Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

INTEGRASI DAN DIFERENSIASI NUMERIK 1.APROKSIMASI DERIVATIF 2.APROKSIMASI INTEGRAL.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "INTEGRASI DAN DIFERENSIASI NUMERIK 1.APROKSIMASI DERIVATIF 2.APROKSIMASI INTEGRAL."— Transcript presentasi:

1 INTEGRASI DAN DIFERENSIASI NUMERIK 1.APROKSIMASI DERIVATIF 2.APROKSIMASI INTEGRAL

2 STRATEGI APROKSIMASI 1. Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial interpolasi P. 2. Derivatif polinomial P diambil sbg aproksimasi derivatif fungsi f. 3. Integral polinomial P diambil sbg aproksimasi integral fungsi f. BAGAIMANA KESALAHAN APROKSIMASINYA ? Menentukan nilai aproksimasi lebih mudah daripada memperkirakan resiko kesalahan yang mungkin terjadi akibat aproksimasi tersebut.

3 Kesalahan aproksimasi dengan interpolasi Misalkan titik berbeda dalam interval. Bila dan P(x) polinomial interpolasinya maka setiap x didalam terdapat ξ (x) didalam (a,b) sehingga aproksimasi kesalahannya CONTOH: Misalkan fungsi f(x) = e x diaproksimasi oleh polinomial interpolasi didalam interval [ 0, 1 ]. Berikan estimasi kesalahan aproksimasinya. PENYELESAIAN : Misalkan titik interpolasi dan asumsikan berjarak sama, yaitu h. Jadi x j+1 - x j = h untuk setiap j. 0 1 x0x0 xjxj x j+1 xnxn h Misalkan titik-titik berlainan di dalam dan Jika P adalah polinomial interpolasi maka terdapat ξ (x) ∈ (a, b) sehingga berlaku: approksimasi

4 Ambil sebarang x didalam [0, 1], kita akan menyelidiki kesalahan mutlak | f(x) - P(x) |. Pastilah ada indeks j sehingga x j ≤ x ≤ x j+1. Berdasarkan teo- rema di atas, terdapatlah di dalam (0, 1) dan berlaku: Karena dan maka diperoleh: Diperhatikan fungsi mencapai ekstrim di tengah interval [x j, x j+1 ], yaitu di x m = (j+0.5)h. Jadi maksimumnya ξ (x) Akhirnya diperoleh:

5 Bila diinginkan kesalahan aproksimasi tidak melebihi maka haruslah yang mengharuskan. Karena banyaknya sub interval n = (1-0)/h harus bulat maka diambil h =

6 APROKSIMASI DERIVATIF Derivatif f di titik x 0 adalah: y = f(x) x0x0 x 0 +h f(x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 +h) – f(x 0 ) h Sederhananya, aproksimasi derivatif f’(x 0 ) adalah dengan mengambil h cukup kecil. Untuk mengetahui kesalahan aproksimasinya, diperhatikan dua titik x 0 dan x 0 +h, dibentuk polinomial interpolasi derajat satu yang melalui kedua titik ini, dipero- leh: dimana R =. Selanjutnya, diambil derivatifnya dan didapat

7 Untuk x = x 0 maka diperoleh:. Akhirnya, diambil: dengan kesalahan (error): Untuk h>0, formula ini disebut aproksimasi selisih maju (forward-difference). Untuk h<0, diperoleh aproksimasi selisih mundur (backward-difference). dengan kesalahan (error):

8 CONTOH : Tentukan aproksimasi derivatif fungsi f(x) = ln x di x 0 =1.8. Gunakan formula selisih maju dengan h = 0.1, 0.01 dan dan berikan analisis kesalahannya. PENYELESAIAN : formula selisih maju diberikan oleh dengan error dimana Diperoleh tabel: Bandingkan dengan error sesungguhnya dimana derivatif eksaknya f’(1.8) =

9 FORMULA SELISIH TERPUSAT dimana terletak diantara dan Jadi aproksimasinya adalah dengan error E = Diperhatikan jika h diperkecil, maka suku h 2 lebih cepat menuju nol dari pada suku h. Error aproksimasi yang memuat suku h p disebut mempunyai order aproksimasi p, dan ditulis dengan O(h p ). Formula selisih terpusat ini disebut juga formula tiga titik, karena melibat kan tiga titik x 0 -h, x 0 dan x 0 +h. Formula tiga titik lainnya melibatkan titik x 0, x 0 +h, x 0 +2h, yaitu dimana ξ 0 diantara x 0 dan x 0 +2h.

10 FORMULA LIMA TITIK dimana ξ diantara x 0 -2h dan x 0 +2h dimana ξ diantara x 0 dan x 0 +4h.

11 CONTOH : Beberapa nilai dari f(x) = x e x diberikan pada tabel berikut. Karena f’(x) = (x+1)e x maka nilai eksak derivatif f di x=0.2 adalah f’(2.0) = Gunakan berbagai macam formula untuk menghitung aproksimasi derivatifnya. Banding errornya dan formula mana yang paling akurat. PENYELESAIAN: Gunakan h = 0.1, terapkan dua formula 2 titik (selisih maju dan selisih mundur), dua formula 3 titik dan dua formula 5 titik. Order kesalahan aproksimasi : 1.Formula 2 titik (selisih maju, selisih mundur) mempunyai order 1. 2.Formula 3 titik mempunyai order 2. 3.Formula 5 titik mempunyai order 4. Semakin tinggi order aproksimasi semakin akurat aproksimasi yang dihasilkan.

12 APROKSIMASI DERIVATIF KEDUA Fungsi f diekspansi dalam deret Taylor disekitar x 0, kemudian dievaluasi di titik x 0 +h dan x 0 -h diperoleh: dan dimana Kedua bentuk ini dijumlahkan, diperoleh: Berdasarkan teorema nilai antara, terdapat ξ diantara ξ 0 dan ξ -1 sehingga

13 Aproksimasi derivatif kedua (Lanjutan) Diperoleh: CONTOH: Kembali perhatikan fungsi f(x) = xe x. Fungsi ini mempunyai derivatif kedua f’’(x) = (x+2)e x. Untuk x 0 =2.0 diperoleh derivatif eksak adalah f’’(2.0) = Hitunglah aproksimasi derivatif kedua dengan menggunakan h=0.1 dan h=0.2. PENYELESIAN :  h = 0.1   h = 0.2   Error masing-masing adalah. ≈ f’’(x 0 ) Error

14 APROKSIMASI INTEGRAL FORMULA QUADRATURE SEDERHANA METODA TITIK TENGAH METODA TRAPESIUM METODA SIMPSON FORMULA QUADRATURE BERSUSUN INTEGRASI GAUSS.

15 FORMULA SEDERHANA Diperhatikan integral. Formula qudrature berbentuk jumlahan digunakan sebagai aproksimasi untuk integral, yaitu ≈ x i disebut koordinat dan a i disebut bobot. Seperti pada aproksimasi, fungsi f terlebih dahulu diaproksimasi oleh polinomial interpolasi, kemudian integral dari polinomial ini diambil sebagai aproksimasi integral fungsi f.

16 1. METODA TITIK TENGAH (MIDPOINT) ab f(a) f(b) c = (a+b)/2 f(c) y = f(x) Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial derajat nol (fungsi konstan): f(x) ≈ P(x) = c, kemudian diintegralkan, diperoleh: 2. METODA TRAPESIUM a b y = f(x) f(a) f(b) Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial inter- polasi derajat satu pada titik x 0 :=a dan x 1 := b, Diintegralkan, diperoleh :

17 3. METODA SIMPSON a b y = f(x) f(a) f(b) c y = P(x) Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial interpolasi derajat dua di titik-titik x 0 = a, x 1 = c:= (a+b)/2 dan x 3 = b, yaitu Diperoleh CONTOH : Terapakan metoda midpoint, trapesium dan Simpson untuk menghitung integral : dimana f adalah beberapa fungsi dasar Metoda manakah yang paling akurat?

18 PENYELESAIAN: untuk f(x) = x 2, eksaknya adalah = Midpoint M = (2-0)f(1) = 2.000, 2. Trapesium T = (2-0)/2 [f(0)+f(2)] = 4.000, 3. Simpson S = (1/3)[f(0) + 4 f(1) + f(2)] = Untuk SOAL lainnya diselesaikan sendiri ! ESTIMASI ERRORNYA ?


Download ppt "INTEGRASI DAN DIFERENSIASI NUMERIK 1.APROKSIMASI DERIVATIF 2.APROKSIMASI INTEGRAL."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google