Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131 TEORI PROBABILITAS Bagian 5 – DISTRIBUSI KONTINYU Laboratorium Sistem Produksi 2004.

Presentasi berjudul: "Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131 TEORI PROBABILITAS Bagian 5 – DISTRIBUSI KONTINYU Laboratorium Sistem Produksi 2004."— Transcript presentasi:

1 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131 TEORI PROBABILITAS Bagian 5 – DISTRIBUSI KONTINYU Laboratorium Sistem Produksi 2004

2 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 2 l Variabel Random Kontinyu l Distribusi Probabilitas Uniform l Distribusi Probabilitas Eksponensial l Distribusi Probabilitas Normal l Distribusi Porbabilitas Gamma l Distribusi Probabilitas Weibull Distribusi Probabilitas Kontinyu 5

3 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 3 Interval waktu dapat dibagi menjadi: Interval 0.5 menitInterval 0.25 menit Interval 0.125 menit Interval kecil tak terbatas Jika sebuah variabel random diskrit dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan probabilitasnya ditentukan oleh sebuah rentangnilai dan nilai probabilitas adalah luas area di bawah kurva dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan dengan P(2<X<3). 76543210 Minutes f ( z ) Dari Diskrit Menjadi Kontinyu

4 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 4 Variabel Random Kontinyu  Variabel Random Kontinyu adalah sebuah variabel random yang dapat berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati.  Probabilitas dari variabel random kontinyu X ditentukan oleh sebuah fungsi densitas, dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa sifat berikut.  f(x) > 0 untuk setiap nilai x.  Probabilitas bahwa X berada diantara dua nilai a dan b adalah sama dengan luas area dibawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b.  Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.

5 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 5 Fungsi Densitas dan Kumulatif F(x) f(x) x x 0 0 b a F(b) F(a) 1 b a } P(a < X < b) = Area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b = F(b) - F(a) P(a  X  b)=F(b) - F(a) Fungsi kumulatif Fungsi densitas

6 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 6 Distribusi Uniform Kontinyu (1) Densitas uniform [0,5] : 1/5 for 0 < X < 5 f(x)= 0 lainnya E(X) = 2.5 { 6543 21 0-1 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0. x f ( x ) Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1.00 Luas area di bawah f(x) Interval 1 sampai 3 = P(1<X<3) = 2.(1/5) = 2/5 Distribusi Uniform

7 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 7 Distribusi Uniform Kontinyu (2) Definisi: Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) x mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas probabilitas: 1/(  -  ), untuk  <x<  f(x)= 0 untuk x lainnya. Ekspektasi dan variansi: E(X)=(  +  )/2 dan V(X)= (  -  ) 2 /12 {

8 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 8 Distribusi Uniform Kontinyu (3) Contoh: Dalam program komputer simulai terdapat subrutin pembangkit bilangan random uniform dalam interval [0,10]. Sebuah proses simulasi akan akan berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah bilangan random [3/2, 7/2]. Jika dilakukan replikasi pembangkitan bilangan random, berapa kemungkinan proses tersebut akan berhenti (terminate)? Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan fungsi f(x)=1/10 untuk [1,10], dengan demikian probabilitas bahwa proses simulasi akan berhenti adalah P(3/2<x<7/2)=0,2.

9 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 9 Distribusi Eksponensial (1) Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson (dari proses poisson) jika persoalan didekati dari variabel interval antar kedatangan.

10 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 10 Distribusi Eksponensial (2)

11 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 11 Distribusi Eksponensial (3) Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman untuk melindungi peralatan dari kegagalan. Berdasarkan data dan pengamatan yang panjang, komponen pengaman tersebut memiliki daya tahan yang dinyatakan oleh variabel random satuan waktu (minggu) T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter =1/5. Saat ini perusahaan memiliki 5 set peralatan terpisah (independent) dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman yang diasumsikan identik. Dari perhitungan pesanan masuk yang harus dipenuhi, perusahaan menginkan peralatan tersebut tidak mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang direncanakan akan dipenuhi dalam 8 minggu. Jika diinginkan paling sedikit dua peralatan dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan tersebut, berapa besar kemungkinan tersebut terjadi?

12 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 12 Distribusi Eksponensial (4)

13 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 13 Untuk p  0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial menjadi … n = 6n = 14n = 10 6543210 0.3 0.2 0.1 0.0 x P ( x ) Binomial Distribution: n=6, p=.5 109876543210 0.3 0.2 0.1 0.0 x P ( x ) Binomial Distribution: n=10, p=.5 50-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 x f ( x ) Normal Distribution:  = 0,  = 1 Distribusi Probabilitas Normal (1) Distribusi yang berbentuk kurva seperti lonceng (bell)

14 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 14 Distribusi Probabilitas Normal (2) Distribusi kemungkinan variabel random kontinyu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal, yang merupakan variabel random yang berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik pemusatan tersebut secara simetris. Dikenal sebagai distribusi Gauss, sebagai orang pertama yang mempublikasikannya pada tahun 1809 (bentuk matematika pertama kali diturunkan dari distribusi binomial oleh DeMoivre 1733 dan Laplace 1775) dan selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah dalil probabilitas untuk setiap variabel random kontinyu.

15 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 15 Fungsi densitas probabilitas normal: 50-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 x f ( x ) Normal Distribution:  = 0,  = 1 Distribusi Probabilitas Normal (3)

16 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 16 Kurva normal membentuk:  Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga setengah (.50 or 50%) bagian akan berada di salah satu sisi dari rata- rata.  Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan variansi,  , dan dintayakan dengan: [X~N(  )].  Setiap kurva bersifat asymptotik.  Luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal dalam rantang k dari  adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun besarnya nilai rata-rata dan variansi. Distribusi Probabilitas Normal (4)

17 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 17 Distribusi Probabilitas Normal (5)

18 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 18 Distribusi Probabilitas Normal (6)

19 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 19 Distribusi Probabilitas Normal (7)

20 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 20 Distribusi Probabilitas Normal (8)

21 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 21 Distribusi Probabilitas Normal (9)

22 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 22 Distribusi Probabilitas Normal (10)

23 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 23 Distribusi Probabilitas Normal (11)

24 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 24 Distribusi Probabilitas Normal (12)

25 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 25 Distribusi Probabilitas Normal (13)

26 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 26 Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai rata- rata dan variansi yang berbeda 50-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 z f ( z ) Normal Distribution:  =0,  =1 454035 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 w f ( w ) Normal Distribution:  =40,  =1 6050403020100 0.2 0.1 0.0 x f ( x ) Normal Distribution:  =30,  =5 65554535 0.2 0.1 0.0 y f ( y ) Normal Distribution:  =50,  =3 50 Perhatikan bahwa: P(39  W  41) P(25  X  35) P(47  Y  53) P(-1  Z  1) Nilai probabilitas dari setiap interval adalah luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal. Distribusi Probabilitas Normal (14)

27 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 27 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) Standard Normal Distribution Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang satu deviasi standar dari rata-rata adalah 0.6826, atau sekitar 0.68. Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang dua deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9544, atau sekitar 0.95. Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang tiga deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9974. Distribusi Probabilitas Normal (15)

28 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 28 Variabel random normal standar, Z, adalah variabel random normal dengan rata-rata  = 0 dan deviasi standar  = 1: Z~N(0,1 2 ). 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) Standard Normal Distribution  =0  =1 { Distribusi Normal Standar (1)

29 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 29 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) Standard Normal Distribution 1.56 { z.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 0.00.00000.00400.00800.01200.01600.01990.02390.02790.03190.0359 0.10.03980.04380.04780.05170.05570.05960.06360.06750.07140.0753 0.20.07930.08320.08710.09100.09480.09870.10260.10640.11030.1141 0.30.11790.12170.12550.12930.13310.13680.14060.14430.14800.1517 0.40.15540.15910.16280.16640.17000.17360.17720.18080.18440.1879 0.50.19150.19500.19850.20190.20540.20880.21230.21570.21900.2224 0.60.22570.22910.23240.23570.23890.24220.24540.24860.25170.2549 0.70.25800.26110.26420.26730.27040.27340.27640.27940.28230.2852 0.80.28810.29100.29390.29670.29950.30230.30510.30780.31060.3133 0.90.31590.31860.32120.32380.32640.32890.33150.33400.33650.3389 1.00.34130.34380.34610.34850.35080.35310.35540.35770.35990.3621 1.10.36430.36650.36860.37080.37290.37490.37700.37900.38100.3830 1.20.38490.38690.38880.39070.39250.39440.39620.39800.39970.4015 1.30.40320.40490.40660.40820.40990.41150.41310.41470.41620.4177 1.40.41920.42070.42220.42360.42510.42650.42790.42920.43060.4319 1.50.43320.43450.43570.43700.43820.43940.44060.44180.44290.4441 1.60.44520.44630.44740.44840.44950.45050.45150.45250.45350.4545 1.70.45540.45640.45730.45820.45910.45990.46080.46160.46250.4633 1.80.46410.46490.46560.46640.46710.46780.46860.46930.46990.4706 1.90.47130.47190.47260.47320.47380.47440.47500.47560.47610.4767 2.00.47720.47780.47830.47880.47930.47980.48030.48080.48120.4817 2.10.48210.48260.48300.48340.48380.48420.48460.48500.48540.4857 2.20.48610.48640.48680.48710.48750.48780.48810.48840.48870.4890 2.30.48930.48960.48980.49010.49040.49060.49090.49110.49130.4916 2.40.49180.49200.49220.49250.49270.49290.49310.49320.49340.4936 2.50.49380.49400.49410.49430.49450.49460.49480.49490.49510.4952 2.60.49530.49550.49560.49570.49590.49600.49610.49620.49630.4964 2.70.49650.49660.49670.49680.49690.49700.49710.49720.49730.4974 2.80.49740.49750.49760.49770.49770.49780.49790.49790.49800.4981 2.90.49810.49820.49820.49830.49840.49840.49850.49850.49860.4986 3.00.49870.49870.49870.49880.49880.49890.49890.49890.49900.4990 Probabilitas Normal Standar Lihat pada baris 1.5 dan kolom.06 untuk menemukan P(0<z<1.56) = 0.4406 Distribusi Normal Standar (2) P(0 < Z < 1.56)

30 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 30 Untuk P(Z<-2.47): Lihat tabel untuk 2.47 P(0 < Z < 2.47) =.4934 P(Z < -2.47) =.5 - P(0 < Z < 2.47) =.5 -.4934 = 0.0066 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) Standard Normal Distribution Nilai tabel area 2.47 P(0 < Z < 2.47) = 0.4934 Area di sebelah kiri -2.47 P(Z < -2.47) =.5 - 0.4932 = 0.0068 Distribusi Normal Standar (3) P(Z < -2.47) z....06.07.08.. 2.3...0.49090.49110.4913 2.4...0.49310.49320.4934 2.5...0.49480.49490.4951.

31 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 31 z.00..... 0.90.3159... 1.00.3413... 1.10.3643..... 1.90.4713... 2.00.4772... 2.10.4821..... Temukan P(1 < Z < 2): 1. Temukan nilai tabel 2.00 F(2) = P(Z < 2.00) =.5 +.4772 =.9772 2. Temukan nilai tabel 1.00 F(1) = P(Z < 1.00) =.5 +.3413 =.8413 3. P(1 < Z < 2.00) = P(Z < 2.00) - P(Z < 1.00) =.9772 -.8413 =.1359 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) Standard Normal Distribution Luas area diantara 1 dan 2 P(1 < Z < 2) =.4772 -.8413 = 0.1359 Distribusi Normal Standar (4) P(1< Z < 2)

32 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 32 Temukan z sehingga P(0 < Z < z) =.40: Temukan nilai probabilitas sedekat mungkin dengan.40 dari tabel kemungkinan normal standar. Tentukan nilai z pada baris dan kolom yang sesuai. P(0<z<1.28)  0.40 Karena P(Z < 0) =.50 P(Z <1.28) .90 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) Standard Normal Distribution Area =.40 (.3997) Z = 1.28 Luas area di kiri 0 =.50 P(z  0) =.50 Distribusi Normal Standar (5) P(0 < Z < z) = 0.40 z.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 0.00.00000.00400.00800.01200.01600.01990.02390.02790.03190.0359 0.10.03980.04380.04780.05170.05570.05960.06360.06750.07140.0753 0.20.07930.08320.08710.09100.09480.09870.10260.10640.11030.1141 0.30.11790.12170.12550.12930.13310.13680.14060.14430.14800.1517 0.40.15540.15910.16280.16640.17000.17360.17720.18080.18440.1879 0.50.19150.19500.19850.20190.20540.20880.21230.21570.21900.2224 0.60.22570.22910.23240.23570.23890.24220.24540.24860.25170.2549 0.70.25800.26110.26420.26730.27040.27340.27640.27940.28230.2852 0.80.28810.29100.29390.29670.29950.30230.30510.30780.31060.3133 0.90.31590.31860.32120.32380.32640.32890.33150.33400.33650.3389 1.00.34130.34380.34610.34850.35080.35310.35540.35770.35990.3621 1.10.36430.36650.36860.37080.37290.37490.37700.37900.38100.3830 1.20.38490.38690.38880.39070.39250.39440.39620.39800.39970.4015 1.30.40320.40490.40660.40820.40990.41150.41310.41470.41620.4177...........

33 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 33 z.04.05.06.07.08.09....... 2.4...0.49270.49290.49310.49320.49340.4936 2.5...0.49450.49460.49480.49490.49510.4952 2.6...0.49590.49600.49610.49620.49630.4964....... Untuk memperoleh probabilitas 0.99 di tengah distribusi, akan ada (1/2)(1-.99) = (1/2)(.01) =.005 di ekor (tail) distribusi, dan (1/2)(.99) =.495 setengah dari interval.99, atau : P(0<Z<z.005 ) =.495 Dari tabel probabilitas normal standar: 2,57 < z.005 <  2,58 z.005   2,575 P(-.2575 < Z < 2,575) =.99 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) -z.005 z.005 Area di ekor kanan =.005 Area di ekor kiri =.005 Area di kanan =.495 Area di kiri =.495 2.575-2.575 Area di tengah =.99 Distribusi Normal Standar (6) P(-z.005 < Z < z.005 ) = 0.99

34 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 34 Luas area dalam interval k  dari rata-rata untuk variabel random normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal standar. Contoh: P(40  X  P(-1  Z  untuk  dan  1009080706050403020100 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 X f ( x ) Normal Distribution:  =50,  =10  = 10 { 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) Standard Normal Distribution 1.0 { Transformasi pada (2) Pembagian dengan  x ) Transformasi X menjadi Z: Transformasi sebaliknya Z menjadi X: Transformasi Variabel Random Normal (1) Pengurangan: (X -  x )

35 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 35 Contoh: X~N(160,30 2 ) Contoh X~N(127,22 2 ) Transformasi Variabel Random Normal

36 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 36 MTB > cdf 100; SUBC> normal 160,30. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 160.000 and standard deviation = 30.0000 x P( X <= x) 100.0000 0.0228 MTB > cdf 180; SUBC> normal 160,30. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 160.000 and standard deviation = 30.0000 x P( X <= x) 180.0000 0.7475 MTB > cdf 100; SUBC> normal 160,30. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 160.000 and standard deviation = 30.0000 x P( X <= x) 100.0000 0.0228 MTB > cdf 180; SUBC> normal 160,30. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 160.000 and standard deviation = 30.0000 x P( X <= x) 180.0000 0.7475 MTB > cdf 150; SUBC> normal 127,22. Cumulative Distribution Function Normal with  = 127.000 and  = 22.0000 x P( X <= x) 150.0000 0.8521 MTB > cdf 150; SUBC> normal 127,22. Cumulative Distribution Function Normal with  = 127.000 and  = 22.0000 x P( X <= x) 150.0000 0.8521 Transformasi Variabel Random Normal (Minitab)

37 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 37 Contoh X~N(383,12 2 ) 440390340 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 X f ( X ) Normal Distribution:  = 383,  = 12 MTB > cdf 394; SUBC> normal 383,12. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000 x P( X <= x) 394.0000 0.8203 MTB > cdf 394; SUBC> normal 383,12. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000 x P( X <= x) 394.0000 0.8203 MTB > cdf 399; SUBC> normal 383,12. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000 x P( X <= x) 399.0000 0.9088 MTB > cdf 399; SUBC> normal 383,12. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000 x P( X <= x) 399.0000 0.9088 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) Standard Normal Distribution Equivalent areas Transformasi Variabel Random Normal (Minitab)

38 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 38 Transformasi Variabel Random Normal (Excel)

39 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 39 Transformasi X menjadi Z: Transformasi kebalikan Z menjadi X: Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a dan b: Transformasi Variabel Random Normal

40 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 40 z.07.08.09..... 1.1... 0.37900.38100.3830 1.2... 0.39800.39970.4015 1.3... 0.41470.41620.4177..... Untuk menemukan nilai probabilitas dengan interval tertentu untuk sembarang variabel random normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi standar dari rata-ratanya. Jika X~N(50,10 2 ), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi standar di atas rata-rata X: 70=  +2 . P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal standar. Untuk menemukan nilai probabilitas dengan interval tertentu untuk sembarang variabel random normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi standar dari rata-ratanya. Jika X~N(50,10 2 ), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi standar di atas rata-rata X: 70=  +2 . P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal standar. Contoh: X~N(124,12 2 ) P(X > x) = 0.10 dan P(Z > 1.28)  0.10 x =  + z  = 124 + (1.28)(12) = 139.36 Transformasi Variabel Random Normal

41 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 41 z.02.03.04..... 2.2... 0.48680.48710.4875 2.3... 0.48980.49010.4904 2.4... 0.49220.49250.4927..... z.05.06.07..... 1.8... 0.46780.46860.4693 1.9... 0.47440.47500.4756 2.0... 0.47980.48030.4808..... Contoh: X~N(5.7,0.5 2 ) P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33)  0.01 x =  + z  = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865 Contoh: X~N(5.7,0.5 2 ) P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33)  0.01 x =  + z  = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865 Contoh: X~N(2450,400 2 ) P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)  0.95 x =  z  = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234) P(1666 < X < 3234) = 0.95 Contoh: X~N(2450,400 2 ) P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)  0.95 x =  z  = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234) P(1666 < X < 3234) = 0.95 8.27.26.25.24.23.2 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 8.27.26.25.24.23.2 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 X f ( x ) Normal Distribution:  = 5.7  = 0.5 543210-1-2-3-4-5 z Z. 01 = 2.33 Area = 0.49 Area = 0.01 4000300020001000 0.0015 0.0010 0.0005 0.0000 X f ( x ) Normal Distribution:  = 2450  = 400 4000300020001000 0.0015 0.0010 0.0005 0.0000 543210-1-2-3-4-5 Z.4750.0250 -1.96 1.96 Transformasi Variabel Random Normal X. 01 =  +z  = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865

42 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 42 4000300020001000 0.0012 0.0010 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0000 X f ( x ) Normal Distribution:  = 2450,  = 400...... 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) Standard Normal Distribution 1.Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal standar. Transformasi Variabel Random Normal 2.Arsir daerah probabilitas yang diteliti. 3.Dari tabel distribusi normal standar, temukan nilai z. 4.Transformasikan nilai z menjadi x (nilai variabel random asal).

43 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 43 4.Transformasi nilai z ke nilai x x =  z  = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ± 784 =(1666,3234) x =  z  = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ± 784 =(1666,3234) Transformasi Variabel Random Normal z.05.06.07..... 1.8... 0.46780.46860.4693 1.9... 0.47440.47500.4756 2.0... 0.47980.48030.4808..... 3.Temukan nilai z dari tabel normal standar z=-1,96 dan z=1.96 1.Distribusi normal dan normal standar. 2.Arsir daerah 0.95 (masing-masing 0.475 di kiri dan kanan. 543210-1-2-3-4-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Z f ( z ) Standard Normal Distribution.4750.9500 -1.96 1.96 Normal Distribution:  = 2450,  = 400

44 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 44 Using EXCEL Transformasi Variabel Random Normal

45 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 45 1050 0.3 0.2 0.1 0.0 X f ( x ) Normal Distribution:  = 3.5,  = 1.323 76543210 0.3 0.2 0.1 0.0 X P ( x ) Binomial Distribution: n = 7, p = 0.50 Distribusi normal dengan  = 3.5 dan  = 1.323 mendekati distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50. P(x<4.5) = 0.7749 MTB > cdf 4.5; SUBC> normal 3.5 1.323. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 3.50000 and standard deviation = 1.32300 x P( X <= x) 4.5000 0.7751 MTB > cdf 4.5; SUBC> normal 3.5 1.323. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 3.50000 and standard deviation = 1.32300 x P( X <= x) 4.5000 0.7751 MTB > cdf 4; SUBC> binomial 7,.5. Cumulative Distribution Function Binomial with n = 7 and p = 0.500000 x P( X <= x) 4.00 0.7734 MTB > cdf 4; SUBC> binomial 7,.5. Cumulative Distribution Function Binomial with n = 7 and p = 0.500000 x P( X <= x) 4.00 0.7734 P( x  4) = 0.7734 Pendekatan untuk Binomial (1)  =0.0017

46 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 46 1050 0.3 0.2 0.1 0.0 X f ( x ) Normal Distribution:  = 5.5,  = 1.6583 11109876543210 0.2 0.1 0.0 X P ( x ) Binomial Distribution: n = 11, p = 0.50 Distribusi normal dengan  = 5.5 dan  = 1.6583 pendekatan yang lebih baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50. P(x<4.5) = 0.2732 P(x  4) = 0.2744 MTB > cdf 4.5; SUBC> normal 5.5 1.6583. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 5.50000 and standard deviation = 1.65830 x P( X <= x) 4.5000 0.2732 MTB > cdf 4.5; SUBC> normal 5.5 1.6583. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 5.50000 and standard deviation = 1.65830 x P( X <= x) 4.5000 0.2732 MTB > cdf 4; SUBC> binomial 11,.5. Cumulative Distribution Function Binomial with n = 11 and p = 0.500000 x P( X <= x) 4.00 0.2744 MTB > cdf 4; SUBC> binomial 11,.5. Cumulative Distribution Function Binomial with n = 11 and p = 0.500000 x P( X <= x) 4.00 0.2744 Pendekatan untuk Binomial (2)  =0.0012

47 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 47 Pendekatan untuk Binomial (3)

48 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 48 Atau: Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson. Pendekatan untuk Binomial (4) Untuk n besar (n>50) dan p tidak mendekati 0 atau 1.00 Untuk n sedang (20<n<50)

49 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 49 Pendekatan untuk Binomial (5)

50 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 50 Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan memberikan nilai probabilitas kumulatif dari variabel random normal standar. Perintah NORMDIST(number, mean, standard deviation) akan memberikan nilai probabilitas dari variabel random normal secara umum. Perhitungan dengan Excel (1)

51 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 51 Contoh: NORMSDIST(1.0) = 0.8413. NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938. Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number, mean, standard deviation). NORMSINV(0.975) = 1.96. NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6. Contoh: NORMSDIST(1.0) = 0.8413. NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938. Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number, mean, standard deviation). NORMSINV(0.975) = 1.96. NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6. Perhitungan dengan Excel (2)

52 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 52 Distribusi Normal Multivariat (1)

53 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 53 Distribusi Normal Multivariat (2)

54 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 54 Distribusi Normal Multivariat (3)

55 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 55 Distribusi Probabilitas Gamma (1)

56 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 56 Distribusi Probabilitas Gamma (2)

57 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 57 Distribusi Probabilitas Gamma (3)

58 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 58 Distribusi Probabilitas Gamma (4)

59 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 59 Distribusi Probabilitas Weibull (1)

60 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 60 Distribusi Probabilitas Weibull (2)

61 Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 61 Distribusi Probabilitas Weibull (3) Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures. t