Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Suryadi MT Struktur Diskrit 1 KOMBINATORIAL Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Suryadi MT Struktur Diskrit 1 KOMBINATORIAL Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT."— Transcript presentasi:

1 Suryadi MT Struktur Diskrit 1 KOMBINATORIAL Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT K-1

2 Suryadi MT Pendahuluan Sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat? abcdef aaaade a123fr … er1sm4n k0mput3r … ???? Struktur Diskrit 2

3 Suryadi MT Definisi Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Struktur Diskrit 3

4 Suryadi MT 4 Kaidah Dasar Menghitung Kaidah perkalian (rule of product) Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil Percobaan 1 dan percobaan 2: p  q hasil Kaidah penjumlahan (rule of sum) Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil Percobaan 1 atau percobaan 2: p + q hasil

5 Suryadi MT 5 Ketua angkatan 2008 hanya 1 orang (pria atau wanita, tidak bias gender). Jumlah pria = 65 orang dan jumlah wanita = 15 orang. Berapa banyak cara memilih ketua angkatan? Penyelesaian: = 80 cara. Dua orang perwakilan angkatan 2008 mendatangai Bapak Dosen untuk protes nilai ujian. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita. Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tesrebut? Penyelesaian: 65  15 = 975 cara.

6 Suryadi MT 6 Perluasan Kaidah Dasar Menghitung Misalkan ada n percobaan, masing- masing dg p i hasil 1. Kaidah perkalian (rule of product) p 1  p 2  …  p n hasil 2. Kaidah penjumlahan (rule of sum) p 1 + p 2 + … + p n hasil

7 Suryadi MT 7 Contoh 3 : Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika: (a) panjang string 5 bit (b) panjang string 8 bit (= 1 byte) Penyelesaian: (a) 2  2  2  2  2 = 2 5 = 32 buah (b) 2 8 = 256 buah

8 Suryadi MT 8 Contoh 4 : Berapa banyak bilangan ganjil dari 1000 sampai dengan 9999 yang : (a) semua angkanya berbeda (b) boleh ada angka yang berulang.

9 Suryadi MT Struktur Diskrit 9

10 Suryadi MT 10 Penyelesaian: (a) posisi satuan: 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7, 9) posisi ribuan: 8 kemungkinan angka posisi ratusan: 8 kemungkinan angka posisi puluhan: 7 kemungkinan angka Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 (b)posisi satuan: 5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 & 9); posisi ribuan: 9 kemungkinan angka (1 sampai 9) posisi ratusan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9) posisi puluhan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9) Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500

11 Suryadi MT Contoh 5 Ditetapkan bahwa password suatu sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak password yang dapat dibuat? Struktur Diskrit 11

12 Suryadi MT 12 Penyelesaian: Jumlah karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 Jumlah kemungkinan password dengan panjang 6 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36 6 = Jumlah kemungkinan password dengan panjang 7 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36 7 = umlah kemungkinan password dengan panjang 8 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36 8 = Jumlah seluruh password (kaidah penjumlahan) adalah = buah.

13 Suryadi MT 13 Prinsip Inklusi-Eksklusi

14 Suryadi MT 14 Permutasi

15 Suryadi MT 15

16 Suryadi MT 16 Definisi: Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. Misalkan jumlah objek adalah n, maka urutan pertama dipilih dari n objek, urutan kedua dipilih dari n – 1 objek, urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek, … urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!

17 Suryadi MT 17 Contoh 6. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”? Penyelesaian: Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata Contoh 7. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? Penyelesaian: P(25, 25) = 25!

18 Suryadi MT 18 Permutasi r dari n elemen Ada enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut?

19 Suryadi MT 19 Permutasi r dari n elemen Penyelesaian: kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (6 pilihan); kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (5 pilihan); kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (4 pilihan). Jadi banyaknya urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120

20 Suryadi MT 20 Secara Umum : Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak (r  n), maka kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola  (n pilihan) kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 1) bola  (n–1 pilihan) kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 2) bola  (n– 2) pilihan … kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari (n–(r – 1)) bola  (ada n – r + 1 pilihan) Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola adalah: n(n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))

21 Suryadi MT 21

22 Suryadi MT Contoh 7 : Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut : 1, 2, 3, 4, 5, jika: (a) tidak boleh ada pengulangan angka, (b) boleh ada pengulangan angka. Struktur Diskrit 22

23 Suryadi MT Contoh 7 : Penyelesaian: (a)Dengan kaidah perkalian : (5)(4)(3) = 120 buah Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 120 (b)Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. Dengan kiadah perkalian: (5)(5)(5) = 5 3 = 125. Struktur Diskrit 23

24 Suryadi MT Contoh 8 : Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula? Penyelesaian: P(26, 4)  P(10,3) = Struktur Diskrit 24

25 Suryadi MT Contoh 8b : Angka 1, 2, 3, 4 disusun ke dalam bentuk 24 bilangan 4 digit yang berbeda. Jika ke-24 bilangan tersebut disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar, maka tentukan posisi dari bilangan 3142 ? Penyelesaian: bilangan diawali angka 1 ada 6 bil pertama bilangan diawali angka 2 ada 6 bil kedua bilangan diawali angka 3 ada 6 bil ketiga : 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421 Jadi bilangan 3142 ada pada posisi ke-14 Struktur Diskrit 25

26 Suryadi MT Contoh 8c : Suatu bilangan bulat positif disebut Palindrom jika digit-digitnya dibaca dari depan dan belakang sama nilainya (misal : 1,33, 272, 1881). Berapa banyak bilangan palindrome paling banyak 3 digit yang dapat disusun dari angka-angka 5,6, dan 7 ? Jawab : Palindrom 1 digit  3 bilangan Palindrom 2 digit  3 bilangan Palindrom 3 digit  9 bilangan Jadi total ada = 15 bilangan Struktur Diskrit 26

27 Suryadi MT Contoh 8d : Mari kita pikirkan bilangan ganjil dari 1 sampai dengan 301. Berapa kali angka 3 muncul ? Jawab : Pada satuan : 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, : 10x : 10x : 10x  30x Pada puluhan : 31, 33, 35, 37, : 5x : 5x : 5x  15x Pada ratusan : 301  1x Jadi total ada = 46 kali muncul angka 3 Struktur Diskrit 27

28 Suryadi MT 28 Kombinasi Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama dan 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola. Banyaknya cara memasukkan bola ke dalam kotak tersebut adalah....

29 Suryadi MT 29

30 Suryadi MT 30 Kombinasi

31 Suryadi MT 31

32 Suryadi MT 32 Kombinasi C(n, r) sering dibaca "n diambil r", artinya r objek diambil dari n buah objek. Definisi 3. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.

33 Suryadi MT 33 Interpretasi Kombinasi

34 Suryadi MT 2. C(n, r) = cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting. Contoh: Berapa banyak cara membentuk panitia (komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5 orang orang dari sebuah fraksi di DPR yang beranggotakan 25 orang? Struktur Diskrit 34

35 Suryadi MT Penyelesaian: Panitia atau komite adalah kelompok yang tidak terurut, artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama. Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, maka urutan penempatan masing- masingnya di dalam panitia tidak penting (ABCDE sama saja dengan BACED, ADCEB, dan seterusnya). Banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah C(25,5) = cara. Struktur Diskrit 35

36 Suryadi MT Contoh 9 : Di antara 8 orang mahasiswa Teknik Komputer Angkatan 2009, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 4 orang sehingga: mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya; mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya; mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak; mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak; mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya; setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya. Struktur Diskrit 36

37 Suryadi MT Penyelesaian Contoh 9 : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang sehingga A selalu termasuk di dalamnya adalah : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang sehingga A tidak termasuk di dalamnya adalah : Struktur Diskrit 37

38 Suryadi MT Penyelesaian Contoh 9 : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang sehingga A selalu termasuk di dalamnya tetapi B tidak, adalah : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang sehingga B selalu termasuk di dalamnya tetapi A tidak, adalah : Struktur Diskrit 38

39 Suryadi MT Penyelesaian Contoh 9 : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang sehingga A dan B selalu termasuk di dalamnya, adalah : Struktur Diskrit 39

40 Suryadi MT Penyelesaian Contoh 9 : Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 4 orang setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya, adalah : A termasuk di dalamnya dan B tidak, atau B termasuk di dalamnya dan A tidak, atau A dan B termasuk di dalamnya Jadi banyaknya adalah = 55 Struktur Diskrit 40

41 Suryadi MT Penyelesaian Contoh 9 : Menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi X = banyak cara membentuk perwakilan menyertakan A Y = banyak cara membentuk perwakilan menyertakan B X  Y = banyak cara membentuk perwakilan menyertakan A dan B, maka  X  = C(7, 3) = 35;  Y  = C(7, 3) = 35;  X  Y  = C(6, 2) = 15;  X  Y  =  X  +  Y  -  X  Y  = – 15 = 55 Jadi banyaknya adalah = 55 Struktur Diskrit 41

42 Suryadi MT 42 Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

43 Suryadi MT 43

44 Suryadi MT 44

45 Suryadi MT 45

46 Suryadi MT Contoh 10: Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Penyelesaian: U = { M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I } huruf M = 1 buah (n 1 ) huruf I = 4 buah (n 2 ) huruf S = 4 buah (n 3 ) huruf P = 2 buah (n 4 ) n = = 11 buah = | U | Struktur Diskrit 46

47 Suryadi MT Contoh 10: Cara 1: Permutasi Banyaknya kata yang dapat dibentuk adalah : Struktur Diskrit 47

48 Suryadi MT Contoh 10: Cara 2: Kombinasi Banyaknya kata yang dapat dibentuk adalah : Struktur Diskrit 48

49 Suryadi MT Contoh 11: Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MATEMATIKA ? Penyelesaian: Struktur Diskrit 49

50 Suryadi MT Contoh 12: Berapa banyak cara membagikan 8 buah mangga kepada 3 orang anak, bila Billy mendapat empat buah mangga, dan Andi serta Toni masing- masing memperoleh 2 buah mangga. Penyelesaian: n = 8, n 1 = 4, n 2 = 2, n 3 = 2, dan n 1 + n 2 + n 3 = 8 Banyaknya cara membagi seluruh mangga = Struktur Diskrit 50

51 Suryadi MT 51 Kombinasi Dengan Pengulangan

52 Suryadi MT Contoh 13: Pada persamaan x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12, x i adalah bilangan bulat  0. Berapa jumlah kemungkinan solusinya? Struktur Diskrit 52

53 Suryadi MT Penyelesaian Contoh 13: Analogi: 12 buah bola akan dimasukkan ke dalam 4 buah kotak (dalam hal ini, n = 4 dan r = 12). Bagilah keduabelas bola itu ke dalam tiap kotak. Misalnya, Kotak 1 diisi 3 buah bola (x 1 = 3) Kotak 2 diisi 5 buah bola (x 2 = 5) Kotak 3 diisi 2 buah bola (x 3 = 2) Kotak 4 diisi 2 buah bola (x 4 = 2) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = = 12 Ada C( – 1, 12) = C(15, 12) = 455 buah solusi. Struktur Diskrit 53

54 Suryadi MT Struktur Diskrit 54 Contoh 14: Berapa banyak cara membagikan 5 buah kartu kepada 4 orang pemain jika banyaknya kartu ada 52 buah ? Karena setiap pemain akan memperoleh 5 kartu maka kartu yang tersisa adalah = 32 Banyak cara untuk membagikan kartu tersebut pada keempat pemain adalah:

55 Suryadi MT 55 Koefisien Binomial

56 Suryadi MT kuliah_9 56 Identitas Pascal: untuk 1 < k < n, berlaku:

57 Suryadi MT kuliah_9 57 Segitiga Pascal …

58 Suryadi MT Contoh 15 : Jabarkan bentuk (3x – 2) 3 Jawab : Misalkan a = 3x dan b = -2, (a + b) 3 = C(3, 0) a 3 + C(3, 1) a 2 b 1 + C(3, 2) a 1 b 2 + C(3, 3) b 3 = 1 (3x) (3x) 2 (-2) + 3 (3x) (-2) (-2) 3 Jadi (3x – 2) 3 = 27 x 3 – 54x x – 8 Struktur Diskrit 58

59 Suryadi MT Contoh 16 : Tentukan suku keempat dari penjabaran perpangkatan (x - y) 5. Penyelesaian: Bentuk umum : (x - y) 5 = (x + (-y)) 5.  n = 5 Jadi suku keempat  k = 3, adalah: C(5, 3) x 5-3 (-y) 3 = -10x 2 y 3. Struktur Diskrit 59

60 Suryadi MT Contoh 17 : Buktikan bahwa Penyelesaian: Bentuk umum : Ambil x = 1 dan y = 1 Didapat Struktur Diskrit 60

61 Suryadi MT Struktur Diskrit 61 Referensi : Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Application to Computer Science 5th Edition, Mc Graw-Hill, Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice-Hall, Rinaldi Munir, Matematika Diskrit Penerbit Informatika, Bandung.

62 Suryadi MT 62 Latihan : 1. (a) Berapa banyak bilangan genap 2-angka? (b) Berapa banyak bilangan ganjil 2-angka dengan setiap angka berbeda? 2. Dari buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5?

63 Suryadi MT Tersedia 6 huruf: a, b, c, d, e, f. Berapa jumlah pengurutan 3 huruf jika: (a) tidak ada huruf yang diulang; (b) boleh ada huruf yang berulang; (c) tidak boleh ada huruf yang diulang, tetapi huruf e harus ada; (d) boleh ada huruf yang berulang, huruf e harus ada 4. Tentukan banyak cara pengaturan agar 3 orang mahasiswa Jurusan Teknik Komputer (TK), 4 orang mahasiswa Teknik Kimia (TK), 4 orang mahasiswa Teknik Geologi (GL), dan 2 orang mahasiswa Farmasi (FA) dapat duduk dalam satu baris sehingga mereka dari departemen yang sama duduk berdampingan?

64 Suryadi MT Tugas : 1. Terdapat 24 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan? 2. Tunjukkan bahwa Struktur Diskrit 64

65 Suryadi MT Tugas : 3. Tentukan koefisien 4. Terdapat 10 kandidat karyawan yang terdiri dari 4 Sarjana Ekonomi dan 6 Sarjana Teknik. Berapa cara terpilih 3 orang yang terdiri dari 1 Sarjana Ekonomi dan 2 Sarjana Teknik ? 5. Berapa banyak string bit yang memiliki panjang delapan dimulai dengan bit 1 atau diakhiri bit 00 dapat dibuat? Struktur Diskrit 65

66 Suryadi MT Tugas : 6. Terdapat pasangan bilangan Palindrom 4 digit yang jika saling dijumlahkan akan menghasilkan bilangan Palindrom 5 digit. (misal : = 12221) Berapa banyak bilangan Palindrom 4 digit tersebut ? Struktur Diskrit 66

67 Suryadi MT Struktur Diskrit 67 Notes :


Download ppt "Suryadi MT Struktur Diskrit 1 KOMBINATORIAL Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google