Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Memecahkan Relasi Recurrence Relasi recurrence linear homogen Relasi recurrence linear tak homogen.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Memecahkan Relasi Recurrence Relasi recurrence linear homogen Relasi recurrence linear tak homogen."— Transcript presentasi:

1 Memecahkan Relasi Recurrence Relasi recurrence linear homogen Relasi recurrence linear tak homogen

2 Bentuk umum: a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 + … + c k a n-k, dengan c 1, c 2, …, c k bilangan real dan c k  0. Contoh. 1. P n = (1.12)P n-1 2. f n = f n-1 + f n-2 3. H n = 2H n a n = a n-1 + (a n-2 ) 2 5. T n = nT n-2 Relasi recurrence linear homogen berderajat k dengan koefisien konstan homogen linear berderajat 1 homogen linear berderajat 2 linear tapi tak homogen tak linear koefisien tak konstan Hanya mengkaji relasi linear dengan koefisien konstan!

3 Langkah dasar dalam memecahkan relasi recurrence homogen linear adalah mencari solusi dalam bentuk a n = r n dengan r konstan. a n = r n adalah solusi dari a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 + … + c k a n-k jika dan hanya jika r n = c 1 r n-1 +c 2 r n-2 + … + c k r n-k. Bila kedua ruas dibagi dengan r n-k diperoleh: r k - c 1 r k-1 - c 2 r k-2 - … - c k-1 r - c k = 0. Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari relasi recurrence. Solusi dari persamaan ini disebut akar karakteristik. Mencari solusi

4 Solusi relasi recurrence homogen orde 2 dengan akar berbeda Teorema 1 Misalkan c 1, c 2 bilangan real dan r 2 - c 1 r - c 2 = 0 mempunyai dua akar berbeda r 1 dan r 2. Maka semua solusi dari relasi recurrence a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 berbentuk a n =  1 r 1 n +  2 r 2 n, n=0,1,2,… dengan  1 dan  2 konstan. Bukti. Lihat di buku!

5 Contoh (1) Carilah solusi dari a n = a n-1 + 2a n-2 dengan a 0 = 2 dan a 1 =7. Solusi. Persamaan karakteristiknya r 2 - r - 2 = 0, mempunyai akar r = 2 dan r = -1. Menurut Teorema 1, solusi relasi recurrence berbentuk a n =  1 2 n +  2 (-1) n. Karena a 0 = 2 dan a 1 = 7, diperoleh a n = 3  2 n - (-1) n.

6 Soal (1) Tentukan formula eksplisit dari bilangan Fibonacci. Ingat bahwa bilangan Fibonacci f n memenuhi relasi f n = f n-1 + f n-2 dan kondisi awal f 0 =1, f 1 =1

7 Solusi relasi recurrence homogen orde 2 dengan akar tunggal Teorema 2 Misalkan c 1, c 2 bilangan real dengan c 2  0 dan r 2 - c 1 r - c 2 = 0 mempunyai hanya satu akar r 0. Maka semua solusi dari relasi recurrence a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 berbentuk a n =  1 r 0 n +  2 nr 0 n, n=0,1,2,… dengan  1 dan  2 konstan. Bukti. Latihan!

8 Tentukan solusi dari relasi recurrence a n = 6a n-1 - 9a n-2 dengan kondisi awal a 0 = 1 dan a 1 = 6. Soal (2)

9 Teorema 3 Misalkan c 1, c 2, …, c k bilangan real dan persamaan karakteristik r k - c 1 r k-1 - c 2 r k-2 - … - c k-1 r - c k = 0 mempunyai k akar r 1, r 2, …, r k yang berbeda. Maka, solusi relasi recurrence a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 + … + c k a n-k selalu berbentuk a n =  1 r 1 n +  2 r 2 n + … +  k r k n, n=0,1,2,… dengan  i, i=0,1,…,k konstan. Solusi relasi recurrence homogen orde n dengan akar berbeda

10 Tentukan solusi dari relasi recurrence a n = 6a n-1 – 11a n-2 + 6a n-3 dengan kondisi awal a 0 =2, a 1 =5 dan a 2 =15. Contoh (2) Solusi. Persamaan karakteristiknya r 3 - 6r r - 6 = 0. Jadi akar-akarnya r=1, r=2 dan r=3. Dengan demikian, solusinya berbentuk a n =  1 1 n +  2 2 n +  k 3 n. Dari kondisi awalnya diperoleh a n = n + 2  3 n.

11 Solusi relasi recurrence homogen orde 2 Teorema 4 Misal c 1, c 2, …, c k bilangan real dan persamaan karakteristik r k - c 1 r k-1 - c 2 r k-2 - … - c k-1 r - c k = 0 mempunyai t akar r 1, r 2, …, r t berbeda dengan multiplisitas m 1, m 2, …, m t (m 1 + m 2 + … + m t = k). Maka solusi relasi recurrence a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 + … + c k a n-k selalu berbentuk a n = (  1,0 +  1,1 n + … +  1,m1-1 n m1-1 )r 1 n + (  2,0 +  2,1 n + … +  2,m2-1 n m2-1 )r 2 n + … + (  t,0 +  t,1 n + … +  t,mt-1 n mt-1 )r t n

12 Tentukan solusi dari relasi recurrence a n = -3a n-1 - 3a n-2 - a n-3 dengan kondisi awal a 0 = 1, a 1 = -2 dan a 2 = -1. Contoh (3) Solusi. Persamaan karakteristiknya r 3 + 3r 2 + 3r +1 = 0. Jadi akarnya r = -1 dgn multiplisitas 3. Dengan demikian, solusinya berbentuk a n =  1,0 (-1) n +  1,1 n (-1) n +  1,2 n 2 (-1) n. Dengan memandang kondisi awalnya diperoleh a n = (1 +3n-2n 2 ) (-1) n.

13 Contoh. a n = 3a n-2 + 5n Secara umum, a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 + … + c k a n-k + F(n) dengan c i, i=0,1,2,… konstan dan F(n) fungsi tak nol. a n = c 1 a n-1 +c 2 a n-2 + … + c k a n-k disebut relasi recurrence homogen yang berkaitan. Relasi recurrence tak homogen linear dengan koefisien konstan Contoh. a n = a n n a n = a n-1 + a n-2 + a n-3 + n!

14 Jika {a n (p) } adalah solusi khusus dari relasi recurrence tak homogen linear dengan koefisien konstan a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 + … + c k a n-k + F(n) maka setiap solusi berbentuk {a n (p) + a n (h) }, dengan {a n (h) } solusi relasi recurrence homogen yang berkaitan a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 + … + c k a n-k. Teorema 5

15 Tentukan semua solusi dari relasi recurrence a n = 3a n-1 + 2n. Contoh (4) Solusi. Karena F(n) = 2n adalah polinom berderajat satu, maka kita coba polinom berderajat satu p n = cn + d, dengan c dan d konstan untuk mendapatkan solusi khusus. Didapat, p n = 3p n-1 + 2n cn+d = 3(c(n-1)+d) + 2n (-2c-2)n + (3c-2d) = 0 Sehingga c = -1 dan d = -3/2. Jadi, solusi khususnya a n (p) = -n - 3/2.

16 Contoh (5) Solusi homogen dari relasi homogen yang berkaitan, a n = 3a n-1 adalah a n (h) =  3 n, dengan  konstan. Menurut Teorema 5, solusi umum dari a n = 3a n-1 + 2n adalah a n = a n (p) + a n (h) = -n - 3/2 +  3 n. Jika diketahui a 1 = 3, maka solusi menjadi a n = -n - 3/2 + (11/6) 3 n.

17 Contoh (6) Tentukan semua solusi dari relasi recurrence: a n = 5a n-1 - 6a n n. Solusi. Solusi homogennya adalah a n (h) =  1 3 n +  2 2 n. Karena F(n) = 7 n, solusi khusus yg perlu dicoba adalah a n (p) = c 7 n. Maka, c 7 n = 5c 7 n-1 – 6c 7 n n. Diperoleh c = 49/20. Jadi, solusi umumnya: a n =  1 3 n +  2 2 n + 49/20 7 n.

18 Teorema 6 Misalkan {a n } memenuhi relasi recurrence tak homogen linear a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 + … + c k a n-k + F(n) dengan c i, i=1,2,…,k bilangan real dan F(n) = (b t n t + b t-1 n t-1 + … + b 1 n + b 0 ) s n dengan b i, i=0,1,…,t dan s bilangan real. Jika s bukan akar dari persamaan karakteristik relasi recurrence homogen yang berkaitan, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk (p t n t + p t-1 n t-1 + … + p 1 n + p 0 ) s n Jika s akar dari persamaan karakteristik dengan multiplisitas m, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk F(n) = n m (p t n t + p t-1 n t-1 + … + p 1 n + p 0 ) s n

19 Contoh (7) Carilah solusi khusus dari relasi recurrence a n = 6a n-1 - 9a n-2 + F(n) bila 1.F(n) = 3 n, 2.F(n) = n 3 n, 3.F(n) = n 2 2 n, dan 4.F(n) = (n 2 +1) 3 n Solusi. Solusi homogennya adalah a n (h) =  1 3 n +  2 n3 n. Dan solusi khususnya adalah 1.a n (p) = p 0 n 2 3 n. 2.a n (p) = n 2 (p 1 n+p 0 )3 n. 3.a n (p) = (p 2 n 2 +p 1 n+p 0 )2 n. 4.a n (p) = n 2 (p 2 n 2 +p 1 n+p 0 )3 n.

20 Contoh (8) – Menara Hanoi Tentukan solusi dari relasi recurrence H n = 2H n-1 + 1, H 1 = 1, dan H 2 = 3 Solusi. Relasi homogen yang berkaitan adalah H n = 2H n-1 dan solusi homogennya H n (h) =  2 n. Karena F(n) = 1 = 1 n, maka solusi khususnya adalah H n (p) = p 0 1 n = p 0. Sehingga solusi umumnya adalah H n =  2 n + p 0 Dengan memandang H 1 = 1 dan H 2 = 3 diperoleh  =1 dan p 0 = -1. Jadi, H n = 2 n - 1

21 Soal (3) Ada berapa cara untuk menutup suatu papan persegi panjang berukuran 2 x n dengan menggunakan papan-papan kecil yang berukuran 1 x 2 dan 2 x 2. Misalkan a n adalah jumlah n bilangan bulat positif pertama. Berikan formula eksplisit dari a n.


Download ppt "Memecahkan Relasi Recurrence Relasi recurrence linear homogen Relasi recurrence linear tak homogen."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google