Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Uniform Convergence of Series: Tests and Theorems.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Uniform Convergence of Series: Tests and Theorems."— Transcript presentasi:

1 Uniform Convergence of Series: Tests and Theorems

2 Pengujian M Weierstrass Definisi: Jika sebuah barisan konstanta-konstanta positif M 1, M 2, M 3,.... dapat dicari sehingga di dalam suatu interval berlaku: a) |u n (x)| ≤ M n, n >= N b)  M n konvergen maka  u n (x) konvergen uniform dan konvergen mutlak di dalam interval tersebut

3 Pengujian M Weierstrass Bukti:

4 Pengujian M Weierstrass  N tidak bergantung pada x  u n (x) konvergen uniform |u n (x)| ≤ M n, n = 1, 2, 3,...  M n konvergen, maka menurut uji perbandingan  |u n (x)| konvergen  u n (x) konvergen mutlak

5 Pengujian M Weierstrass Example 1: konvergen uniform dan konvergen mutlak di dalam [0, 2  ] karena dan konvergen

6 Pengujian M Weierstrass Example 2: Test for uniform convergence of Jawab: Dengan uji rasio, deret ini konvergen pada interval  1 ≤ x ≤ 1 Untuk semua x pada interval ini, berlaku. Dengan memilih,  M n konvergen, sehingga deret yang di atas, menurut pengujian M-Weierstrass konvergen uniform dan konvergen mutlak pada interval  1 ≤ x ≤ 1

7 Pengujian Dirichlet Barisan {a n } adalah barisan konstanta positif yang menurun secara monoton dan mempunyai limit nol Terdapat konstanta P sedemikian sehingga untuk a ≤ x ≤ b berlaku: |u 1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) u n (x)| N Maka deret konvergen uniform di dalam a ≤ x ≤ b

8 Pengujian Dirichlet Bukti: Tugas

9

10 Pengujian Dirichlet Example 3: Jika deret pangkat konvergen untuk x = x 0. Buktikan bahwa deret tersebut a) konvergen mutlak pada interval |x| < |x 0 | b) konvergen uniform pada interval |x| ≤ |x 1 | dimana |x 1 | < |x 0 |

11 Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Teorema 1: Jika {u n (x)}, n = 1, 2, 3,... kontinu di dalam [a, b] dan jika  u n (x) konvergen uniform ke jumlah S(x) di dalam [a, b], maka S(x) kontinu di dalam [a, b]

12 Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Bukti: Akan ditunjukkan bahwa S(x) kontinu di dalam [a, b] S(x) = S n (x) + R n (x), sehingga: S(x + h) = S n (x + h) + R n (x + h)  S(x + h) – S(x) = S n (x + h) – S n (x) + R n (x + h) – R n (x) dimana h dipilih  x, x + h ϵ [a, b] Karena u 1 (x), u 2 (x),..., u n (x) fungsi-fungsi yang kontinu maka S n (x) = u 1 (x) + u 2 (x) u n (x) adalah fungsi yang kontinu juga.

13 Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Artinya bila diberikan  > 0 maka dapat dicari  > 0  |S n (x + h) – S n (x)| <  /3 bila |h| <  Karena  u n (x) konvergen uniform, maka dapat dipilih N  |R n (x)| N Maka diperoleh bahwa |S(x + h) – S(x)| ≤ |S n (x + h) – S n (x)| + |R n (x + h)| + |R n (x)| <  /3 +  /3 +  /3 =  untuk|h| <   S(x) kontinu dalam [a, b]

14 Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Teorema 2: Jika {u n (x)}, n = 1, 2, 3,... kontinu di dalam [a, b] dan jika  u n (x) konvergen uniform ke jumlah S(x) di dalam [a, b], maka atau

15 Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Bukti: S n (x) = u 1 (x) + u 2 (x) u n (x) u 1 (x), u 2 (x),..., u n (x) kontinu dalam [a, b] maka S n (x) juga kontinu dalam [a, b]. Menurut teorema 1 maka S(x) juga kontinu dalam [a, b] Karena S(x), S n (x), dan R n (x) kontinu, maka:

16 Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Dalam hal ini akan ditunjukkan bahwa Karena  u n (x) konvergen uniform, maka |R n (x)| N (N yang tidak bergantung pada x di dalam [a, b]) sehingga diperoleh:

17 Teorema pada Deret Konvergensi Uniform  berarti atau

18 Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Teorema 3: Jika {u n (x)}, n = 1, 2, 3,... kontinu dan mempunyai turunan-turunan kontinu di dalam [a, b] dan jika  u n (x) konvergen ke S(x) sedangkan  u n ‘(x) konvergen uniform di dalam [a, b], maka di dalam [a, b] akan berlaku atau

19 Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Bukti: Misalkan g(x) =  u n ‘(x). Karena  u n ‘(x) konvergen uniform dalam [a, b] maka menurut teorema 2 diperoleh:  maka

20 Teorema pada Barisan Konvergensi Uniform Teorema 1, 2, dan 3 untuk deret di atas dapat juga diformulasi untuk barisan. Jika {u n (x)}, n = 1, 2, 3,... konvergen uniform di dalam [a, b], maka dan

21 Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Example 4: Diketahui. Buktikan bahwa

22 Teorema pada Barisan Konvergensi Uniform Example 5: Diketahui a) Tentukan apakah b) Jelaskan hasil pada bagian a)

23 Teorema pada Barisan Konvergensi Uniform Example 6: Diketahui Tunjukkan bahwa {u n (x)} konvergen tetapi tidak uniform pada [0, 1]

24 Exercise Advanced Calculus, 2nd ed, no – 11.99


Download ppt "Uniform Convergence of Series: Tests and Theorems."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google