Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Dr. Ir. Yandra Arkeman, MEng Mata Kuliah Teknik Optimasi Departemen Teknologi Industri Pertanian Fateta - IPB Mei 2009.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Dr. Ir. Yandra Arkeman, MEng Mata Kuliah Teknik Optimasi Departemen Teknologi Industri Pertanian Fateta - IPB Mei 2009."— Transcript presentasi:

1 Dr. Ir. Yandra Arkeman, MEng Mata Kuliah Teknik Optimasi Departemen Teknologi Industri Pertanian Fateta - IPB Mei 2009

2 Nonlinear Programming (NLP) Formulasi NLP Maks/Min f (x)x = [ x 1 x 2 x 3 …. X n ] T terhadap h (x) = 0j = 1, 2, ….., m g (x) ≥ 0j = m + 1, …., p Fungsi Kendala dapat dalam bentuk persamaan maupun pertidaksamaan Bentuk pertidaksamaan  bentuk persamaan

3 Beberapa Metode Metode Eliminasi Metode Lagrange Metode Penalty Ketiga metoda akan digunakan untuk kendala dgn bentuk persamaan (=)

4 METODE ELIMINASI CONTOH Minimumkan f (x) = 4x x 2 2 (pers. 1) terhadap 2x 1 + 3x 2 = 6(pers. 2) Gunakan Metode Eliminasi!

5 METODE ELIMINASI PENYELESAIAN Baik x 1 maupun x 2 dapat dieliminasi. Cth gunakan x 1 ; x 1 = 6 – 3 x 2 2 Selanjutnya eliminasikan ke pers.2; f (x 2 ) = 14x 2 2 – 36x (pers.3)

6 METODE ELIMINASI PENYELESAIAN minimisasi pers.3, dgn cara turunan ∂ f(x 2 ) = 28x 2 – 36 = 0  x 2 * = ∂x 2 Sehingga diperoleh x 1 * = 6 – 3 x 2  x 1 * =

7 METODE ELIMINASI

8 METODE PENGALI LAGRANGE Metode ini dapat digunakan bila sulit menggunakan Metode Eliminasi Misal terdapat masalah optimasi dengan 2 variabel dan 1 persamaan konstrain: Min f (x 1, x 2 ) terhadap h (x 1, x 2 ) = e( e adalah konstanta) atau h (x 1, x 2 ) – e = 0 h – e = 0

9 Bentuk Umum Kalau fungsi yang akan diminimumkan adalah: Y = f(x) Dengan kendala h k = h(x)=0,,maka: Notasi fungsi dengan pengali Lagrange menjadi: L(x,  ) = Y +   k h k

10 METODE PENGALI LAGRANGE Jika fungsi objektif tambahan dapat didefinisikan sebagai L(x, ω) = f (x) + ωh(x)catatan h(x) = 0 Maka pers.1 dapat ditulis menjadi (untuk 2 variabel x 1 dan x 2 ) : ∂f + ω∂h = ∂ L = 0(Pers.2a) ∂x 1 ∂x 1 ∂x 1 ∂f + ω∂h = ∂ L = 0 (Pers.2b) ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 Syarat kondisi (Pers.2) yang optimum adalah ∂ L (x, ω) = h (x) = o (Pers.3) ∂ ω

11 METODE PENGALI LAGRANGE Contoh Soal Minimumkan f(x) = 4x x 2 2 Terhadaph(x)= 0 = 2x 1 + 3x 2 – 6 Penyelesaian Ubah bentuk fungsi tujuan  L(x, ω) = 4x x ω(2x 1 + 3x 2 – 6) (terapkan syarat kondisi pers. 2 dan 3 ) ∂L(x, ω) = 8x ω = 0 ∂x 1 ∂L(x, ω) = 10x ω = 0 ∂x 2 ∂L(x, ω) = 2x 1 + 3x 2 – 6 = 0 ∂ ω Dengan substitusi, x 1 = -ω/4 dan x 2 = -3ω/10, Maka  2(-ω/4) + 3(-3ω/10) – 6 = 0 ω = -30/7 x 1 ‘ = x 2 ' = 1.286

12 Latihan 1 (Pengali Lagrange) Optimumkan fungsi: F(x) = 3x x x 1 x 2 + 6x 1 + 2x 2 Terhadap 2x 1 – x 2 = 4 Gunakan matriks Hess untuk menguji apakah solusi yang didapatkan merupakan titik minimum atau maksimum

13 METODE PENALTY Merupakan metode kedua yang banyak digunakan untuk menyelesaikan NLP Ide utama Metode ini: Minf(x) terhadapg(x) ≥ 0min P(f,g,h) h(x) = 0 Dimana P(f,g,h) merupakan fungsi Penalty atau fungsi baru

14 Jika fungsi Y = f(x) akan dioptimasikan dengan kendala g i = 0, maka dibuat fungsi baru: F = Y +  p k (g k ) 2 Fungsi ini kemudian diperlakukan sbg fungsi tanpa kendala dan dioptimumkan dgn nilai P sangat besar, atau p   Untuk mencari maksimum bentuknya menjadi: F = Y -  p k (g k ) 2

15 CONTOH Minimumkan f (x) = 4x x 2 2 (pers. 1) terhadap 2x 1 + 3x 2 = 6(pers. 2) Gunakan Metode Penalty!

16 Penyelesaian: Karena hanya ada satu kendala, maka: F = Y + p 1 (g 1 ) 2 Sehingga diperoleh: F = 4x x p(2x 1 +3x 2 -6) 2 (i)  F/  x 1 = 8x 1 +4p(2x 1 +3x 2 -6) = 0 (ii)  F/  x 2 = 10x 2 +6p(2x 1 +3x 2 -6) = 0 (iii) Pers (ii) = Pers (iii), maka: 8x 1 /4 = -p(g) = 10x 2 /6 x 1 = (5/6) x 2

17 Subtitusi ke pers. (ii): 8[(5/6)x 2 ] + 4p[(5/3)x 2 +3x 2 -6] = 0 20/3 x /3 px px 2 – 24p = 0 20/3 x /3 px 2 = 24p x2 [ 20/3 + (56/3)p ] = 24p x2 = 24p. 20/3 + (56/3)p Persamaan dibagi dgn p dan disederhanakan: x2 = 9. (5/2p) + 7 Jika p  , maka x2  Sehingga x1=1.071

18 Cari nilai matriks Hess dan tentukan apakah titik stasioner yang didaptkan benar merupakan titik minimum!

19 Latihan: NLP sbb: Min f(x) = (x 1 – 1) 2 + (x 2 – 2) 2 terhadap h(x) = x 1 + x = 0 NLP tersebut dapat ditransform menjadi fungsi tanpa kendala sbb P(x,r) = (x 1 – 1) 2 + (x 2 – 2) 2 + r (x 1 + x ) 2


Download ppt "Dr. Ir. Yandra Arkeman, MEng Mata Kuliah Teknik Optimasi Departemen Teknologi Industri Pertanian Fateta - IPB Mei 2009."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google