Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

13. Graf berbobot (Weighted graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya mempunyai bobot atau harga Gambar 12.19 Graf berbobot 1 23 4 5 12 11 8.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "13. Graf berbobot (Weighted graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya mempunyai bobot atau harga Gambar 12.19 Graf berbobot 1 23 4 5 12 11 8."— Transcript presentasi:

1 13. Graf berbobot (Weighted graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya mempunyai bobot atau harga Gambar Graf berbobot

2 14. Graf Sederhana Khusus A.Graf lengkap (Complete graph) Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke simpul lainnya. Graf lengkap yang mempunyai n buah simpul dilambangkan dengan K n. Setiap simpul pada K n mempunyai derajad n – 1

3  K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Gambar Graf lengkap K n 1  n  6

4 B. Graf lingkaran Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajad 2. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan C n. Jika simpul-simpul pada C n adalah v 1, v 2, …, v n, maka sisi-sisinya adalah (v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), …, (v n-1, v n ), dan (v n, v 1 ). Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke simpul lainnya.

5 Gambar Graf lingkaran C n 3  n  6                  

6 C. Graf Teratur (Regular Graph) Graf teratur adalah graf yang mempunyai derajad yang sama pada setiap simpulnya. Jika derajad setiap simpul adalah r, maka graf tersebut adalah graf teratur derajad r.                    Gambar Graf teratur

7 Contoh 12.5 Berapa jumlah maksimum dan minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan setiap simpul berderajad sama? Penyelesian e = nr/2 = 12  n = 2e/r = 2(12)/r = 24/r Perlu diketahui bahwa: Graf lengkap K n adalah graf teratur derajad n – 1. Graf lingkaran C n adalah graf teratur derajad 2. Jumlah sisi (e) pada graf teratur = nr/2

8 Syarat umum graf : n = bilangan bulat dan n – 1  r Syarat graf sederhana : r  2 r = 2  n = 24/2 = 12 r = 3  n = 24/3 = 8 r = 4  n = 24/4 = 6 r = 5  n = 24/5 = 4,8 (tidak mungkin; n tidak bulat) r = 6  n = 24/6 = 4 (tidak mungkin karena n – 1  r) r = 7  n = 24/7 = 3,47 (tidak mungkin; n tidak bulat) r = 8  n = 24/8 = 3 (tidak mungkin karena n – 1  r)

9 D. Graf Bipartit (Bipartite Graph) Jika himpunan simpul V pada graf G dapat dikelompokkan menjadi dua himpuan V 1 dan V 2 sedemikian, sehingga setiap sisi di dalam graf G menghubungkan sebuah simpul pada V 1 ke sebuah simpul di V 2, maka graf G disebut graf bipartit. Jadi setiap simpul pada V 1 tidak bertetangga. begitu juga simpul pada V 2. Gambar Graf bipartit G(V 1, V 2  

10 Contoh 12.6 Tunjukkan bahwa graf berikut adalah graf bipartit a g c b d e f a b d  g cef  

11 Pada graf bipartit, apabila setiap simpul di V 1 bertetangga dengan semua simpul di V 2, maka graf G (V 1, V 2 ) disebut graf bipartit lengkap. Jika jumlah simpul pada V 1 = m dan V 2 = n, maka graf bipartit lengkap dilambang dengan K m,n K 2,3 K 3,3 K 2,4 Gambar Graf bipartit lengkap

12 15. Representasi Graf Untuk tujuan pemrosesan di dalam komputer, perlu mempertimbangkan untuk menyajikan graf dalam cara, yaitu: A.Matriks Ketetanggaan (Adjancency Matrix) Matriks ketetanggaan adalah matriks persegi. Jika matriks yang mewakili representasi graf adalah A = [a ij ], maka a ij = 1 jika simpul i dan j bertetangga. Jika tidak maka a ij = 0.

13    5 Gambar Gambar 12.26

14 ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ Gambar Gambar 12.28

15 Jika kita perhatikan, matriks ketetanggaan untuk graf sederhana dan tak-berarah selalu simetri. Sedangkan untuk matriks berarah belum tentu simetri, kecuali untuk graf berarah lengkap. Jika graf tidak mempunyai sisi gelang, maka diagonal matriksnya selalu nol. Untuk graf tak-berarah yang mempunyai sisi ganda maka elemen matriksnya yang bersesuaian diisi dengan elemen 2.

16 Derajad tiap simpul i dapat dihitung dari matriks Ketetanggan. Derajad simpul v 1 untuk graf tak-berarah adalah: Derajad simpul v 1 untuk graf berarah adalah:

17  5 Contoh 12.7 Derajad simpul 1 = = 2 Derajad simpul 2 = = 2 Derajad simpul 3 = = 3 Derajad simpul 4 = 1 Derajad simpul 5 = 0

18 Contoh 12.8 Untuk graf berbobot, a ij menyatakan bobot tiap sisi yang menghubungkan simpul i dan simpul j. Gambar berikut adalah graf berbobot beserta matriks ketetanggaannya. Tanda  berarti tidak ada sisi dari simpul i ke j atau sebaliknya d c a e b

19 B. Matriks Bersisian (Incident Matrix) Matriks bersisian adalah yang menyatakan kebersisian antara simpul dengan sisi. Misal G =(V, E) adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian dari graf G adalah matriks yang berukuran n x m. Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukkan label sisi. Bila matriks tersebut adalah matriks A = [a ij ], maka a ij = 1 jika simpul i bersisian dengan sisi j. Sebaliknya a ij = 0 jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j.

20 Matriks bersisian dpat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mengandung sisi ganda dan sisi gelang. Derajad setiap simpul i dapat dapat dihitung dengan menghitung jumlah seluruh elemen pada baris i (kecuali pada graf yang mengandung gelang). Jumlah elemen matriks bersisian adalah nm. Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan seluruhnya adalah pnm.

21 e1e1 e2e e4e4 e3e3 e5e5 e6e6 Contoh 12.9 Gambar berikut memperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang direpresentasikannya. Jumlah elemen matriks adalah 4 x 6 = 24

22 C. Senarai Ketetanggaan (Adjacency List) Senarai ketetanggaan mengenumerasi simpul- simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf.

23   ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼  5 Senarai Senarai Senarai ketetanggaan ketetanggaan ketetanggaan 1: 2, 3 1: 2, 3 1: 3 2: 1, 3, 4 2: 1, 3 2: 1 3: 1, 2, 4 3: 1, 2, 4 3: 1, 2, 4 4: 2, 3 4: 3 4: 2, 3 5: -

24 16.Graf Isomorfik (Isomorphic graph) Definisi Dua buah graf G 1 dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul- simpul dan sisi-sisi kedua graf tersebut sedemikian sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G 1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G 2 juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G 2. Dari definisi diatas kita dapat menyederhanakan bahwa dua buah yang isomorfik adalah dua buah graf yang sama; hanya tampilan secara geometrik kedua graf tersebut kelihatan berbeda.

25 Contoh d e c b a d a e c b y x v w z

26 z y x w v e c b a d  a b e c d  w y z x v

27 Untuk memastikan bahwa dua buah graf isomorfik, kita dapat memeriksa matriks ketetanggaannya. Jika matriks ketetanggaanya sama, maka dipastikan bahwa kedua graf isomorfik. Sebelum menyusun matriks ketetanggaan, terlebih dahulu harus kita urutkan simpul-simpul pada G 2 mengikuti urutan simpul pada G 1 sesuai korespondensinya. a b e c d   w y z x v

28 d e c b a z y x w v

29 Graf G 1 (V 1, E 1 ) dan G 2 (V 2, E 2 ) dikatakan isomorfik jika: - Jumlah simpul dan sisi pada kedua harus sama. - Jumlah simpul yang mempunyai derajad tertentu harus sama. - Jika pada G 1, u 1 bertetangga v 1 dan w 1, sedangkan pada G 2, u 2 bertetangga v 2 dan w 2, maka derajad v 1 harus sama dengan v 2 dan derajad w 1 harus sama dengan dan w 2. - Terdapat korespondensi satu-satu V 1 ke V 2.

30 Contoh Tentukan apakah graf berikut isomorfik. c b d ef a st x wvu   s t w u v x  a b e c d f Karena kedua graf tidak berkorespondensi satu- satu, maka dikatakan bahwa kedua graf tidak isomorfik

31 Contoh Tentukan apakah graf berikut isomorfik.         a c h f g e d b         p r w u v t s q Gambar 1 Gambar 2

32 Pada Gambar 1, simpul a mempunyai derajad 2. Tetangganya b dan d mempunyai derajad masing-masing 3. Pada Gambar 2, simpul yg berkemungkinan berkorespondensi dengan simpul a pada Gambar 1 hanya q, r, u, atau v, karena masing-masing mempunyai derajad 2 (sama seperti simpul a). Akan tetapi tetangga dari q, r, u, & v mempunyai derajad 3 & 2, sehingga tidak mungkin simpul a pada Gbr 1 berkorespondensi dengan salah satu dari q, r, u, atau v pada Gambar 2.         a c h f g e d b Gambar 1 Gambar 2 p q         r w u v t s

33 Karena simpul a tidak berkoresponden dengan salah satu simpul pada Gambar 2, maka tidak ada korespondensi satu ke satu dari kedua graf tersebut. Selanjutnya disimpulkan bahwa Gambar 1 dan Gambar 2 tidak isomorfik

34 Contoh Tentukan apakah graf berikut isomorfik. Gambar 1 Gambar 2   a p f e c d b r u s t q

35 Kemungkinan korespondensi: a ke u atau r c ke u atau r b ke q atau s d ke q atau s e ke p atau t f ke p atau t a  b  c  d  e  f   p  q  r  s  t  u   a p f e c d b r u s t q

36 M G1 = M G2 =

37 Karena M G1 = M G2, graf pada Gambar 1 isomorfik dengan graf pada Gambar 2. Gambar 1   a f e c d b Gambar 2 p r u s t q

38 Tugas 6: 1. Tentukan, apakah graf berikut bipartit! c b e d aa b e d c a f b d c e (A) (B) (C)

39 2. A. Tentukan, apakah graf berikut isomorfik! b g a h c f d e j o i p k n l m

40 2. B. Tentukan, apakah graf berikut isomorfik! d g h a f e c b i l j k

41 2. C. Tentukan, apakah graf berikut isomorfik! a f e c d b    g h i l j k

42


Download ppt "13. Graf berbobot (Weighted graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya mempunyai bobot atau harga Gambar 12.19 Graf berbobot 1 23 4 5 12 11 8."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google