Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

PENDAHULUAN MATEMATIKA EKONOMI Dr. Luluk Kholisoh.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "PENDAHULUAN MATEMATIKA EKONOMI Dr. Luluk Kholisoh."— Transcript presentasi:

1 PENDAHULUAN MATEMATIKA EKONOMI Dr. Luluk Kholisoh

2 Ruang Lingkup : Konsep-konsep Dasar, Hubungan Fungsional, Hubungan Nonlinear, Diferensial fungsi, Integral dan Matriks Sasaran: Mahasiswa yang menempuh matakuliah Matematika Ekonomi

3 Tujuan: Mahasiswa diharapkan mampu memahami Konsep-konsep Matematika dalam penerapannya pada masalah ekonomi. Kompetensi Lulusan: Mampu menyelesaikan persoalan Matematika permasalahan Ekonomi dan Bisnis.

4 LITERATUR Chiang A.C Fundamental Methods Of Mathematical Economics. Third Edition. Mc. Graw-Hill Book Inc. New York Dumairy Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Ekonomi. Edisi Ke dua belas. BPFE. Yogyakarta Legowo Dasar-dasar Kalkulus Penerapannya dalam Ekonomi, Ed. 2. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia Suryawati dkk Matematika Ekonomi. Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi YKPN Weber, Jean E Mathematical Analysis: Business and Economics, Aplication, 4 th ed. New York: Harper & Row 1982

5 RENCANA PENILAIAN Ujian Tengah Semester (UTS) 35 % Ujian Akhir Semester (UAS)40 % Tugas Terstruktur 10 % Kuis10 % Kehadiran 5 %

6 MATERI Himpunan Sistem Bilangan, Akar dan Logaritma Deret dan Fungsi Fungsi Linier Fungsi Multivariat Fungsi Non Linier Derivatif Integral Matriks

7 SILABUS MATERI HIMPUNAN Pengertian Himpunan Penyajian Himpunan Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Operasi Himpunan Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan

8 S ILABUS M ATERI S ISTEM B ILANGAN Hubungan Perbandingan antar Bilangan Operasi Bilangan Operasi Tanda - Operasi Penjumlahan - Operasi Pengurangan - Operasi Perkalian - Operasi Pembagian Operasi Bilangan Pecahan - Operasi Pemadanan - Operasi Penjumlahan dan Pengurangan - Operasi Perkalian - Operasi Pembagian

9 S ILABUS M ATERI P ANGKAT, A KAR DAN L OGARITMA Pangkat Kaidah pemangkatan bilangan Kaidah perkalian bilangan berpangkat Kaidah pembagian bilangan berpangkat Akar Kaidah pengakaran bilangan Kaidah penjumlahan bilangan terakar Kaidah perkalian bilangan terakar Kaidah pembagian bilangan terakar Logaritma - Basis Logaritma - Kaidah-kaidah Logaritma - Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

10 S ILABUS M ATERI D ERET Deret Hitung - Suku ke-n dari DH - Jumlah n suku Deret Ukur - Suku ke-n dari DU - Jumlah n suku

11 SILABUS MATERI FUNGSI Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear - Penggal - Simetri - Perpanjangan - Asimtot - Faktorisasi

12 SILABUS MATERI HUBUNGAN LINEAR Penggal dan lereng garis lurus Pembentukan Persamaan Linear - Cara dwi- kordinat - Cara koordinat- lereng - Cara Penggal lereng - Cara dwi- penggal Hubungan dua garis lurus Pencarian Akar- akar persamaan linear - Cara substitusi - Cara eliminasi - Cara determinan

13 SILABUS MATERI HUBUGAN NON LINEAR Fungsi kuadrat - Identifikasi persamaan kuadrat - Menentukan titik maksimum atau minimum permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar - Fungsi penerimaan, fungsi ongkos produksi dan analisis BEP Fungsi Eksponensial dan aplikasinya - Fungsi ongkos produksi - Perhitungan bunga majemuk

14 S ILABUS M ATERI D IFERENSIAL F UNGSI S EDERHANA Kuosien Diferensi dan Derivatif Kaidah- Kaidah Diferensiasi Hakikat Derivatif dan Diferensial Derivatif dari Derivatif Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya - Fungsi menaik dan fungsi menurun - Titik ekstrim fungsi parabolik - Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik

15 S ILABUS M ATERI D IFERENSIAL F UNGSI M AJEMUK Diferensial Parsial Derivatif dari Derivatif Parsial Nilai ekstrim : Maksimum dan Minimum Optimisasi Bersyarat - Pengganda Lagrange - Kondisi Kuhn-Tucker Homogenitas Fungsi

16 S ILABUS M ATERI I NTEGRAL Integral tak tentu Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu Integral tertentu Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu

17 S ILABUS M ATERI M ATRIKS Pengertian Matriks dan Vektor Kesamaan Matriks dan Kesamaan Vektor Pengoperasian Matriks dan Vektor Bentuk- bentuk khas matriks Pengubahan Matriks

18 Himpunan Merupakan suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Obyek yang membentuk himpunan disebut anggota/elemen/unsur Himpunan dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan unsur dilambangkan dengan huruf kecil

19 Penulisan Matematis p є A A C B A = B p є A A C B A = B

20 Penyajian Himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5} ; B = {kucing, anjing} A = { x; 0 < x < 6} ; B = {x; 1 ≤ x ≤ 5} { } atau 0. Merupakan himpunan kosong. Secara teori, himpunan kosong adalah merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan apapun. Notasi U digunakan untuk himpunan universal (yang bersifat besar).

21 Operasi Himpunan Gabungan (Union): A U B = {x; x є A atau x є B} Irisan (Intersection): A ∩ B = {x; x є A dan x є B} Selisih: A – B ≡ A B = { x; x є A tetapi x є B} Pelengkap (Complement): A = { x; x є U tetapi x є A} = U - A

22 Matematika Ekonomi22 2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d

23 Kaidah-kaidah Matematika Kaidah Indempoten: a) A U A = Ab) A ∩ A = A Kadiah Asosiatif: a) (A U B) U C = A U (B U C) b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Kaidah Komutatif: a) A U B = B U A b) A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif: a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ ( A U C) b) A ∩ ( B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C)

24 Kaidah – kaidah Matematika (lanjut) Kaidah Identitas: a) A U 0 = Ab) A ∩ 0 = 0 c) A U U = U d) A ∩ U = A Kaidah Kelengkapan: a) A U A = U b) A ∩ A = 0 c) (A) = Ad) U = 0, 0 = U Kaidah De Morgan: ( A U B ) = A ∩ Bb) ( A ∩ B) =A U B

25 Matematika Ekonomi25 Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir A B S Sifat-sifat gabungan a.A U B = B U A  Hukum komutasi b. A (A U B) dan B (A U B)

26 Matematika Ekonomi26 Operasi potongan (irisan) = ∩ A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B } A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir: AB s

27 Matematika Ekonomi27 Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi) b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) B Operasi selisih Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B A – B = { x / x € A, tetapi x € B } Diagram Venn A – B sebagai berikut: A B S

28 Matematika Ekonomi28 Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”. Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus

29 Matematika Ekonomi29 Komplemen A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A” Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip A = { 1, 3, 5, 7, 9,... } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, } bil. bulat positip genap Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir) S A A’ A

30 Matematika Ekonomi30 Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A Latihan 1 Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan- himpunan bagian A serta B jika: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7 } B = {1, 3, 4, 7, 8 } Kemudian selesaikan : a). A – B b). B – A c) A ∩ B d). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’ g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’

31 Matematika Ekonomi31 Latihan 2 Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € ABA∩BAUB(A∩B)’(AUB)’ €€ 2; 5U2,5{0} €€ €€ €€3 ; 71 ; 2; 3; 4; 7; 8

32 Matematika Ekonomi32 Hubungan Himpunan Hasil kali Cartesius Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y). Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3. Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3} Himpunan hasil kali Cartesius adalah: X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}

33 Matematika Ekonomi33 Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: X (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2(2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Y

34 Matematika Ekonomi34 Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut: Y X Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah H1H1 H2H2 H3H3 H4H4 PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar Terdapat 4 himp bag H 1 = {malas ttp pintar} H 2 = {malas dan krg mengerti} H 3 = {rajin ttp krg ngerti} H 4 = {rajin dan pintar}

35 Matematika Ekonomi35 Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan D h = {1, 2, 3, 4} Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan: W h = {1, 2, 3}

36 Matematika Ekonomi36 Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y. X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } Daerah hubungan D h = { x / x € X} Wilayah hubungan: W h = { y / y € Y}

37 SISTEM BILANGAN

38 Matematika Ekonomi38 SISTEM BILANGAN Nyata + dan - Khayal RasionalIrrasional Bulat Pecahan Bilangan 2; -2; 1,1; -1,1 Akar negatip √(-4) = ± 2 Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0, Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0, … π, ℮ 1; 4; 8; termasuk 0 ½; 2/7 dsb 1. Pembagian bilangan

39 Penggolongan Bilangan (lanjut) Bilangan nyata dapat positif maupun negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif. Bilangan rasional= bilangan bulat, pecahan terbatas Bilangan irrasional adalah bilangan pecahan yang tak terbatas.

40 Jenis-jenis Bilangan Lainnya Bilangan asli: bilangan bulat positif tidak termasuk nol Bilangan cacah: bilangan bulat positif atau nol Bilangan prima: bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri.

41 Matematika Ekonomi41 2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d

42 Operasi Bilangan Kaidah Komutatif: a + b = b + aa x b = b x a Kaidah Asosiatif: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( a x b ) x c = a x ( b x c ) Kaidah Pembatalan: Jika a + c = b + cjikaac = bc (c = 0) maka a = bmaka a = b Kaidah Distributif: a ( b + c ) = ab + ac

43 Operasi Bilangan (lanjut) Unsur Penyama: a ± 0 = a a x 1 = a a : 1 = a Kebalikan: a + (-a) = 0 a x 1/a = 1

44 Berbagai Operasi Tanda Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan Operasi Perkalian Operasi Pembagian

45 Operasi Bilangan Pecahan Operasi Pemadanan a/b = (axc)/(bxc)a/b = (a:c)/(b:c) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Operasi Perkalian (a/x) x (b/y) = (ab)/(xy) Operasi Pembagian: a/b : c/d = a/b x d/c a/b : c/d = x/z : y/z = x/yz = habis dibagi b dan d a/b : c/d = (a/b x z) : (c/d x z)

46 PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

47 PANGKAT Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan. Notasi x n berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sbanyak n kali Contoh: * 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 cukup ditulis 4 6 * dapat diringkas menjadi 10 5 * 1/ dapat diringkas menjadi * dapat diringkas menjadi 35 x 10 9 * dapat diringkas menjadi 4,5 x 10 9 * 0, dapat diringkas menjadi 3,4 x 10 -8

48 Kaidah-Kaidah Pemangkatan Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satu x 0 = 1( x ≠ 0) Contoh: 5 0 = 1 Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri x 1 = xContoh: 5 1 = 5 Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol 0 x = 0Contoh: 0 5 = 0 Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali ( multiplicative inverse ) dari bilangan itu sendiri x -5 = 1/x 5 Contoh: 2 -5 = 1/2 5 = 1/32 = 32 -1

49 Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu sendiri, dengan suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya, sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan Contoh: Bilangan pecahan berpangkat adalah hasilbagi suku-suku berpangkatnya Contoh:

50 Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasilkali pangkat-pangkatnya (x a ) b = x ab Contoh: (2 2 ) 3 = 2 2x3 = 2 6 =64 Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya dalam hal ini c = a b Contoh:

51 Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Hasilkali bilangan-bilangan berpagnkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkat- pangkatnya x a ….x b …..x z = x a+b+..+z Contoh: 2 3 x 2 3 = = 2 6 = 64 Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan x a. y a = (xy) a Contoh: 3 2 x 5 2 = (3x5) 2 = 225

52 Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Hasilbagi bilangan-bilanganerpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya x a : x b = x a-b Contoh: 5 5 : 5 3 = = 5 2 = 25 Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan x a : y a = (x/y) a Contoh: 3 2 : 5 2 = (3/5) 2 = 9/25

53 AKAR Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat Akar dari suatu bilangan ialah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya. Jika x a, maka x sebagai basis dan a sebagai pangkat Jika x a = m, maka x dapat disebut sebagai akar pangkat a dari m dan dapat ditulis sebagai: jika x a = m

54 Kaidah-kaidah Pengakaran Bilangan Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya dalam hal ini adalah basis Akar dari bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi

55 Kaidah-kaidah Pengakaran Bilangan (lanjut) Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar- akarnya Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisien-koefisien terakar Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasilkali pangkat dari akar-akar sebelumnya

56 LOGARITMA Logaritma merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/ atau pengakaran. Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut. Jika x a = m (dalam hal ini x adalah basis dan a adalah pangkat), maka pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x yang ditulis dalam bentuk: a = x log m Biasanya logaritma berbasis 10 sehingga cukup ditulis log m

57 Kaidah-kaidah Logaritma x log x = 1sebab x 1 = x x log1 = 0sebab x 0 = 1 x log x a = a sebab x a = x a x log m a = a x log m x log m n = x log m + x log n x log m/n = x log m – x log n x log m m log x = 1sehingga x log m = 1/ m log x x log m m log n n log x = 1

58 Kasus Sederhanakan dan selesaikan: a)b) Carilah x jika log x = 1,2304! Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3!


Download ppt "PENDAHULUAN MATEMATIKA EKONOMI Dr. Luluk Kholisoh."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google