Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

INTEGRAL TAK TENTU 1.INTEGRASI FUNGSI PECAH 2.INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "INTEGRAL TAK TENTU 1.INTEGRASI FUNGSI PECAH 2.INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI."— Transcript presentasi:

1 INTEGRAL TAK TENTU 1.INTEGRASI FUNGSI PECAH 2.INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI

2 Fungsi pecah adalah fungsi rasional yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x)  Integrasi fungsi pecah Dalam bentuk rumus fungsi pecah dapat ditulis dalam bentuk,

3 Jika ∫f(x)dx tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi, maka gunakan metode pecahan parsial. Langkah-langkah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut: 1. Periksa derajad P(x) dan Q(x). Jika derajad P(x) lebih besar dari derajad Q(x) maka cari hasil bagi P(x)/Q(x). Jika derajad P(x) lebih kecil dari Q(x) maka langsung ke nomor Faktorkan Q(x) a. Untuk faktor ax n pecahan parsialnya ditulis dalam bentuk, b. Untuk faktor (ax+b) n pecahan parsialnya adalah,

4 c. Untuk faktor (ax2+bx+c)n pecahan parsialnya adalah, Koeffisien-koeffisien A 1, A 2, A 3, …, A n dapat diganti dengan A, B, C dst. Contoh 7.10 Karena derajad P(x) lebih kecil dari derajad Q(x) maka faktorkan Q(x). Penyelesaian

5 Untuk menentukan nilai A, B, dan C, bandingkan pembilang pada (**) dengan pembilang pada soal, sehingga didapat, A+B+C = 1 –A+2B-3C = 5 –6A = –12 Tiga persamaan tersebut menghasilkan A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5

6 Dengan memasukkan harga A, B dan C ke (*) maka didapat, Contoh 7.11 Selesaikan Penyelesaian

7 Karena derajad P(x) lebih tinggi dari derajad Q(x) maka lakukan pembagian. x 3 + 6x 2 + 5x – 12 x 4 + 7x x 2 – 10x – 7 x + 1 x 4 + 6x 3 + 5x 2 – 12x x 3 + 7x 2 + 2x – 7 x 3 + 6x 2 + 5x – 12 x 2 – 3x + 5

8 7.6.1 Integrasi fungsi sinu, cosu, tanu, cotu, secu dan cscu 7.6. Integrasi fungsi trigonometri Bukti

9

10

11

12

13 Langkah untuk menyelesaikan ∫sinmu du dan∫cosmu du adalah sebagai berikut Integrasi fungsi sin m u dan cos m u

14 1.Jika m adalah bilangan bulat positif ganjil yang lebih besar dari satu, maka sin m u ditulis dalam bentuk sin m-1 u sin u Sedangkan cos m u ditulis cos m-1 u cos u. Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, sin 2 u + cos 2 u = 1 dan metode substitusi 2. Jika m adalah bilangan bulat positif genap yang lebih besar dari dua, maka sin m u ditulis dalam bentuk (sin 2 u) m/2. Sedangkan cos m u ditulis (cos 2 u) m/2. Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, Contoh 7.12

15 Penyelesaian Misal u = cosx  –du = sinx dx Contoh 7.12

16 Contoh 7.13 Penyelesaian Misal u = sinx  du = cosx dx

17 Contoh 7.14 Penyelesaian

18 Contoh 7.15 Penyelesaian

19 7.6.3 Integrasi fungsi trigonometri sin m u cos n u Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran sin m u cos n u berikut diberikan langkah- langkah penyelesaian. 1. Jika m adalah bilangan bulat ganjil  3, maka c. Lakukan substitusi u = cosx 2. Jika n adalah bilangan bulat ganjil  3, maka c. Lakukan substitusi u = sinx

20 3. Jika m dan n adalah bilangan genap  2, maka b. Gunakan identitas trigonometri, Contoh 7.16 Penyelesaian Misal u = cosx  –du = sinx dx

21 Contoh 7.17 Penyelesaian

22

23 7.6.4 Integrasi fungsi trigonometri tan m u sec n u Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran tan m u sec n u berikut diberikan langkah-langkah penyelesaian 1. Jika m adalah biilangan bulat ganjil  3, maka c) Lakukan substitusi u = sec x

24 2. Jika n adalah bilangan bulat genap  2, maka : a) tan m x sec n x ditulis dalam bentuk tan m x sec n-2 x sec 2 x d)Jika m adalah bilangan genap dan n adalah bilangan ganjil, berkemungkinan metode yang digunakan adalah integral parsial b) Gunakan identitas trigonometri sec 2 x = tan 2 x + 1 c) Lakukan substitusi u = tanx Contoh 7.18 Penyelesaian

25 Misal u = sec x  du = secx tanx dx Jadi 7.7. Integrasi fungsi trigonometri invers

26 Bukti dw = du  w = u ∫v dw=vw – ∫w dv Gunakan rumus integral parsial Contoh 7.19 Penyelesaian

27 Bukti dw = du  w = u Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv

28 Bukti

29

30

31 Langkah awal untuk menyelesaikan integral fungsi irrasional adalah dengan mengu8bah integran yang berbentuk irrasional menjadi rasional. Biasanya untuk mencapai hal tersebut kita lakukan substitusi trigonometri. 7.8 Integrasi dengan substitusi trigonometri Integrasi fungsi irrasional Pada pasal ini akan dibahas beberapa fungsi irrasional.

32 a x u Bukti Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx

33 Bukti Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx x a u (7.17)

34 Bukti Dari gambar disamping didapat a tanu = x  a sec2u du = dx (7.18) x a u

35 Bukti Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx x a u (7.19)

36 Bukti a x u Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx (7.20)

37 x a u (7.21) Dari gambar diatas didapat Misal v = sinu  dv = cosu du Bukti

38

39 x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

40 7.8.2 Integrasi fungsi yang mempunyai bentuk 1/(x2+a2) x a u Bukti Dari gambar diatas didapat, a tanu = x  a sec -1 u du = dx

41 Dari pembahasan yang telah diuraiankan diatas dapat disimpulkan bahwa: a) Jika integran mengandung maka substitusi x = a sinu b) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu c) Jika integran mengandung maka substitusi x = a secu d) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu a 2 + x 2

42 Jika ax 2 +bx+c merupakan faktor terkecil dan d(ax 2 +bx+c)  (Ax+B)dx, maka Bukti

43 Misal, du = dx

44 Substitusi nilai u, m dan n, didapat,

45 Contoh 7.20 Penyelesaian A = 1 ; B = -2 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 5

46 Jika integran hanya memuat bentuk irrasional dari satu jenis fungsi, misalnya f(x), maka kita dapat menggunakan substitusi u =, dimana n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar Integrasi fungsi irrasional yang sejenis Contoh 7.21 Penyelesaian

47 7.8.5 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut.

48 Contoh 7.22 Penyelesaian Misal u = x – 3 → du = dx

49 7.8.6 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka lakukan substitusi Contoh 7.23 Penyelesaian

50

51

52


Download ppt "INTEGRAL TAK TENTU 1.INTEGRASI FUNGSI PECAH 2.INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google