INTEGRAL TAK TENTU INTEGRASI FUNGSI PECAH

Presentasi berjudul: "INTEGRAL TAK TENTU INTEGRASI FUNGSI PECAH"— Transcript presentasi:

1 INTEGRAL TAK TENTU INTEGRASI FUNGSI PECAH
INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI

2 7.5. Integrasi fungsi pecah
Fungsi pecah adalah fungsi rasional yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x)  0. Dalam bentuk rumus fungsi pecah dapat ditulis dalam bentuk,

3 Jika ∫f(x)dx tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi,
maka gunakan metode pecahan parsial. Langkah-langkah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut: 1. Periksa derajad P(x) dan Q(x). Jika derajad P(x) lebih besar dari derajad Q(x) maka cari hasil bagi P(x)/Q(x). Jika derajad P(x) lebih kecil dari Q(x) maka langsung ke nomor 2. 2. Faktorkan Q(x) a. Untuk faktor axn pecahan parsialnya ditulis dalam bentuk, b. Untuk faktor (ax+b)n pecahan parsialnya adalah,

4 c. Untuk faktor (ax2+bx+c)n pecahan parsialnya adalah,
Koeffisien-koeffisien A1 , A2 , A3 , … , An dapat diganti dengan A, B, C dst. Contoh 7.10 Penyelesaian Karena derajad P(x) lebih kecil dari derajad Q(x) maka faktorkan Q(x).

5 Untuk menentukan nilai A, B, dan C, bandingkan pembilang
pada (**) dengan pembilang pada soal, sehingga didapat, A+B+C = 1 –A+2B-3C = 5 –6A = –12 Tiga persamaan tersebut menghasilkan A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5

6 Dengan memasukkan harga A, B dan C ke (*) maka didapat,
Contoh 7.11 Selesaikan Penyelesaian

7 Karena derajad P(x) lebih tinggi dari derajad Q(x) maka lakukan
pembagian. x3 + 6x2 + 5x – 12 x4 + 7x3 + 12x2 – 10x – 7 x + 1 x4 + 6x x2 – 12x x3 + 7x2 + 2x – 7 x2 – 3x + 5

8 7.6. Integrasi fungsi trigonometri
7.6.1 Integrasi fungsi sinu, cosu, tanu, cotu, secu dan cscu Bukti

9 Bukti Bukti

10 Bukti Bukti

11

12 Bukti

13 7.6.2 Integrasi fungsi sinmu dan cosmu
Langkah untuk menyelesaikan ∫sinmu du dan∫cosmu du adalah sebagai berikut.

14 Jika m adalah bilangan bulat positif ganjil yang lebih besar dari satu, maka sinmu ditulis dalam bentuk sinm-1 u sin u Sedangkan cosm u ditulis cosm-1 u cos u. Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, sin2u + cos2u = 1 dan metode substitusi 2. Jika m adalah bilangan bulat positif genap yang lebih besar dari dua, maka sinmu ditulis dalam bentuk (sin2 u)m/2 . Sedangkan cosm u ditulis (cos2 u)m/2 . Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, Contoh 7.12

15 Contoh 7.12 Penyelesaian Misal u = cosx  –du = sinx dx

16 Contoh 7.13 Penyelesaian Misal u = sinx  du = cosx dx

17 Contoh 7.14 Penyelesaian

18 Contoh 7.15 Penyelesaian

19 7.6.3 Integrasi fungsi trigonometri sinmu cosnu
Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran sinm u cosnu berikut diberikan langkah- langkah penyelesaian. 1. Jika m adalah bilangan bulat ganjil  3, maka c. Lakukan substitusi u = cosx 2. Jika n adalah bilangan bulat ganjil  3, maka c. Lakukan substitusi u = sinx

20 3. Jika m dan n adalah bilangan genap  2, maka
b. Gunakan identitas trigonometri, Contoh 7.16 Penyelesaian Misal u = cosx  –du = sinx dx

21 Contoh 7.17 Penyelesaian

22

23 7.6.4 Integrasi fungsi trigonometri tanm u secnu
Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran tanmu secnu berikut diberikan langkah-langkah penyelesaian 1. Jika m adalah biilangan bulat ganjil 3, maka c) Lakukan substitusi u = sec x

24 2. Jika n adalah bilangan bulat genap  2, maka :
a) tanm x secn x ditulis dalam bentuk tan mx secn-2x sec2x b) Gunakan identitas trigonometri sec2x = tan2x + 1 c) Lakukan substitusi u = tanx Jika m adalah bilangan genap dan n adalah bilangan ganjil, berkemungkinan metode yang digunakan adalah integral parsial Contoh 7.18 Penyelesaian

25 Misal u = sec x  du = secx tanx dx
Jadi 7.7. Integrasi fungsi trigonometri invers

26 Bukti dw = du  w = u ∫v dw=vw – ∫w dv Gunakan rumus integral parsial Contoh 7.19 Penyelesaian

27 Bukti dw = du  w = u Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv

28 Bukti

29 Bukti Bukti

30 Bukti

31 7.8 Integrasi dengan substitusi trigonometri
7.8.1 Integrasi fungsi irrasional Langkah awal untuk menyelesaikan integral fungsi irrasional adalah dengan mengu8bah integran yang berbentuk irrasional menjadi rasional. Biasanya untuk mencapai hal tersebut kita lakukan substitusi trigonometri. Pada pasal ini akan dibahas beberapa fungsi irrasional.

32 Dari gambar disamping didapat
Bukti a x u Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx

33 Dari gambar disamping didapat
(7.17) Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

34 Dari gambar disamping didapat
(7.18) x a u Bukti Dari gambar disamping didapat a tanu = x  a sec2u du = dx

35 Dari gambar disamping didapat
(7.19) Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

36 Dari gambar disamping didapat
(7.20) Bukti a x u Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx

37 Dari gambar diatas didapat
(7.21) Bukti x a u Dari gambar diatas didapat Misal v = sinu  dv = cosu du

38

39 Dari gambar disamping didapat
Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

40 Dari gambar diatas didapat,
Integrasi fungsi yang mempunyai bentuk 1/(x2+a2) Bukti x a u a tanu = x  a sec-1u du = dx

41 Dari pembahasan yang telah diuraiankan diatas dapat
disimpulkan bahwa: a) Jika integran mengandung maka substitusi x = a sinu b) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu c) Jika integran mengandung maka substitusi x = a secu d) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu a2 + x2

42 Jika ax2 +bx+c merupakan faktor terkecil dan
d(ax2 +bx+c)  (Ax+B)dx, maka Bukti

43 Misal, du = dx

44 Substitusi nilai u, m dan n, didapat,

45 Contoh 7.20 Penyelesaian A = 1 ; B = -2 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 5

46 7.8.4 Integrasi fungsi irrasional yang sejenis
Jika integran hanya memuat bentuk irrasional dari satu jenis fungsi, misalnya f(x), maka kita dapat menggunakan substitusi u = , dimana n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar. Contoh 7.21 Penyelesaian

47 7.8.5 Jika adalah satu-satunya bentuk
irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut.

48 Contoh 7.22 Penyelesaian Misal u = x – 3 → du = dx

49 7.8.6 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada
integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka lakukan substitusi Contoh 7.23 Penyelesaian

50

51

52