Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Matematika Ekonomi1. MATERI MATRIKULISI PROGRAM PASCA SARJANA PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS PERTANIAN UNJA Oleh R. SIHOTANG.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Matematika Ekonomi1. MATERI MATRIKULISI PROGRAM PASCA SARJANA PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS PERTANIAN UNJA Oleh R. SIHOTANG."— Transcript presentasi:

1 Matematika Ekonomi1

2 MATERI MATRIKULISI PROGRAM PASCA SARJANA PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS PERTANIAN UNJA Oleh R. SIHOTANG

3 Matematika Ekonomi3 Ruang Lingkup: Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus, dan Matriks. Sasaran: Mahasiswa Program Studi Agribisnis yang diterima pada Program Pascasarjana Fakultas pertanian Univ. Jambi Tujuan : Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-kosep Matematika dalam penerap- annya pada persoalan ekonomi.

4 Matematika Ekonomi4 Kompetensi: Mampu menyelesaikan persoalan Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis Matematika. Literatur Chiang A.C, Fundamental Methods of Mathematical Economics. Third Edition, Mc Graw-Hill Book Inc. New York Johannes, H dan Handoko, BS Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas. LP3ES. Jakarta

5 Matematika Ekonomi5 Materi: Pegertian Matematika Himpunan Sistem Bilangan Fungsi Fungsi Linear Fungsi non Linear Diferensial Fungsi Sederhana Diferensial Fungsi Majemuk Aljabar Matriks

6 ASAL KATA Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari mate- matika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis. B erpikir matematis: Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga. MATEMATIKA

7 Matematika Ekonomi7 Berpikir matematis: Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika. Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa. Dengan mempelajari matematika, membawa sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat.

8 Matematika Ekonomi8 Ekonomi dan Matematika Ekonomi Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya: a.Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana. b.Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktif- kan logika dengan asumsi-asumsinya. c.Dapat memakai sebanyak n variabel dalam meng- gambarkan sesuatu (hubungan antar variabel) Mis Q d = f(Pr, Inc, Pi, … ), Pr = harga komoditi ybs Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi

9 Matematika Ekonomi9 Kelemahannya pendekatan matematis: a.Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering menimbulkan kesukaran. Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis tersebut, mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika. b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan: (1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis

10 Matematika Ekonomi10 (2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi. Kesimpulan dari bahasa adalah: 1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi. 2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of transportation” yaitu membawa pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model)

11 Matematika Ekonomi11 Matematika Ekonomi dan Ekonometrika Ekonometrika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan penerapan statistika untuk menganalisa data ekonomi. Data Ekonomi - Deduksi - Model -Induksi -Mengolah data - Mengambil kesimpulan Ekonometrika Matematika

12 Matematika Ekonomi12 Teori Ekonomi Model atau Hipotesis Fakta Data Ekonomi Metode Ekonometrika Teori Statistika Satu Persamaan Simultan Teori Diterima Teori Ditolak Teori Disempurnakan deduktif induktif

13 Matematika Ekonomi13 Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas: Menurut “Social Science Research Council, seorang ahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan (gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus (limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partial differentiation, integrasi multipel).

14 Matematika Ekonomi14 HIMPUNAN = GUGUS Silabus: Definisi, pencatatan dan himpunan khas Himpunan Bagian Pengolahan (operasi) himpunan Hubungan

15 Matematika Ekonomi15 1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas Himpunan adalah kumpulan dari obyek- obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini menjadi penciri yg membuat obyek/unsur itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital) Obyek atau unsur atau elemen dilambang- kan a,b,c, … atau 1, 2, 3, … Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan sete- rusnya.

16 Matematika Ekonomi16 Dua cara pencatatan suatu himpunan a.Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup “ dan “ menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4. b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen tanda “/” dibaca dengan syarat x bil genap = sifat atau ciri

17 Matematika Ekonomi17 Cara pendefinisian sifat yang lain: J = { x / 2 < x < 5 } x merupakan unsur Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5 Himpunan khas: a.Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakan S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjil b. Himpunan kosong (emty set) E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan “ø”

18 Matematika Ekonomi18 Perhatikan: P = { 2, 3, 4 } Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€” Jadi: 2 € P 3 € P 4 € P. Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam” Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P dicatat 5 € P 6 € P Tanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen” atau “diluar”.

19 Matematika Ekonomi19 2. Himpunan bagian Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: B A, baca B mencakup A Tanda dibaca bukan himpunan bagian dan tanda dibaca tidak/bukan mencakup Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih unsur himp itu sebagai unsurnya.

20 Matematika Ekonomi20 Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 } Himpunan bagiannya: a.Memilih semua unsur:X 4 = { 1, 2, 3, 4 } b.Memilih tiga unsurX 31 = { 1, 2, 3 } X 32 = { 1, 2, 4 } X 33 = { 1, 3, 4 } X 34 = { 2, 3, 4 } c. Memilih dua unsur X 21 = { 1, 2 }; X 22 = { 1, 3 } X 23 = { 1, 4 }; X 24 = { 2, 3 } X 25 = { 2, 4 }; X 26 = { 3, 4 }

21 Matematika Ekonomi21 d. Memilih 1 unsur: X 11 = { 1 }; X 12 = { 2 } X 13 = { 3 }; X 14 = { 4 } e. Tanpa memilih X 0 = { } Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2 n 1 elemen: 1  2 himp bag 2 elemen:  4 himp bag 3 elemen:  8 himp bag 4 elemen:  16 himp bag 5 elemen:  32 himp bag Disebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton

22 Matematika Ekonomi22 Latihan:

23 Matematika Ekonomi23 3. Pengolahan (operasi) Himpunan Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan, pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen. Operasi Gabungan ( U ) A U B = { x / x ε A atau x ε B } A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B. Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 } A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }

24 Matematika Ekonomi24 Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir A B S Sifat-sifat gabungan a.A U B = B U A  Hukum komutasi b. A (A U B) dan B (A U B)

25 Matematika Ekonomi25 Operasi potongan (irisan) = ∩ A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B } A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir: AB s

26 Matematika Ekonomi26 Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi) b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) B Operasi selisih Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B A – B = { x / x € A, tetapi x € B } Diagram Venn A – B sebagai berikut: A B S

27 Matematika Ekonomi27 Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”. Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus

28 Matematika Ekonomi28 Komplemen A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A” Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip A = { 1, 3, 5, 7, 9,... } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, } bil. bulat positip genap Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir) S A A’ A

29 Matematika Ekonomi29 Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A Latihan 1 Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan- himpunan bagian A serta B jika: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7 } B = {1, 3, 4, 7, 8 } Kemudian selesaikan : a). A – B b). B – A c) A ∩ B d). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’ g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’

30 Matematika Ekonomi30 Latihan 2 Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € ABA∩BAUB(A∩B)’(AUB)’ €€ €€ €€ €€

31 Matematika Ekonomi31 Hubungan Himpunan Hasil kali Cartesius Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y). Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3. Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3} Himpunan hasil kali Cartesius adalah: X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}

32 Matematika Ekonomi32 Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: X (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2(2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Y

33 Matematika Ekonomi33 Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut: Y X Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah H1H1 H2H2 H3H3 H4H4 PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar Terdapat 4 himp bag H 1 = {malas ttp pintar} H 2 = {malas dan krg mengerti} H 3 = {rajin ttp krg ngerti} H 4 = {rajin dan pintar}

34 Matematika Ekonomi34 Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan D h = {1, 2, 3, 4} Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan: W h = {1, 2, 3}

35 Matematika Ekonomi35 Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y. X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } Daerah hubungan D h = { x / x € X} Daerah hubungan: W h = { y / y € Y}

36 Matematika Ekonomi36 SISTEM BILANGAN Nyata + dan - Khayal RasionalIrrasional BulatPecahan Bilangan 2; -2; 1,1; -1,1 Akar negatip √(-4) = ± 2 Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0, Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0, … π, ℮ 1; 4; 8; termasuk 0 ½; 2/7 dsb 1. Pembagian bilangan

37 Matematika Ekonomi37 2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d

38 Matematika Ekonomi38 Fungsi Silabus: a. Pengertian b. Macam-macam fungsi c. Fungsi Linear d. Fungsi non Linear

39 Matematika Ekonomi39 Dengan denah Venn sbb: ◦◦◦◦◦◦ X Y Hubungan Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau fungsi. Jelasnya fungsi LINEAR Pengertian Himpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y)

40 Matematika Ekonomi40 Perhatikan juga contoh berikut: 0 x1x1 x2x2 X Y y1y1 y = f(x) x1x2xnx1x2xn y1yny1yn X Y Gambar di atas, nilai x 1 dan x 2 dalam X, dihubung- kan dengan nilai y 1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x) Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di transformasikan di dalam himpunan y.

41 Matematika Ekonomi41 Transformasi mengandung pengertian yang luas: a. x menentukan besarnya nilai y b. x mempengaruhi nilai y c. Dll. Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x  y simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi unsur himp. X kedalam himpunan Y Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergan- tungan (hub fungsional antara satu variabel dengan variabel lain aturan ditransformasi

42 Matematika Ekonomi42 Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas) y akibat dari fungsi (variabel terikat) Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (D f ) dan nilai y disebut dengan Range atau Wilayah fungsi (R f = W f ). D f = { x / x ε X } W f = { y / y ε Y } Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = Q. Perusahaan memiliki kapasitas limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya? Jawaban: D f = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 } R f = { C / 150 ≤ C ≤ 850 }  Dapat Anda jelaskan ?

43 Matematika Ekonomi43 Macam-macam fungsi a. Fungsi Polinomial x y Konstan, jika n = 0 y = a a0a0 Slope = a 1 Bentuk umumnya : y = a + bx + cx px n x y Linear, jika n = 1 y = a + bx a0a0 Kuadratik, jika n = 2 Y = c + bx + ax 2 case c < 0

44 Matematika Ekonomi44 x y Titik belok Titik maksimum Fungsi kubik y = d + cx + bx 2 + ax 3 Titik maksimum Titik minimum x y Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx 2 + bx 3 + ax 4

45 Matematika Ekonomi45 b. Fungsi Rasional Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola. Hiperbola: y = (a/x), a > 0 x y 0 c. Fungsi eksponensial dan logaritma y x 0 Eksponensial y = b x, b>1 y x 0 Logaritma y = log b x

46 Matematika Ekonomi46 Fungsi linear Fungsi linear merupakan bentuk yang paling dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi Fungsi linear merupakan hubungan sebab- akibat dalam analisa ekonomi – misalnya: - antara permintaan dan harga - invests dan tingkat bunga - konsumsi dan pendapatan nasional, dll Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1.

47 Matematika Ekonomi47 Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom: y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu y = a + bx  bentuk umum Contoh: y = 4 + 2x  a = 4 b = 2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal y b = 2, adalah koefisien arah atau lereng atau slope garis.

48 Matematika Ekonomi48 x y b a 0 = penggal garis y = ax + b, pada sumbu y yaitu nilai y saat x = 0 0 a = lereng garis atau ∆y/Δx pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a ∆x ∆y = a a a a a y = a + bx

49 Matematika Ekonomi49 Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan. Latihan-1 y = 4 + 2x Penggan garis pada sumbu y = …………… Lereng garis : xy∆x∆y∆y/∆x = a Mendapatkan penggal garis pada sumbu y ketika x = 0

50 Matematika Ekonomi50 Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2x xy∆x∆y∆y/∆x = a Mendapatkan penggal garis pada sumbu x ketika y = 0

51 Matematika Ekonomi51 Kurva (grafik) fungsi Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena lerengnya sama. Misalkan y = 36 – 4x maka a = -4  (∆y/∆x) b = 36 Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu y Hubungkan kedua titik penggal tersebut Titik penggal pada sb x,  y =.., x = … atau titik (…, …) Titik penggal pada sb y,  x =.., y = … atau titik (…, …)

52 Matematika Ekonomi52 Grafik: y x y = 36 – 4x (0,36) (9,0) Grafik dengan lereng negatip

53 Matematika Ekonomi53 Gambarkan grafik fungsi: y = 2 + 4x Titik penggal dg sb x  y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0) Titik penggal dg sb y  x = 0, y = 2, (0,2) Gambarkan : y x 0 Grafik dengan lereng positip y = 2 + 4x

54 Matematika Ekonomi54 Fungsi non linear (kuadratik) Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang sering digunakan dalam analisa ekonomi Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear juga merupakan hubungan sebab-akibat Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2 atau fungsi polinom derajad-2. Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom: y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a 2 ± 0, yaitu y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 atau sering ditulis: y = ax 2 + bx + c

55 Matematika Ekonomi55 Contoh - 1: y = 8 – 2x – x 2 a = -1 (a < 0) b = -2 c = 8  Contoh - 2: y = 2x 2 + 4x + 6 a = 2  a > 0) b = 4 c = 2 Menggambar kurva non linear kuadratik a. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 0 = 8 – 2x – x 2 atau 8 – 2x – x 2 = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara: 1. Faktorisasi Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas- ruasnya atau disebut bentuk perkalian dua fungsi yang lebih kecil

56 Matematika Ekonomi56 Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan: (2 - x)(4 + x)  f(x) = g(x).h(x) (2 - x)(4 + x) = 0 (2 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0) (4 + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0) 2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) -b ± √ b 2 – 4ac x = c - (-2) ± √ (-2) 2 – 4(-1)(8) x = (-1)

57 Matematika Ekonomi57 2 ± √ ± 6 x = = x 1 = (2 + 6)/(-2) = -4,  titik (-4, 0) x 2 = (2 – 6)/(-2) = 2,  titik (2, 0) Hasilnya sama dengan cara faktorisasi. b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0 y = 8 – 2x – x 2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8) c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi- m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari.

58 Matematika Ekonomi58 Mencari titik maks atau min Sifat fungsi kuadratik a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim. Titik maks jika a 0 b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan: -b b 2 – 4ac x = ----, dan y = a -4a c. Kurvanya simetri pada titik x maks/min y = 8 – 2x – x 2, a < 0  berarti maks x maks = -(-2)/(2)(-1) = -1 y maks = [(-2) 2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9.  titik maks (-1, 9).

59 Matematika Ekonomi59 Gambarkan kurvanya: 0x y

60 Matematika Ekonomi60 Latihan: Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2: y = 2x 2 + 4x + 6

61 Matematika Ekonomi61 Lanjutan:

62 Matematika Ekonomi62 Hubungan dua garis Dua buah garis dengan fungsi linier dapat: a. berimpit y 1 = a 1 x + b 1 y 2 = a 2 x + b 2 Berimpit: Jika dan hanya jika a 1 = a 2 b 1 = b 2 b. Sejajar y 1 = a 1 x + b 1 y 2 = a 2 x + b 2 Sejajar: Jika dan hanya jika a 1 = a 2 b 1 ± b 2

63 Matematika Ekonomi63 c. Berpotongan y 2 = a 2 x + b 2 y 1 = a 1 x + b 1 Berpotongan: jika dan hanya jika a 1 ± a 2 b 1 ± b 2 Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya dapat berpotongan. y 1 = a 1 x + b 1 y 2 = ax 2 + bx + c y x y x a<0 a>0 Ttk pot Ttk pot

64 Matematika Ekonomi64 Mencari titik potong dua garis/persamaan Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebut Caranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x) (2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong Cari titik potong fungsi x = 15 – 2y dan 3y = x +3 x = 15 – 2y  y = -(1/2)x + 15/2 3y = x +3  y = (1/3)x + 1 -(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1 -(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2 x = 78/10

65 Matematika Ekonomi65 Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada salah satu fungsi: y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1 y = 26/10 Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10)

66 Matematika Ekonomi66 Mencari titik potong dua garis/persamaan (1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23 Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut. Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x) (1) 2x + 3y = 21  3y = 21 – 2x atau y = 7 – (2/3)x (2) x + 4y = 23  4y = 23 – x atau y = (23/4) – (1/4)x Titik potong kedua garis: 7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x 7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12.  y = 11/4  (12, 11/4)

67 Matematika Ekonomi67 Latihan

68 Penggunaan Fungsi dalam ekonomi Analisa keseimbangan pasar Keseimbangan pasar – Model linear Asumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses demand” = 0 atau (Q d – Q s = 0) Asumsi-2: Q d = jumlah permintaan adalah fungsi linear P (harga). Jika harga naik, maka Q d turun. Asumsi-3: Q s = jumlah penawaran adalah fungsi linear P. Jika harga naik, maka Q s juga naik, dengan syarat tidak ada jlh yang ditawarkan sebelum harga lebih tinggi dari nol. Persoalan,bagaimana menentukan nilai keseimbangan ?

69 Matematika Ekonomi69 Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi pada saat: Q d = Q s Q d = a - bP, slope (-) (1) Q s = -c + dP, slope (+) (2) Gambarnya sbb: Q d, Q s P -c P1P1 a Q d = a -bP Q s = -c + dP P0P0 Q0Q0 0 keseimbangan

70 Matematika Ekonomi70 Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb: Q s = 4 – p 2 dan Q d = 4P – 1 Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21) tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah positip) maka keseimbangan pada (1, 3)} 0 1, Q S = 4p - 1 Q D = 4 - p 2 keseimbangan

71 Matematika Ekonomi71 Latihan Temukan keseimbangan dari Q d dan Q s tersebut

72 Matematika Ekonomi72

73 Matematika Ekonomi73

74 Matematika Ekonomi74 Keseimbangan pasar (lanjutan) Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an permintaan dan penawaran dari suatu komoditi tertentu jika: Q d = 16 – P 2, (Permintaan) Q S = 2p 2 – 4p (penawaran) Gambarkan grafiknya Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5

75 Matematika Ekonomi75 Penjelasan Pada saat keseimbangan maka Q d = Q s 16 – p 2 = 2p 2 – 4p 3p 2 – 4p – 16 = 0 Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2 dengan bentuk umum: ax 2 + bx + c Koefisien a = 3, b = -4, dan c = -16 p = (-b) ± (b 2 – 4ac) 1/2 = 4 ± ( ) 1/2 = 3.1 (+) Q d = 16 – p 2 = 16 - (3.1) 2 = 6.4 Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas 6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4, 3.1) 2a 6

76 Matematika Ekonomi76 Grafik: Fungsi Permintaan: Q d = 16 – p 2 a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 16, (16,0) b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 16 – p 2 = 0 (p – 4)(p + 4).  p – 4 = 0, p = 4, ttk (0, 4) p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4) c.Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0 p = (b 2 – 4ac)/(-4a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16 atau pada titik (0, 16)

77 Matematika Ekonomi77 Grafik: Fungsi penawaran Q s = 2p 2 – 4p a.Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 0, (0,0) b.Titik potong dengan sb p  Q = 0; 2p 2 – 4p = 0 Atau 2p(p – 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0) (p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2) c. Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 4/4 = 1 p = (b 2 – 4ac)/(-4a) = (-4) 2 – 4(2)(0)/(-4)(2) = 2 atau pada titik (1, 2)

78 Matematika Ekonomi78 Grafik: Q p QdQd QsQs Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5 Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5, terjadi ekses demand

79 Matematika Ekonomi79 Penjelasan ekses suplai dan ekses demand QsQs QdQd Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses supply mendorong harga turun.

80 Matematika Ekonomi80 DERIFATIF 1.1. Pengantar Kalkulus Kalkulus khususnya bahasan matematika tentang a. Fungsi b. Derivatif atau fungsi turunan c. Derivatif parsial dan d. Integral sangat luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife- rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu ekonomi diantaranya: 1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan

81 Matematika Ekonomi81 2) Elastisitas produksi 3) Biaya total, rata-rata dan marginal 4) Revenue dan marginal revenue 5) Maksimisasi penerimaan dan profit. 6) dll. Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric. Economist, atau agribussines manager perlu mendalami pengetahuan kalkulus diferensial dan inte- gral. Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan.

82 Matematika Ekonomi Limit fungsi Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan: h(x) = x 2 + x - 3 x - 1 Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (per- hatikan pembagi/penyebut) maka nilainya ± 0/0 (bentuk tak tentu)

83 Matematika Ekonomi83 h(x) = = = 2x + 3 2x 2 + x - 3 x - 1 (x-1)(2x +3) x - 1 Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas fak- tornya, sehingga: Demikian juga jika g(x) = , nilainya akan tak x x - 2 tentu, untuk x = 2 Karena itu g(x) disederhanakan menjadi: g(x) = = x + 2. (x – 2)(x + 2) x - 2

84 Matematika Ekonomi84 Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut: ◦ 1 x y y = h(x) Fungsi h tdk terdefi- nisi di titik x = 1. Un- tuk x ± 1, maka h(x) = 2x + 3. Sehingga untuk x mendekati 1, h(x) akan mende- kati 5. Dikatakan limit fungsi h dititik x = 1 adalah 5.

85 Matematika Ekonomi85 Keadaan di atas, dicatat sebagai: lim h(x) = lim = 5 x1x1x1x1 2x 2 + x - 3 x - 1 Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1 Demikian juga dengan g(x) di atas lim g(x) = lim = 4. x x - 2 x  2

86 1.3. Pengertian Derivatif Suatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x 0 dan y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka: lim f(x) = f(x 0 ) x -> x 0 Y = f(x) x Y x0x0 Y = f(x) kontinu pada x = x 0 ◦ Y=f(x) x0x0 y0y0 y0y0 y1y1 Y = f(x) diskontinu pada x = x 0

87 Matematika Ekonomi87 Sehingga f(x) – f(x 0 ) x – x = Maka lim f(x) – f(x 0 ) disebut dengan derivatif x – x 0 fungsi f dititik x = x 0. x->x 0 Dengan mensubstitusi Δx = x – x 0, atau x = x 0 + Δx, untuk x-> x 0 berarti Δx ->0 atau: lim f(x 0 + Δx) – f(x 0 ) Δx Δx Δx-> 0 merupakan derivatif atau turunan fungsi.

88 Matematika Ekonomi88 Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg: f’(x) atau dy/dx atau y’ atau Dxy. Atau dengan penjelasan lain: Ump. y = f(x) dengan kurva sbb: y = f(x) y + Δy = f(x + Δx) Besarnya pertambahan adalah: Δy = f(x + Δx) – f(x). Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) Y = f(x) ◦ xx1x1 ΔxΔx y y1y1 ΔyΔy ΔxΔx

89 Matematika Ekonomi89 lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dx Contoh. Cari turunan y = f(x); y = x 2 + 1, dititik x = 5. Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambah sebesar Δy. y + Δy = (x + Δx) y = x (-) ΔxΔx Δx->0

90 Matematika Ekonomi90 Dengan pengurangan: Δy = (x + Δx) – x 2 – 1 = x 2 + 2xΔx + (Δx) – x 2 – 1 = 2xΔx + (Δx) 2 Δy/Δx = 2x Δx + (Δx) 2 Δx = 2x + Δx lim Δy/Δx = lim 2x + lim Δx dy/dx = 2x + 0 = 2x dititik x = 5, berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10. Δx ->0

91 Matematika Ekonomi Rules of differentiation Rule 1: Derivative of a power function. Fungsi pangkat (power function) y = x n y + Δy = (x + Δx) n Δy = (x + Δx) n – y Δy = (x + Δx) n – x n Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 = C(0, 4)a 4 + C(1, 4)a 3 b + C(2, 4)a 2 b 2 + C(3, 4)ab 3 +C(4,4)b 3

92 Matematika Ekonomi92 C(i, n)  baca kombinasi tingkat i dari n unsur. C(i, n)  adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya. C(0, 4)  berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur. C(i, n) = n ! i ! – (n – i)!

93 Matematika Ekonomi93 n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 4! = = 24 0! = 1 Sekarang: Δy = (x + Δx) n – x n = C(0, n)x n + C(1, n)x n-1 Δx + C(2, n)x n-2 Δx 2 + C(3, n)x n-3 Δx 3 + C(4, n)x n-4 Δx 4 + ………… + C(n-1, n)xΔx n-1 - x n

94 Matematika Ekonomi94 C(0, n) = = = 1 C(1, n) = = = n C(2, n) = = = n! 0!(n-0)! n.n-1.n-2.n-3. … 1.n.n-1.n-2.n-3 … n! 1!(n-1)! n.n-1.n-2.n-3. … 1.n-1.n-2.n-3. … n! 2!(n-2)! n.n-1.n-2.n-3. … 2.1.n-2.n-3. … n.n-1 2

95 Matematika Ekonomi95 Δy = (x + Δx) n – x n = x n + nx n-1 Δx + n(n-1)x n-2 Δx 2 + C(3, n)x n-3 Δx 3 + C(4, n)x n-4 Δx 4 + …… + C(n-1, n)xΔx n-1 - x n = nx n-1 Δx + n(n-1)x n-2 Δx 2 + C(3, n)x n-3 Δx 3 + C(4, n)x n-4 Δx 4 + …… + C(n-1, n)xΔx n-1 2

96 Matematika Ekonomi96 Δy = nx n-1 + n(n-1)x n-2 Δx + C(3, n)x n-3 Δx 2 + C(4, n)x n-4 Δx 3 + …… + C(n-1, n)xΔx n-2 Lim ---- = lim nx n-1 atau dy/dx = nx n-1 Contoh: y = x 5 dy/dx = 5x 4. Mis C = total cost, q = output C = q 3 derivatif C thdp q = 3q 2. ΔxΔx 2 ΔyΔy ΔxΔx Δx->0

97 Matematika Ekonomi97 Rule 2: Multiplication by a constant. y = f(x)= cx 2, c adalah konstanta, dy/dx? y + Δy = c(x + Δx) 2 Δy = cx 2 + c2xΔx + c(Δx) 2 – cx 2 = c2xΔx + c(Δx) = c2x+ c(Δx) lim ---- = lim c2x, Jadi dy/dx = c2x ΔyΔy ΔxΔx ΔyΔy ΔxΔx Δx->0

98 Matematika Ekonomi98 Contoh: y =f(x) = 5x 2 f’(x) = 5(2)x 2-1 = 10x Rule 3: Derivative of a sum f(x) = g(x) + h(x) Dengan pembuktian yang sama spt rule (1) dan (2) diperoleh: f’(x) = g’(x) + h’(x) Demikian juga untuk: f(x) = g(x) + h(x) + k(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x)

99 Matematika Ekonomi99 Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan pengurangan atau selisih. f(x) = g(x) – h(x); f’(x) = g’(x) – h’(x). Contoh: Cari derivatif f(x) = 7x 4 + 2x 3 – 3x + 37 g(x) = 7x 4 ; g’(x) = 28x 3 h(x) = 2x 3 ; h’(x) = 6x 2 k(x) = -3x; k’(x) = -3 l(x) = 37; l’(x) = 0 jadi f’(x) = 28x 3 + 6x 2 – 3.

100 Matematika Ekonomi100 Rule 4: derivative of a product Fungsi hasil kali berbentuk y = f(x) = g(x).h(x) f’(x) = g(x).h’(x) + h(x).g’(x) Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x 2 ) g(x) = (2x + 3); g’(x) = 2 h(x) = 3x 2 ; h’(x) = 6x Jadi: f’(x) = (2x + 3)(6x) + (3x 2 )(2) = 12x x + 6x 2 = 18x x.

101 Matematika Ekonomi101 Rule 5: derivatif of a quotient Bentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x). f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x) [h(x)] 2

102 Matematika Ekonomi102 Contoh: f(x) = (2x – 3)/(X + 1). g(x) = 2x – 3; g’(x) = 2 h(x) = x + 1; h’(x) = 1 f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2x – 3) = 2x + 2 – 2x + 3 = 5 (x + 1) 2

103 Matematika Ekonomi103 Rule 6: Chain rule Fungsi berantai bentuknya sbb: y = f(u) u = g(x) y = f(z) z = g(u) u = h(x) Dicari derivatif y ter- hadap x atau dy/dx. Dari u = g(x) didpt du/dx. Dari y = f(u) didpt dy/du, Maka dy dx = dy. du dx Dengan cara yang sama dy = dudz dx du dzdx

104 Matematika Ekonomi104 Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2x Untuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15 unit roti (z), yang digambarkan sebagai: z = 15y Apabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x), maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa- lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif).

105 Matematika Ekonomi105 dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah kecil perubahan x yaitu dy/dx = 2 Perubahan z apabila ada perubahan y dz/dy = 15 Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah- an x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit.

106 Matematika Ekonomi106 Contoh: Jika y = uv, dimana u = s 3 dan s = 1 – x. v = t 2 dan t = 1 + x 2 u = s 3,  du/ds = 3s 2 s = 1 – x  ds/dx = -1 v = t 2,  dv/dt = 2t t = 1 + x 2  dt/dx = 2x y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx = u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx) = s 3 (2t)(2x) + t 2 (3s 2 )(-1) = 4s 3 tx -3t 2 s 2 = s 2 t(4sx – 3t) Substitusi, dy/dx = (1-x) 2 (1+x 2 )[4(1-x)(x) – 3(1+x 2 )]

107 Matematika Ekonomi107 Contoh: Jika y = (1 + x 2 ) 3, dapatkan dy/dx. Dengan memakai derivatif fungsi berantai: Mis u = 1 + x 2, dan oleh karena itu y = u 3 dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u 2 )(2x) = 6x(1 + x 2 ) 2.

108 Matematika Ekonomi Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan: d 2 y/dx 2 atau f”(x) atau y” Demikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi. Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x 3 – 3x 2 + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2.

109 Matematika Ekonomi109 f(x) = x 3 – 3x 2 + 4, f(2) = 8 – = 0 f’(x) = 3x 2 – 6x, f’(2) = 12 – 12 = 0 f”(x) = 6x – 6 f”(2) = 6 f”’(x) = 6 f”’(2) = 6.

110 Matematika Ekonomi Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. Contoh: Q d = f(h, h kl, s K, i,) dimana h = harga komoditi itu sendiri h kl = harga komoditi lain s K = selera konsumen i = income Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x, y), bila y dianggap tetap, maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung.

111 Matematika Ekonomi111 Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan: ∂z/∂x atau ∂f/∂x atau f x Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: ∂z/∂y atau ∂f/∂y atau f y Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai: ∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y) ΔxΔx Δx->0 Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai: ∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x,y + Δy) – f(x, y) ΔyΔy Δy->0

112 Matematika Ekonomi112 Contoh: Jika z = 3x 2 + 2xy – 5y 2,maka: ∂z/∂x = 6x + 2y ∂z/∂y = 2x – 10y Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb: Contoh: z = (x 2 + y 2 ) 3 ∂z/∂x = f X = 3(x2 + y 2 ) 2 (2x) = 6x(x 2 + y 2 ) 2 ∂z/∂y = f y = 3(x 2 + y 2 ) 2 (2y) = 6y(x 2 + y 2 ) 2 ∂ 2 z/∂x 2 = f XX = 12x(x 2 + y 2 )(2x) = 24x 2 (x 2 + y 2 ) ∂ 2 z/∂y 2 = f yy = 12y(x 2 + y 2 )(2y) = 24y 2 (x 2 + y 2 ) ∂ 2 z/ ∂y∂x = f yx = 12x(x 2 + y 2 )(2y) = derivatif ∂z/∂x thd y 24xy(x 2 + y 2 ). ∂ 2 z/∂x∂y = f xy = 12y(x 2 + y 2 )(2x) = 24xy(x 2 + y 2 )

113 Matematika Ekonomi113 Simbol derivatif parsial ∂z/∂x juga dilambangkan ∂f/∂x atau f x. Fungsi turunan kedua dilambangkan: ∂ 2 z/∂x 2 atau ∂ 2 f atau f xx Fungsi turunan f x terhadap y dilambangkan f yx Fungsi turunan f y terhadap x dilambangkan f xy f yx = f xy

114 Matematika Ekonomi114 Maksimum dan minimum y = f(x) akan maksimum pada saat: dy/dx = 0 dan d 2 y/dx 2 < 0 akan minimum pada saat: dy/dx = 0 dan d 2 y/dx 2 > 0 akan mempunyai titik belok (inflection point) pada: dy/dx = 0 dan d 2 y/dx 2 = 0

115 Matematika Ekonomi115 Apabila fungsinya lebih dari dua variabel: z = f(x, y) atau f(x 1, x 2 ), Maksimum jika f x = 0, f y = 0 f xx < 0, f yy < 0 f xx f yy – (f xy ) 2 > 0 Minimum jika f x = 0, f y = 0 f xx > 0, f yy > 0 f xx f yy – (f xy ) 2 > 0

116 Matematika Ekonomi116 Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempu- nyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut. y = f(x) = -x 2 + 4x + 7 dy/dx = -2x + 4 = 0;  nilai x = 2 d 2 y/dx 2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks. pada x = 2. nilai y maks atau f(x) maks = -(2) 2 + 4(2) + 7 = 11

117 Matematika Ekonomi117 Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari: z = x 2 + xy + y 2 – 3x + 2 Langkah-langkah: a.Derivatif pertama: f x = 2x + y – 3 f y = x + 2y b.f x = 0 dan f y = 0 2x + y – 3 = 0 x + 2y = 0 Dari 2x + y – 3, didapat y = 3 – 2x. Substitusi y = 3 – 2x ke persamaan x + 2y = 0 didapat x + 2(3 – 2x) = 0; x + 6 – 4x = 0 atau 3x = 6  x = 2.

118 Matematika Ekonomi118 Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1. Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min c. Uji dengan derivatif kedua: f xx = 2; f yy = 2; f xy = f yx = 1 f xx f yy – (f xy ) 2 = 2.2 – 1 2 = 3 > 0 artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada titik (2, -1). d. Nilai z min = (2) 2 + (2)(-1) + (-1) 2 – 3(2) + 2 = 4 – – = -1.

119 Matematika Ekonomi Aplikasi dalam ekonomi 1) Elastisitas permintaan Elastisitas permintaan adalah persentase per-ubahan jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga. Jika q = komoditi yg diminta, Δq = perubahannya p = harga komoditi; Δp = perubahannya

120 Matematika Ekonomi120 E d = = lim = lim = Δq/q Δp/p Δp->0 Δq/q Δp/pΔpΔp ΔqΔq p q Δp->0 dq dp p q Contoh: Umpamakan fungsi permintaan q = 18 -2p 2 hitung elastisitas permintaan jika harga berku- rang 5% (bukan mendekati nol) dari p = 2, q = 10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: defi- nisi dan derivatif. Pendekatan definisi: p = 2; Δp = 0.05 berarti p 1 = 2 – 2(0.05) = 1.9 Untuk p 1 = 1.9, q = 18-2p 2 = 18 – 2(1.9) 2 = untuk p = 2, q = 18-2p 2 = 18 – 2(2) 2 = 10. berarti Δq = – 10 = 0.78

121 Matematika Ekonomi121 Jadi menurut pendekatan definisi E d = 7.8%/-0.05% = Dengan pendekatan derivatif: E d = (dq/dp)(p/q) = (-4p)(p/q) = - 4p 2 /q pada harga p = 2, dan q = 10 E d = -4(2) 2 /10 = Perhatikan dengan derivatif, Δp mendekati nol, sementara menurut definisi, Δp = 0.05%, jadi hasilnya sedikit berbeda.

122 Matematika Ekonomi122 2) Total Cost, Average cost and marginal cost TC = f(q), merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost, dan q = produk yang dihasilkan. TC/q = f(q)/q merupakan fungsi biaya rata-rata. MC = dTC/dq merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya mar- ginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg dibutuhkan per satuan tambahan produk.

123 Matematika Ekonomi123 AC Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawah ini. MC VC TC q Rp

124 Matematika Ekonomi124 Contoh dengan data diskrit qFCVCTCACMC

125 Matematika Ekonomi125 Contoh dengan fungsi biaya: TC = q 3 – 4q q FC = Fixed Cost = 75 VC = Variable cost = q 3 – 4q q MC = dTC/dq = 3q 2 – 8q + 10 AC = TC/q = q 2 – 4q /q 3)Revenue and Marginal revenue Apabila fungsi permintaan diketahui, maka Total Revenue (TR) adalah jumlah produk yang diminta dikali harga.

126 Matematika Ekonomi126 Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga dengan q = f(p) maka: TR = qp = f(p).p Marginal Revenue (MR) = dTR/dq. Contoh: Fungsi Permintaan; 3q + 2p = 9; 2p = 9 – 3q atau p = 9/2 – (3/2)q TR = p.q atau TR = (9/2)q – (3/2)q 2 MR = dTR/dq = 9/2 – 3q MR p q TR, MR, p 03 4

127 Matematika Ekonomi127 4). Fungsi produksi Seorang produsen dalam teori ekonomi paling tidak harus mengambil dua keputusan apabila dilandasi oleh suatu asumsi produsen berusa-ha memperoleh profit maksimum, adalah: a. Jumlah produk yang yang akan diproduksi b. Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb. Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI. Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat penggunaan input-input dengan tingkat output.

128 Matematika Ekonomi128 Fungsi produksi, secara umum dicatat: Q = f(x 1, x 2, x 3, …, x n ) Q = output x i = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, …, n Apabila dalam proses produksi: Q = f(x 1 /x 2, x 3, …, x n ) input x I ditambah terus menerus, sedangkan input lain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk pada hukum : The law of diminishing returns “bila satu macam input, terus ditambah penggunaannya sedang penggunaan input lain tidak berubah, maka tam-bahan output yg dihasilkan dari setiap tambahan input, mulai-mula meningkat, kemudian menurun, dan akhirnya negatip”.

129 Matematika Ekonomi129 Tambahan output yg didapat karena adanya tam- bahan satu unit input dinamakan Produk Fisik Marginal (Produk Marginal = PM). PM = ∂Q/∂x i, i = 1, 2, 3, …, n Selain produk marginal, fungsi lain yang dapat di- turunkan dari fungsi produksi adalah fungsi Produk Rata-rata (PR). PR = Q/x = f(x)/x Jadi ada hubungan antara Q atau produk total (PT) dengan PM dan PR.Hubungan tersebut di- tunjukkan oleh kurva berikut ini.

130 Matematika Ekonomi130 Q = PT Q x x PR PM X1X1 Q PR

131 Matematika Ekonomi131 Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb: a. Pada saat PT maks, maka PM = 0 b. Pada saat PR maks, maka PM = PR c. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol (origin) menyinggung kurva PT. Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya jika input variabel terdiri atas satu input. Untuk Q = f(x 1, x 2 )/x 3, …, x N ) atau dua input variabel, maka kurvanya dalam ruang spt berikut:

132 Matematika Ekonomi132 z x1x1 x2x2

133 MATRIKS Matriks artinya sesuatu yang membungkus, yang dibungkus adalah data kuantitatif yang disusun dalam bentuk “baris” dan “lajur”. Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 bulan (rata-rata) KotaABC J F M Bulan

134 Matematika Ekonomi134 Dengan catatan matriks ditulis: A = B = Bentuk umum sbb: A = a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n : : : a m1 a m2 … a mn m x n Untuk menyederhanakan dicatat: A = (a ij ) mxn m = jlh baris; n = jlh lajur m x n Notasi matriks

135 Matematika Ekonomi135 Vektor. Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu baris disebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur disebur dengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dpt disebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektor baris dan beberapa vektor lajur. Vektor baris: a’ = (4, 1, 3, 2) x’ = (x 1, x 2, … x n ) Vektor lajur b = 1 u = u 1 2 u 2 8 : u n

136 Matematika Ekonomi136 Beberapa macam bentuk matriks a.Matriks segi: A = (a ij ) m.n dengan m = n A = b. Matriks setangkup: B = (b ij ) n.n, b ij = b ji 4 x 4 B = X 4

137 Matematika Ekonomi137 c.Matriks diagonal D = (d ij ) n.n, d ij = 0 utk i±j D = d. Matriks identitas I 4 = I 2 = e. Matriks segitiga atas, jika semua unsur di- bawah diagonal uta- ma bernilai nol. G = Diagonal utama Jika semua unsur di- atas diagonal utama bernilai 0 = matriks segitiga bawah.

138 Matematika Ekonomi138 Penggandaan matriks Matriks A = (a ij ) m.n dapat digandakan dgn B = (b ij ) p.q jika dan hanya jika lajur matriks A = baris matriks B atau n = p Cara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajur dimana setiap baris A digandakan dengan setiap lajur B seperti contoh berikut ini

139 Matematika Ekonomi = (1 1 0) 8, (1 1 0) (2 4 5) 8, ( 2 4 5) (6 7 8) 8, (6 7 8) =

140 Matematika Ekonomi140 (1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2) (2)(8) + (4)(1) + (5)(1), (2)(-1) + (4)(1) + (5)(2) (6)(8) + (7)(1) + (8)(1), (6)(-1) + (7)(1) + (8)(2) 9 0Contoh-2: x = y z 3x + 6y 4x + 2y – 7z

141 Matematika Ekonomi141 Putaran matriks Matriks A = (a ij ) m.n, putarannya adalah A’ = (a’ ij ) n.m, sedangkan (a’ ij ) = (a ji ). Contoh: A =  A’ = D =  D’ =

142 Matematika Ekonomi142

143 Matematika Ekonomi143 Determinan matriks segi Determinan suatu matriks segi adalah hasil per- kalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur, dengan tanda tertentu. Determinan matriks A dicatat det (A) atau |A| Contoh: Hitung determinan matiks A = det A = (2)(9) – (4)(7) =

144 Matematika Ekonomi144 Contoh: Cari determinan matriks C = Cara Sarrus, yaitu dengan menambahkan lajur 1 sebagai lajur 4 dan lajur 2 sebagai lajur 5 kemudian mengganda- kan angka yang tidak sebaris dan tidak selajur. det C = = (1)(2)(3) + (4)(5)(6) + (7)(8)(9) -(7)(2)(6) - (1)(5)(9) – (4)(8)(3) = 405

145 Matematika Ekonomi145 Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, cara Sarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari per- kalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur. Pangkat suatu matriks Suatu matriks segi dengan determinan ± 0, maka matriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks tak singular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat tak penuh atau dinamakan matriks singular. Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkat matriks itu dicatat p(B) = n, jika matriknya berpangkat penuh.

146 Matematika Ekonomi146 Tetapi jika determinannya = 0, maka pangkat matriks B, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anak matriksnya yang memiliki det ± 0. Contoh A = 1 1 0, karena det A = 0, maka p(A) ± 3, dan kemungkinan p(A) = 2. Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya: A 11 = 1 1, det A 11 = - 3 ± 0. Berarti p(A) = x 3

147 Matematika Ekonomi147 Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilai- nilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matriks penyusun persamaan linear dimaksud harus ± 0 atau tak singular atau berpangkat penuh. Misal: 7x 1 - 3x 2 – 3x 3 = 7 2x 1 + 4x 2 + x 3 = 0 - 2x 2 - x 3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh x 1 = x x 3 2

148 Matematika Ekonomi148 Det. Matriks: = -8 ± 0, berarti nilai-nilai x dari persamaan li near itu dpt dicari.

149 Matematika Ekonomi149 Persamaan linear dan jawabannya. Persamaan linear adalah himpunan dari persamaan linear dengan beberapa nilai yang hendak dicari. Contoh: 5x 1 + 3x 2 = 30 7x 1 – x 2 – x 3 = 0 6x 1 – 2x 2 = 8 10x 1 – 2x 2 + x 3 = 8 6x 1 + 3x 2 – 2x 3 = 7 Dari persamaan tersebut akan dihitung x 1 dan x 2

150 Matematika Ekonomi150 Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determi- nan, sistem persamaan linear di atas dapat diselesai-kan dg cara sbb: a.Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk perkalian matriks. 5 3 x 1 = x 2 8 b. Cari nilai det (A); det A = -28 c. Dapatkan matiks A 1 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-1 dengan vektor d. A x d

151 Matematika Ekonomi151 A 1 = d. Dapatkan matriks A 2 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-2 dengan vektor d. A 2 = e. Cari det A 1 dan det A 2 ; det A 1 = -84; det A 2 = -140 f.Nilai x 1 = det A 1 /det A, dan x 2 = det A 2 /A. x 1 = -84/-28 = 3; x 2 = -140/-28 = 5.

152 Matematika Ekonomi152 Contoh x 1 = x x 3 7 A xd a.Det A = -61 b.Det A 1 = = -61; det A 2 = = det A 3 = =

153 Matematika Ekonomi153 MATRIKS KEBALIKAN Jika A = (a ij )n.n maka matriks kebalikannya dicatat sebagai A -1. Cara mencari matriks kebalikan: a.Dengan matriks adjoint b.Dengan transformasi penyapuan c.Dengan metode Doolittle

154 Matematika Ekonomi154 Mencari matriks kebalikan dengan matiks adjoint Umpamakan dibicarakan matiks A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Untuk mencari matriks kebalikannya ditempuh lang- kah-langkah sbb: a.Mencari minor setiap unsur a pq atau M pq, dimana p=q = 1, 2, 3. (baris = p, lajur = q = 1, 2, 3) Definisi: Minor unsur a pq adalah determinan anak matriks dengan menghapus baris p dan lajur q. Jadi M 11 dihitung dengan cara berikiut:

155 Matematika Ekonomi155 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Minor unsur a 11 = M 11 = a 22 a 23 = a 22 a 33 – a 23 a 32 a 32 a 33 Minor unsur a 12 = M 12 = a 21 a 23 = a 21 a 33 – a 23 a 31 a 31 a 33 Minor unsur a 13 = M 13 = a 21 a 22 a 31 a 32 = a 21 a 32 – a 22 a 31

156 Matematika Ekonomi156 Minor unsur a 21 = M 21 = a 12 a 13 = a 12 a 33 – a 13 a 32 a 32 a 33 Minor unsur a 22 = M 22 = a 11 a 13 = a 11 a 33 – a 13 a 31 a 31 a 33 Minor unsur a 23 = M 23 = a 11 a 12 a 31 a 32 = a 11 a 32 – a 12 a 31

157 Matematika Ekonomi157 Minor unsur a 31 = M 31 = a 12 a 13 = a 12 a 23 – a 13 a 22 a 21 a 23 Minor unsur a 32 = M 32 = a 11 a 13 = a 11 a 23 – a 13 a 21 a 21 a 23 Minor unsur a 33 = M 33 = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 – a 12 a 21

158 Matematika Ekonomi158 b. Kofaktor. Kofaktor unsur a pq ialah α pq = (-1) p+q M pq. Kofaktor unsur a 11 = α 11 = (-1) 1+1 M 11 Kofaktor unsur a 12 = α 12 = (-1) 1+2 M 12 Kofaktor unsur a 13 = α 13 = (-1) 1+3 M 13 Kofaktor unsur a 21 = α 21 = (-1) 2+1 M 21 Kofaktor unsur a 22 = α 22 = (-1) 2+2 M 22 Kofaktor unsur a 23 = α 23 = (-1) 2+3 M 23 Kofaktor unsur a 31 = α 31 = (-1) 3+1 M 31 Kofaktor unsur a 32 = α 32 = (-1) 3+2 M 32 Kofaktor unsur a 33 = α 33 = (-1) 3+3 M 33

159 Matematika Ekonomi159 Setelah dapat kofaktor dari setiap unsur, susunlah matriks kofaktor K: K = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 Matriks kebalikan dari A = A -1 = (1/det A)(K’) Perhatikan, kofaktor unsur sebenarnya hanya soal tanda dari minor sauté unsur. Jika indeksnya genap, tandanya + dan jika indeksnya ganjil, tandanya negatip.

160 Matematika Ekonomi160 Contoh: Cari matriks kebalikan dari B = Matriks kofaktor K= =

161 Matematika Ekonomi161 Matriks putaran K = K’ = Matriks kebalikan = B -1 adalah: (1/det B)K’. det (B) = (4)(3)(7) + (1)(2)(3) + (0)(0)(-1) -(-1)(3)(3) -(2)(0)(4) -(1)(0)(7) = 99 B -1 = (1/99)

162 Matematika Ekonomi162 Untuk menguji, maka: BB -1 = I /99 -7/99 5/99 = /99 31/99 -8/ /99 3/99 12/ BB -1 I

163 Matematika Ekonomi163 PENGGUNAAN MATRIKS KEBALIKAN DALAM EKONOMI (INPUT – OUTPUT Analysis) Dalam analisis ekonomi dikenal keterkaitan antar in- dustri (atau sektor industri). Artinya output suatu sektor dipakai untuk memenuhi sektor lain, dan me- menuhi permintaan akhir rumah tangga, pemerintah, pembentukan modal maupun ekspor. Sementara Input suatu sektor dibeli dari sektor lain.

164 Matematika Ekonomi164 Dalam analisis ekonomi, sering hubungan antar satu sektor dgn sektor lain dinyatakan dengan himpunan persamaan linear. Contoh analisis input-output Leontief. Dengan notasi matriks model I-O sbb: AX + F = X atau X - AX = F atau (I – A)X = F pers matriks Leontief X = F/(I - A) = (I – A) -1. F. Matriks kebalikan Leontief

165 Matematika Ekonomi , x 1, x x 3 6 A xF A I = x 1 = 10 x 2 5 x 3 6 I - A x F Mis. Sektor perekonomian terdiri dari 3 sekt. Pert, Ind, dan Jasa.

166 Matematika Ekonomi166 Matriks Kofaktor dari (I – A) adalah M 11 -M 12 M 13 = , K’ = M 21 M 22 -M M 31 -M 32 M (I – A) -1 = 1/(det (I-A)K’ = = = R

167 Matematika Ekonomi167 Arti dari matriks kebalikan Leontief: Mis r 12 = 0.78, artinya untuk menopang setiap per- mintaan akhir akan produk Industri, harus diproduksi sebanyak 0.78 satuan produk pertanian. R 23 = 0.68, artinya untuk menopang setiap permin- taan akhir akan produk Jasa, maka harus diproduk- si sebanyak 0.68 satuan produk Industri.

168 Matematika Ekonomi168 X = x 1 = 1/0.384 [0.66(10) (5) (6)] = x 2 1/0.384 [0.34(10) (5) (6)] = x 3 1/0.384 [0.21(10) (5) (6)] = Artinya: Berdasarkan permintaan akhir yang ada, maka dira- malkan output sektor pertanian, industri dan jasa masing- masing akan menjadi satuan, satuan dan satuan. Dengan analogi yang sama, jika permintaan akhir mau di- naikkan, maka ramalan output tiap sektor dapat diketahui. Vektor x adalah vektor permintaan akhir yaitu: (I – A) -1 F

169 Matematika Ekonomi169 Penutup: TUHAN Maha Tahu tetapi tidak pernah memberi tahu ! Mengapa ? Manusia sudah diberi pikiran dan manusia adalah makhluk yang berpikir. Matematika merupakan sarana berpikir


Download ppt "Matematika Ekonomi1. MATERI MATRIKULISI PROGRAM PASCA SARJANA PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS PERTANIAN UNJA Oleh R. SIHOTANG."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google