Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

MA1114 KALKULU I1 8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULUS I2 8.1 Fungsi Invers Misalkan dengan Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u)

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "MA1114 KALKULU I1 8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULUS I2 8.1 Fungsi Invers Misalkan dengan Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u)"— Transcript presentasi:

1

2 MA1114 KALKULU I1 8. FUNGSI TRANSENDEN

3 MA1114 KALKULUS I2 8.1 Fungsi Invers Misalkan dengan Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v atau jika maka fungsi y=x satu-satu fungsi y=-x satu-satu u v fungsi tidak satu-satu

4 MA1114 KALKULUS I3 Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik. Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi Berlaku hubungan DfRf f xy=f(x) RR

5 MA1114 KALKULUS I4 Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers u v f(x)=x f selalu naik f(x)=-x f selalu turun f naik untuk x>0 turun untuk x <0 ada tidak ada

6 MA1114 KALKULUS I5 Contoh : Diketahui a.Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya Jawab: a. Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers b.Misal

7 MA1114 KALKULUS I6 Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya. u v tidak ada Untuk Untuk x>0 ada Untuk x<0 ada

8 MA1114 KALKULUS I7 Grafik fungsi invers Titik (x,y) terletak pada grafik f Titik (y,x) terletak pada grafik Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x Grafik f dan semetri terhadap garis y=x

9 MA1114 KALKULUS I8 Turunan fungsi invers Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan pada selang I. Jika maka dapat diturunkan di y=f(x) dan Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai Contoh: Diketahui tentukan,y=4 jika hanya jika x=1 Jawab :

10 MA1114 KALKULUS I9 Soal Latihan Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari

11 MA1114 KALKULUS I Fungsi Logaritma Asli Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai : Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh : Secara umum, jika u = u(x) maka.

12 MA1114 KALKULUS I11 Contoh : Diberikan maka Jika Jadi, Dari sini diperoleh : Sifat-sifat Ln : 1. ln 1 = 0 2. ln(ab) = ln a + ln b 3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)

13 MA1114 KALKULUS I12 Contoh: Hitung Jawab: Misal sehingga

14 MA1114 KALKULUS I13 Grafik fungsi logaritma asli f selalu monoton naik pada Df Diketahui a. b. c. Grafik selalu cekung kebawah d. f(1) = 0 1 f(x)=lnx

15 MA1114 KALKULUS I Fungsi Eksponen Asli Karena maka fungsi logaritma asli monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi berlaku hubungan Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x)) Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1. Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh

16 MA1114 KALKULUS I15 Turunan dan integral fungsi eksponen asli Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan Secara umum Sehingga

17 MA1114 KALKULUS I16 1 y=ln x y=exp (x) Grafik fungsi eksponen asli Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x 1 Contoh:

18 MA1114 KALKULUS I17 Contoh :Hitung Jawab : Misalkan Sehingga

19 MA1114 KALKULUS I18 Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi Diketahui

20 MA1114 KALKULUS I19 Contoh : Tentukan turunan fungsi Jawab: Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli Turunkan kedua ruas

21 MA1114 KALKULUS I20 b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi Untuk kasus (i) (ii) (iii) Penyelesaian : Tulis Karena fungsi eksponen kontinu, maka

22 MA1114 KALKULUS I21 Contoh: Hitung Jawab: (bentuk ) Rubah ke bentuk lalu gunakan dalil L’hopital a. b. c. a. b.

23 MA1114 KALKULUS I22 Gunakan dalil L’hopital sehingga c. Gunakan dalil L’hopital

24 MA1114 KALKULUS I23 Soal latihan 8. A.Tentukan dari

25 MA1114 KALKULUS I24 B. Selesaikan integral tak tentu berikut

26 MA1114 KALKULUS I25 C. Selesaikan integral tentu berikut

27 MA1114 KALKULUS I26 D. Hitung limit berikut :

28 MA1114 KALKULUS I Fungsi Eksponen Umum Fungsi, a > 0 disebut fungsi eksponen umum Untuk a > 0 dan x  R, definisikan Turunan dan integral Jika u = u(x), maka Dari sini diperoleh : :

29 MA1114 KALKULUS I28 Sifat–sifat fungsi eksponen umum Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku

30 MA1114 KALKULUS I29 Contoh: 1. Hitung turunan pertama dari Jawab : 2. Hitung Jawab : Misal

31 MA1114 KALKULUS I30 Grafik fungsi eksponen umum a. b. f monoton naik jika a > 1 monoton turun jika 0 < a < 1 c. Grafik f selalu cekung keatas d. f(0) = 1 Diketahui

32 MA1114 KALKULUS I Fungsi Logaritma Umum Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi, sehingga berlaku : Dari hubungan ini, didapat Sehingga Jika u=u(x), maka

33 MA1114 KALKULUS I32 Contoh: Tentukan turunan pertama dari Jawab : 1. 2.

34 MA1114 KALKULUS I33 Grafik fungsi logaritma umum Untuk a > 1 Untuk 0 < a < 1 Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x

35 MA1114 KALKULUS I34 Soal Latihan A. Tentukan dari B. Hitung 1. 2.

36 MA1114 KALKULUS I Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu- satu sehingga mempunyai invers. a. Invers fungsi sinus Diketahui f(x) = sinx, Karena pada f(x)=sinx monoton murni maka inversnya ada. Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x),atau Sehingga berlaku

37 MA1114 KALKULUS I36 Turunan Dari hubungan dan rumus turunan fungsi invers diperoleh atau Jika u=u(x) Dari rumus turunan diperoleh

38 MA1114 KALKULUS I37 b. Invers fungsi cosinus Fungsi f(x) = cosx monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcuscosx, notasi arc cosx atau Berlaku hubungan Turunan Dari diperoleh

39 MA1114 KALKULUS I38 atau Jika u= u(x) Dari rumus turunan diatas diperoleh Contoh:

40 MA1114 KALKULUS I39 Contoh: Hitung Jawab : Gunakan rumus Misal

41 MA1114 KALKULUS I40 c. Invers fungsi tangen Fungsi f(x) = tanx, f(x)=tanx Monoton murni (selalu naik) sehingga mempunyai invers. Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx, notasi arc tanx atau Berlaku hubungan Turunan Dari dan turunan fungsi invers diperoleh

42 MA1114 KALKULUS I41 atau Jika u=u(x) d. Invers fungsi cotangen Fungsi f(x)= cot x f(x)=cotx selalu monoton turun(monoton murni) sehingga mempunyai invers Definisi Invers dari fungsi cot x disebut Arcus cotx, notasi arc cotx atau Berlaku hubungan Turunan

43 MA1114 KALKULUS I42 atau Jika u=u(x) Contoh : Contoh: Hitung a. b.

44 MA1114 KALKULUS I43 Jawab : a. Gunakan rumus

45 MA1114 KALKULUS I44 b. Gunakan rumus Misal

46 MA1114 KALKULUS I45 e. Invers fungsi secan Diberikan f(x) = sec x f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx atau Sehingga

47 MA1114 KALKULUS I46 Turunan Dari Sehingga Jika u = u(x)

48 MA1114 KALKULUS I47 e. Invers fungsi cosecan Diberikan f(x) = csc x f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx atau Sehingga

49 MA1114 KALKULUS I48 Turunan Dari Sehingga Jika u = u(x)

50 MA1114 KALKULUS I49 Contoh: A. Hitung turunan pertama dari a. b. Jawab: a. b.

51 MA1114 KALKULUS I50 B. Hitung Jawab: Misal

52 MA1114 KALKULUS I51 Soal Latihan A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin

53 MA1114 KALKULUS I52 B. Hitung

54 MA1114 KALKULUS I Fungsi Hiperbolik Definisi a. Fungsi kosinus hiperbolik : b. Fungsi sinus hiperbolik : c. Fungsi tangen hiperbolik : d. Fungsi cotangen hiperbolik : e. Fungsi secan hiperbolik : f. Fungsi cosecan hiperbolik :

55 MA1114 KALKULUS I54 Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik Turunan

56 MA1114 KALKULUS I55

57 MA1114 KALKULUS I56 f(0)=1 Grafik f(x) = coshx (i) (ii) f monoton naik pada x > 0 monoton turun pada x < 0 (iii) Grafik f selalu cekung keatas (iv) 1 Diketahui

58 MA1114 KALKULUS I57 f(0)= 0 Grafik f(x) = sinhx (i) (ii) f selalu monoton naik (iii) Grafik f cekung keatas pada x>0 cekung kebawah pada x<0 (iv) Diketahui

59 MA1114 KALKULUS I58 Contoh: Tentukan dari 1. Jawab: 1. 2.

60 MA1114 KALKULUS I59 Soal Latihan A. Tentukan turunan pertama dari

61 MA1114 KALKULUS I60 B. Hitung integral berikut


Download ppt "MA1114 KALKULU I1 8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULUS I2 8.1 Fungsi Invers Misalkan dengan Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u)"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google