Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Fungsi dan Grafik Oleh: Sudaryatno Sudirham Open Course.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Fungsi dan Grafik Oleh: Sudaryatno Sudirham Open Course."— Transcript presentasi:

1

2 Fungsi dan Grafik Oleh: Sudaryatno Sudirham Open Course

3 Dalam pelajaran ini disajikan bahasan tentang fungsi dan grafik sebagai tahap awal dalam mempelajari kalkulus Bahasan dibatasi pada fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata Pengantar

4 Cakupan Bahasan Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Linier Gabungan Fungsi Linier Mononom dan Polinom Bangun Geometris Fungsi Trigonometri Gabungan Fungsi Sinus Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik Fungsi dalam Koordinat Polar

5

6 Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur Pernyataan secara umum ditulis disebut peubah tak bebas nilainya tergantung x disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang dalam pelajaran ini nilai x dibatasi pada nilai bilangan nyata Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi

7 Pengertian Tentang Fungsi Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi rentang terbuka a b a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang rentang setengah terbuka a b a  x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a b a  x  b a dan b masuk dalam rentang

8 Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku Pengertian Tentang Fungsi P[2,1] Q[-2,2] R[-3,-3] S[3,-2] y x IV III III sumbu-x sumbu-y Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam koordinat [x, y] Bidang terbagi dalam 4 kuadran Kuadran I, II, III, dan IV

9 Kurva dari Suatu Fungsi Pengertian Tentang Fungsi Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y x01234dst. y-0,500,511,52dst. ΔxΔx ΔyΔy -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2, x y R P Q Kurva Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva:

10 Kekontinyuan Pengertian Tentang Fungsi Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

11 Contoh-1.1. Pengertian Tentang Fungsi y = 1/x y x Tak terdefinisikan di x = 0 y x y = u(x) Terdefinisikan di x = 0

12 Simetri Pengertian Tentang Fungsi 1.Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan  x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; 2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan  y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. 4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan  x dan  y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

13 Pengertian Tentang Fungsi Contoh y = 0,3x 2 y = 0,05x 3 y 2 + x 2 = 9 x y tidak berubah jika x dan y diganti dengan  x dan  y tidak berubah bila x diganti  x tidak berubah jika: x diganti  x x dan y diganti dengan  x dan  y x dan y dipertukarkan y diganti dengan  y

14 Pengertian Tentang Fungsi Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit Pernyataan fungsi bentuk eksplisit: Pernyataan bentuk implisit Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y dapat diubah ke bentuk eksplisit x y

15 Fungsi Bernilai Tunggal Pengertian Tentang Fungsi Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas x y 0 0,8 1,6 012 x y -1,6 -0, x y 0 0, x y x y Contoh-1.3.

16 Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Bernilai Banyak x y Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas x y Contoh-1.3.

17 Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Pengertian Tentang Fungsi Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

18 Pengertian Tentang Fungsi Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol  Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar x P  r y rsin  rcos 

19

20 Fungsi Linier Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari  sampai + . x y y = 4 Contoh-2.1.

21 Fungsi Linier Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0] kemiringan garis lurus ΔxΔx ΔyΔy x y x y y = 0,5x y = x y = 2x y = -1,5 x m > 0 m < 0 Contoh-2.2. garis lurus melalui [0,0]

22 Fungsi Linier Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus y = 2x y  2 = 2x x y y = 2x x y 0 y =2(x–1) kurva tergeser sebesar b ke arah sumbu-y positif kurva tergeser sebesar a ke arah sumbu-x positif titik potong dengan sumbu-y titik potong dengan sumbu-x Bentuk umum persamaan garis lurus pergeseran ke arah sumbu-y pergeseran ke arah sumbu-x

23 Fungsi Linier Contoh-2.3. Persamaan garis: x y 0 memotong sumbu y di 4 memotong sumbu x di 2 atau

24 Fungsi Linier Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik [x1,y1][x1,y1] [x2,y2][x2,y2] x y x y 0 [1,4] [3,8] persamaan garis:atau Contoh-2.4.

25 Fungsi Linier Perpotongan Garis Lurus Contoh-2.5. Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y 1 maupun y 2. Dua garis: Koordinat titik potong P harus memenuhi: dan y x y2y2 y1y1 P xPxP yPyP Titik potong:

26 Fungsi Linier Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a  anoda katoda l Contoh-2.6. Contoh-2.7. Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V Kuat medan listrik: Gaya pada elektron: Percepatan pada elektron: gaya fungsi linier dari V percepatan fungsi linier dari F e Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

27 Fungsi Linier Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan. Contoh-2.8. Contoh-2.9. Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan. gaya panjang tarikan konstanta pegas konduktansi resistansi kerapatan arus resistivitas G dan R adalah tetapan Luas penampang konduktor panjang konduktor

28 Fungsi Linier Contoh xaxa x CaCa CxCx materi masuk di x a materi keluar di x xx Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi C a dan C x bernilai konstan Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi. Peristiwa difusi: materi menembus materi lain gradien konsentrasi koefisien difusi Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi Fluksi materi yang berdifusi ke arah x

29

30 Gabungan Fungsi Linier Fungsi Anak Tangga muncul pada x = 0 amplitudo Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 Fungsi anak tangga satuan Fungsi anak tangga secara umum Contoh-3.1. Fungsi anak tangga tergeser x y x y 1 Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif

31 Gabungan Fungsi Linier Fungsi Ramp x y y 1 = xu(x) y 2 = 2xu(x) y 3 = 1,5(x-2)u(x-2) Fungsi ramp tergeser: Fungsi ramp satuan : Contoh-3.2. kemiringan a = 1 kemiringan Fungsi ini baru muncul pada x = 0 karena ada faktor u(x) yang didefinisikan muncul pada x = 0 (fungsi anak tangga)

32 Gabungan Fungsi Linier Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x 1 tertentu dan menghilang pada x 2 > x 1 y 1 =2u(x-1) y 2 =  2u(x  2) y 1 + y 2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2) lebar pulsa x perioda x y Deretan Pulsa: Contoh-3.3.

33 Gabungan Fungsi Linier Perkalian Ramp dan Pulsa ramp pulsa hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya y 1 =2xu(x) y 2 =1,5{u(x-1)-u(x-3)} y 3 = y 1 y x y Contoh-3.4. y 2 = {u(x)-u(x-b)} y 1 = mxu(x) y 3 = y 1 y 2 = mx{u(x)-u(x-b)} y y x b maka y juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja

34 Gabungan Fungsi Linier Gabungan Fungsi Ramp Contoh-3.4. y 1 = 2xu(x) y 2 =  2(x  2)u(x  2) y 3 = 2xu(x)  2(x  2)u(x  2) y x Kemiringan yang berlawanan membuat y 3 bernilai konstan mulai dari x tertentu y 1 =2xu(x) y 2 =  4(x  2)u(x  2) y 3 = 2xu(x)  4(x  2)u(x  2) x y y 2 lebih cepat menurun dari y 1 maka y 3 menurun mulai dari x tertentu

35 Gabungan Fungsi Linier y 1 = 2xu(x) y 2 =  4(x-2)u(x-2) y 3 = {2xu(x)  4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} x y Pulsa ini membuat y 3 hanya bernilai dalam selang 1  x  3

36

37 Mononom

38 Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kx n Mononom Pangkat Dua: y = x 2 y = 3x 2 y = 5x 2 y x y x Contoh-4.1. y memiliki nilai maksimum Karena x 2  0,maka jika k > 0  y > 0 jika k < 0  y < 0 y memiliki nilai minimum

39 y 1 = 10x 2 y 2 = 10(x  2) 2 y 3 = 10(x  2) Pergeseran kurva mononom pangkat dua x y Pergeseran ke arah sumbu-x positif Pergeseran ke arah sumbu-y positif Mononom

40 Mononom Pangkat Genap pada umumnya Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k] Koordinat titik potong antara kurva Contoh-4.2. Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y Mononom

41 Mononom Pangkat Ganjil y = 2x y = 2x 5 y = 2x 3 y x Pangkat ganjil terendah: linier Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k] Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan titik belok Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0] Mononom

42 Mononom Pangkat Tiga y x Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0] y = 10(x  2) 3 y = 10(x  2) x y = 10x 3 y Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positif Pergeseran ke arah sumbu-y positif Mononom

43 Polinom

44 Polinom Pangkat Dua Polinom, Pangkat Dua y y1=2x2y1=2x2 x y 3 =13 y 2 =15x y 1 =2x 2 y 4 = 2x 2 +15x x y y 2 =15x x =  15/2 10 Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: Perpotongan dengan sumbu-x

45 y 4 = 2x 2 +15x  15/2 x y sumbu simetri  15/4 10 y 4 = 2x 2 +15x x y sumbu simetri y 5 = 2x 2 +15x Sumbu simetri dari memotong sumbu-x di: Penambahan komponen y 3 = 13 memberikan: Koordinat titik puncak: Polinom, Pangkat Dua

46 y = ax 2 +bx +c x2x2 y x y = ax Polinom Pangkat Dua secara umum x1x1 Sumbu simetri: Pergeseran ke arah kiri sumbu-x Pergeseran ke arah negatif sumbu-y Polinom, Pangkat Dua

47 Penjumlahan: y 3 = y 1 + y x y y1y1 y2y2 Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua Mononom pangkat tiga (y 1 ) Dan Polinom pangkat dua (y 2 ) y x y1 = 4x3 y1 = 4x3 y 3 memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y 1 Polinom, Pangkat Tiga

48 y2y2 y1y1 y 3 = y 1 + y Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y 1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif y1y1 y2y2 y 3 = y 1 +y 2 Kasus: a terlalu positif Penurunan y 1 di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x positif Polinom, Pangkat Tiga

49 y 3 = y 1 + y 2 y1y1 y2y y 3 = y 1 + y a < 0 Kurva y 3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat Polinom, Pangkat Tiga

50

51 jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan  x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan  y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan  x dan  y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0]. Simetri Bangun Geometris, Karakteristik Umum

52 Nilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh-5.1. Apabila |x| > 1, maka (1 - x 2) < 0 Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang Bangun Geometris, Karakteristik Umum

53 Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh-5.2. Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[  1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,  1] xy = 1 Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Bangun Geometris, Karakteristik Umum

54 Asimptot Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot Contoh-5.3. tidak boleh 0 haruslah x 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva y x Bangun Geometris, Karakteristik Umum

55 Jarak Antara Dua Titik Jika P[x p,y p ) dan Q[x q,y q ], maka Bangun Geometris, jarak antara dua titik Contoh x y 0 [1,4] [3,8]

56 Parabola Bangun Geometris, Parabola Bentuk kurvadisebut parabola [0,0] y x y=kx 2 P[x,y] Q[0,p] R[x,  p] P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y y =  p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

57 Bangun Geometris, Parabola Contoh-5.4. Parabola dapat kita tuliskan Direktrik: Titik fokus:Q[0,(0,5)]

58 Bangun Geometris, Lingkaran Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu- x dan sejauh b ke arah sumbu- y Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)

59 0,5 1 [0,0] 0,5 1 x y r = 1 r Contoh-5.5. Bangun Geometris, Lingkaran

60 Elips Bangun Geometris, Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan Kedua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y kwadratkan sederhanakan

61 X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y [  a,0] [a,0] [0,b] [0,  b] sumbu panjang = 2a sumbu pendek = 2b Elips tergeser x y Bangun Geometris, Elips

62 Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan X(x,y) P[-c,0] Q[c,0] y x Dalam segitiga PXQ, selisih (XP  XQ) < PQ  2c < 2a  c 2  a 2 = b 2 kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan persamaan hiperbola Bangun Geometris, Hiperbola

63 ++  X(x,y) -c-c c y x [-a,0][a,0] Kurva tidak memotong sumbu-y Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x =  a dan x = a Bangun Geometris, Hiperbola

64 Kurva Berderajat Dua Bangun Geometris, Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Persamaan parabola: Lingkaran: F =  1 Bentuk Ax 2 dan Cy 2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

65 Bangun Geometris, Kurva Berderajat Dua Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x P[-a,-a] Q[a,a] y x Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45 o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x x y

66

67 Fungsi Trigonometri, Pengertian-Pengertian Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan Fungsi sinus Fungsi Cosinus Fungsi Tangent Fungsi Cotangent Fungsi Secan Fungsi Cosecan O P Q  1 [0,0] 1 x y r = 1 P’ --

68 Fungsi Trigonometri, Relasi-Relasi Relasi-Relasi sin   1 [0,0] 1 x y  cos  cos  cos  cos  sin   sin  sin  sin  cos  Karena

69 Fungsi Trigonometri, Relasi-Relasi Contoh-6.1:

70 Fungsi Trigonometri, Normal Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y perioda x y 22  x y   22 22 perioda pergeseran fungsi cosinus sejauh  /2 ke arah sumbu-x positif Contoh:

71 Fungsi Tangent Fungsi Cotangent asimptot Rentang: -  /4 < tan  <  /4  /4 < tan  < 3  /4 dst. Lebar rentang:  /2 Rentang: 0 < tan  <  /2 -  /2 < tan  < 0 dst. Lebar rentang:  /2 Fungsi Trigonometri, Normal

72 Fungsi Secan Fungsi Cosecan ,5  -- -0,5  0 0,5  1,5  ,5  -- -0,5  0 0,5  1,5  Rentang: -  /2 < tan  <  /2  /2 < tan  < 3  /2 dst. Lebar rentang:  Rentang: 0 < tan  <  -  < tan  < 0 dst. Lebar rentang:  asimptot Fungsi Trigonometri, Normal

73 Fungsi Trigonometri, Inversi Sinus Inversi x y   22 22 -0,5  -0,25  0 0,25  0,5  -0,500,51 x y Kurva lengkap Kurva nilai utama -  /2 < sin -1 x <  /2 -1 < x < 1 y x 1 Sudut y yang sinusnya = x

74 Cosinus Inversi x y   0 0,25  0,5  0,75  11 -0,500,51 x y Kurva lengkap Kurva nilai utama 0 < cos -1 x <  -1 < x < 1 y x 1 Fungsi Trigonometri, Inversi

75 Tangent Inversi ,5  -- -0,5  0 0,5   1,5  y x -0,5  -0,25  0 0,25  0,5  x y Kurva lengkap Kurva nilai utama y x 1 Fungsi Trigonometri, Inversi

76 Cotangent inversi dengan nilai utama 0 0,5  11 y x Kurva nilai utama y x 1 Fungsi Trigonometri, Inversi

77 Secan Inversi dengan nilai utama 0 0,25  0,5  0,75   x y Kurva nilai utama y x 1 Fungsi Trigonometri, Inversi

78 Cosecan Inversi y -0,5  -0,25  0 0,25  0,5  x Kurva nilai utama dengan nilai utama y x 1 Fungsi Trigonometri, Inversi

79

80 Gabungan Fungsi Sinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus sudut fasa frekuensi siklus amplitudo Selain frekuensi siklus, f 0, kita mengenal juga frekuensi sudut,  0, dengan hubungan

81 Gabungan Fungsi Sinus Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi periodik walaupun tidak berbentuk sinus. T0T0 -A-A 0 A 0 t y TsTs T0T0 -A-A 0 A 0 t y Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan perioda

82 Gabungan Fungsi Sinus Contoh-6.1. y y = 3 cos 2f 0 t t y y = cos 2f 0 t t y t Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan

83 Gabungan Fungsi Sinus Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh banyak komponen sinus yang terlibat Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f 0 disebut komponen fundamental Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f 0 Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f 0 Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f 0 dst. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah

84 Gabungan Fungsi Sinus a). sinus dasar (fundamental). b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada harmonisa ke-21. Contoh-6.2. Gabungan fungsi sinus membentuk gelombang persegi

85 Gabungan Fungsi Sinus Spektrum Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum yaitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, f maks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan. Frekuensi terendah, f min, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah Lebar Pita Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih f maks dan f min

86 Contoh-6.3. Gabungan Fungsi Sinus Frekuensi0f0f0 2 f 0 4 f 0 Amplitudo ,5 Sudut fasa  0  /2  Frekuensi [  f 0 ] Amplitudo 0  /2 22 Sudut Fasa Frekuensi [  f 0 ]  /2 22 Spektrum Sudut-fasa Spektrum Amplitudo

87 Gabungan Fungsi Sinus Deret Fourier Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh-6.4. T0T0 t y

88 Contoh-6.6. Contoh-6.5. Gabungan Fungsi Sinus T0T0 A t y T0T0 A t y

89

90

91 Bilangan Natural Fungsi Logaritma Natural Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e Bilangan e ini, seperti halnya bilangan , adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah e = 2,

92 Fungsi Logaritma Natural Kurva y = ln x Fungsi Logaritma Natural Definisi ln x x t ln x 1/t y luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x e = 2, … ,5 -0,5 0 0,5 1 1, x y e y = ln x

93 Sifat-Sifat Fungsi Logaritma Natural

94

95 Fungsi Eksponensial Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial yang penting adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0

96 Kurva Fungsi Eksponensial Fungsi Eksponensial Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun mendekati sumbu-x Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a

97 Fungsi Eksponensial Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah yang dituliskan dengan singkat  = 1/a disebut konstanta waktu makin kecil , makin cepat fungsi eksponensial menurun Pada saat t = 5 , nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5 

98 Gabungan Fungsi Eksponensial Fungsi Eksponensial A t/t/

99

100 Fungsi Hiperbolik Definisi Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) Untuk sinh x dan cosh x terdapat hubungan sedangkan untuk sin x dan cos x terdapat hubungan:

101 ++  v v = 0 P[x,y] y = sinh v x = cosh v Fungsi hiperbolik yang lain Fungsi Hiperbolik

102 Beberapa Identitas

103 Fungsi Hiperbolik Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik x y y x x y x y y x

104

105 Koordinat Polar Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku P[r,  ] x y  [0,0] r xPxP yPyP

106 Koordinat Polar Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku dalam koordinat polar [0,0] a x y P[r,  ]  r b [0,0] a x y P[r,  ]  r

107 Koordinat Polar Contoh y x r  P[r,  ] cardioid  y x r P[r,  ] -0,5 0 0,5 1 1, x y  =   = 2   = 3   = 4  r  P[r,  ] y = 2

108 Persamaan Garis Lurus Koordinat Polar r  O y x l1l1 a P[r,  ] r  O y x l2l2 b  r  l3l3 a A O y x  r  l4l4 a O y x 

109 Koordinat Polar Parabola, Elips, Hiperbola Parabola: Eksentrisitas Eksentrisitas: direktriks F D  r k x AB y P[r,  ] titik fokus Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola. Elips: (misal e s = 0,5) Hiperbola: (misal e s = 2)

110 Lemniskat dan Oval Cassini Koordinat Polar F1[a,]F1[a,] F 2 [a,0] P[r,  ] r   = 0  =   =  /2 Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan Misalkan Buat b dan a berrelasi b = ka

111 Koordinat Polar Lemniskat Kondisi khusus: k = 1  = 0  =   =  /2 -0,6 -0,2 0 0,2 0,6 -1,5-0,500,511,5 Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1  = 0  =   =  /2 -0,5 0 0, Kurva dengan a = 1

112 Oval Cassini Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8  = 0  =   =  /2 -1,5 -0,5 0 0,5 1 1, Koordinat Polar

113 Courseware Fungsi dan Grafik Sudaryatno Sudirham


Download ppt "Fungsi dan Grafik Oleh: Sudaryatno Sudirham Open Course."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google