Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Proses Stokastik Semester Ganjil 2011 1. Sebaran yang Berhubungan dengan Proses Poisson: Interarrival and waiting times t X(t)X(t) S1S1 S0S0 S2S2 S3S3.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Proses Stokastik Semester Ganjil 2011 1. Sebaran yang Berhubungan dengan Proses Poisson: Interarrival and waiting times t X(t)X(t) S1S1 S0S0 S2S2 S3S3."— Transcript presentasi:

1 Proses Stokastik Semester Ganjil

2 Sebaran yang Berhubungan dengan Proses Poisson: Interarrival and waiting times t X(t)X(t) S1S1 S0S0 S2S2 S3S3 W1W1 W2W2 W3W3 W4W W0W0 X(t): Jumlah kedatangan sampai dengan waktu t, dengan laju λ W n, n =0, 1, …: Waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke n S n, n =0, 1, …: Waktu antar kedatangan (interarrival times), atau sojourn time

3 Waktu antar Kedatangan ( Interarrival Times ): Sojourn times Waktu antar kedatangan S 0, S 1, … adalah peubah acak exponential yang saling bebas dengan rata- rata 1/ ( i.i.d ): Jika tidak terdapat kedatangan sampai dengan waktu t berarti bahwa: Waktu tunggu ( waiting time ) dari kedatangan pertama ( W 1 ) atau sistem sojourn pada state 0 ( S 0 ) lebih dari t Funsi Sebaran Kumulatif (cdf) dari sebaran exponential dengan rata-rata (mean) 1/ λ

4 Waktu Tunggu ( Waiting Time )  Waktu tunggu adalah jumlah dari n waktu antar kedatangan (interarrival/sojourn times).  Waktu antar kedatangan (interarrival times) menyebar secara exponential  Dengan pendekatan fungsi pembangkit moment: Fungsi pembangkit moment dari sojourn times, S

5 Fungsi pembangkit moment dari waiting time, W Dengan sifat i.i.d. dari sojourn times Yang merupakan fungsi pembangkit momen dari sebaran Gamma (n, λ ), dengan fungsi:

6 Ringkasan  Jika jumlah kedatangan sampai dengan waktu t, X(t) adalah proses Poisson dengan laju λ  Maka waktu antar kedatangan (interarrival times), S akan menyebar secara exponential dengan rata-rata (mean) 1/ λ  Dan waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke n, W mempunyai sebaran gamma dengan parameter (n, λ )

7 Contoh  Suatu sumber radioaktif memancarkan partikel mengikuti proses Poisson dengan laju λ =2 partikel per menit.  Berapa peluang bahwa partikel pertama akan muncul setelah tiga menit?

8  Berapa peluang bahwa partikel pertama muncul setelah menit ke-3 menit akan tetapi sebelum menit ke-5?

9 Proses Poisson dan Sebaran Binomial Teorema  Diberikan X(t) suatu proses Poisson dengan laju λ >0, maka untuk 0

10

11

12

13 Contoh:  Jika 6 pelanggan datang pada setelah 3 jam fasilitas dibuka, berapa peluang bahwa terdapat 2 pelanggan datang selama jam pertama fasilitas tersebut dibuka?  X(t): jumlah kedatangan pelanggan ke suatu fasilitas umum  Adalah proses Poisson dengan laju =2 pelanggan/jam  0<1<3 and 0 ≤2 ≤6

14

15 Definisi Proses Kelahiran dan Kematian ( Birth and Death Process ) Adalah proses Markov untuk waktu kontinyu X(t) dengan:  State space yang bersifat diskrit  Kemungkinan state: i = 0, 1, 2,... sedemikian sehingga  Transisi state hanya mungkin terjadi antara state yang bertentangga, i → i+1 or i → i-1  Transisi tersebut terjadi pada selang waktu tertentu dari t sampai dengan (t+ ∆ t)

16 Birth and Death Process Digunakan untuk memodelkan  Proses reproduksi organisme  Penyebaran penyakit menular  Sistem antrian

17  Laju transisi: Ketika sistem berada pada state i  Peluang kelahiran pada selang waktu ∆ t adalah λ i ∆ t  Peluang kematian pada selang waktu ∆ t adalah μ i ∆ t

18 Peluang Equilibrium Probability dari Birth and Death Process  Adalah peluang dari proses berada di state i, tanpa tergantung waktu  Pada saat equilibrium total aliran peluang (net flow) adalah 0  State 0 dapat dijangkau dari state 1 dengan peluang π 1 dan laju μ 1  State 0 dengan peluang π 0 dapat berubah menjadi state 1 dengan laju λ 0 Secara umum:  State k dapat dijangkau dari k+1 dengan peluang π k+1 dan laju μ k+1  State k dengan peluang π k dapat berubah menjadi state k+1 dengan laju λ k

19  Hubungan berikut mendefinisikan net flow balance: Dst secara rekursif:

20  Dengan batasan sedemikian sehingga fungsi peluang dapat terdefinisi dengan baik:  π 0 menentukan syarat di atas

21

22 Contoh:  Proses kelahiran dan kematian berawal dari X(0)=0 dan 0, 1, 2, 3 adalah kemungkinan state, dengan parameter kelahiran dan kematian  Berapa peluang bahwa pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state 0?

23  Berapa peluang bahwa pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state1?


Download ppt "Proses Stokastik Semester Ganjil 2011 1. Sebaran yang Berhubungan dengan Proses Poisson: Interarrival and waiting times t X(t)X(t) S1S1 S0S0 S2S2 S3S3."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google