sibling). Pada gambar 6, f adalah saudara kandung e. tertapi g bukan saudara kandung e, karena orangtua mereka berbeda.

38 e a f d b c g h i j m l k Gambar 6 Upapohon (subtree) Misal x adalah simpul di dalam pohon T. Yang dimaksud dengan upapohon dengan x sebagai akarnya adalah upagraf T = (V, E ) sedemikian, sehingga V mengandung x dan semua keturunannya dan E mengandung sisi-sisi dalam semua lintasan yang berasal dari x.

39 e a f d b c g h i j m l k Gambar 7 Upapohon (subtree) Sebagai contoh T = (V, E ) adalah upapohon dari pohon pada Gambar 7, dengan V = {b, e, f, h, i, j} dan E = {(b, e), (b, f), (e, h), (e, i), (e, j)}. Sedangkan b adalah simpul akarnya. Terdapat banyak pohon di dalam pohon T. Dengan pengertian diatas, jika x adalah simpul, maka akar dari tiap-tiap upapohon dari x disebut anak, dan x adalah orangtua setiap akar upapohon.

40 e a f d b c g h i j m l k Gambar 6 Derajat (degree) Derajat sebuah simpul pada pohon berakar adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tsb. Pada gambar 6, derajat a = 3, derajat b = 2, derajat d = 1 dan derajat c = 0. Jadi derejat sebuah simpul adalah derajat keluar. Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon pada Gambar 6 berderajat 3 karena derajat tertinggi dari seluruh simpulnya adalah 3.

41 e a f d b c g h i j m l k Gambar 6 Daun (leaf) Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Pada gambar 6, simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun. Simpul dalam (internal nodes) Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul d, e, g, dan k pada Gambar 6 adalah simpul dalam.

42 Atas (level) atau tingkat Akar mempunyai aras = 0 Aras simpul lainnya = 1 + panjang lintasan dari akar ke simpul tersebut. e a f d b c g h i j m l k Gambar Aras

43 Tinggi (height) atau kedalaman (depth) Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Dapat juga dikatakan tinggi pohon adalah panjang maksimum lintasan dari akar ke daun. Tinggi pohon pada Gambar 8 = 4. e a f d b c g h i j m l k Gambar Aras

44 7. Pohon berakar terurut Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut ( ordered tree)

45

46


Download ppt "P O H O N. 1.Definisi Pohon didefinisikan sebagai graf terhubung sederhana tak berarah yang tidak mempunyai sirkuit. Gambar 1 Graf G 1 dan G 2 pohon."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google