Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

POHON (TREE) Matematika Diskrit. 1 Definisi Pohon (tree) adalah :  Graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit G1G1 c b e d a f c b e d.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "POHON (TREE) Matematika Diskrit. 1 Definisi Pohon (tree) adalah :  Graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit G1G1 c b e d a f c b e d."— Transcript presentasi:

1 POHON (TREE) Matematika Diskrit

2 1 Definisi Pohon (tree) adalah :  Graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit G1G1 c b e d a f c b e d a f G2G2 G3G3 G4G4 G 1 dan G 2 adalah pohon (tree) c b e d a f c b e d a f G 3 dan G 4 adalah bukan pohon Hutan (forest) adalah :  Graf tak terhubung yang tidak mengandung sirkuit, dalam hal ini setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon

3 Matematika Diskrit2 Sifat-sifat Pohon Misalkan G = (V,E) adalah graf tak-berarah sederhana dan jumlah simpulnya n, maka : 1.G adalah pohon 2.Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal 3.G terhubung dan memiliki m = n -1 buah sisi 4.G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah sisi 5.G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit 6.G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan (jembatan adalah sisi yang bila dihapus menyebabkan graf terpecah menjadi dua komponen) Jika hutan F dengan k komponen mempunyai m = n – 1 buah sisi

4 Matematika Diskrit3 Contoh Sebuah pohon mempunyai 2n buah simpul berderajat 1, 3n buah simpul berderajat 2 dan n buah simpul berderajat 3. Tentukan banyaknya simpul dan sisi di dalam pohon tersebut ! Penyelesaian : Berdasarkan lemma jabat tangan : jumlah semua simpul di dalam graf adalah 2 kali jumlah sisi di dalam graf tersebut (2n x 1) + (3n x 2) + (n x 3) = 2 |E| 11n = 2 |E| ……………………………(1) Jumlah sisi pada sebuah pohon adalah jumlah simpul minus satu, sehingga : |E| = (2n + 3n + 1) – 1 = 6n – 1 …………………(2) Persamaan (1) dan (2) menjadi : 11n = 2 (6n – 1) 11n = 12n – 2 n = 2 Jadi :  Jumlah simpul pada pohon 6n = 6 x 2 = 12 buah simpul  Jumlah sisi 6n – 1 = 11 buah sisi

5 Matematika Diskrit4 Pohon Merentang (Spanning Tree) Pohon merentang adalah :  Subgraf dari graf terhubung berbentuk pohon G T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 Graf lengkap G dengan 4 buah pohon merentangnya, T 1, T 2, T 3 dan T 4 Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit 1 buah pohon merentang Cabang (branch) adalah :  Sisi dari graf semula (sisi pada pohon merentang) Tali-hubung (chord atau link) dari pohon adalah :  Sisi dari graf yang tidak terdapat di dalam pohon merentang Komplemen pohon adalah :  Himpunan tali-hubung beserta simpul yang bersisian dengannya

6 Matematika Diskrit5 Jika n buah simpul dan m buah sisi maka :  Untuk graf terhubung :  Jumlah cabang : n – 1  Jumlah tali hubung : m – n + 1  Untuk graf tak-terhubung dengan k komponen :  Jumlah cabang : n – k  Jumlah tali-hubung : m – n + k Rank graf G adalah :  Jumlah cabang pada pohon merentang dari sebuah graf G Nullity graf G adalah :  Jumlah tali hubung pada graf G Sehingga : jumlah sisi graf G = rank + nullity Nullity graf sering diacu sebagai bilangan siklomatik atau bilangan Betti pertama Sirkuit fundamental (fundamental circuit) adalah :  Sirkuit yang terbentuk dengan penambahan sebuah tali-hubung pada pohon merentang Pohon Merentang (Spanning Tree)

7 Matematika Diskrit6 Jaringan komputer Pohon merentang multicast Router Subnetwork

8 Matematika Diskrit7 Pohon Merentang Minimum (Minimum Spanning Tree) Adalah pohon merentang yang berbobot minimum Aplikasi misalnya pada :  Jalur rel kereta api yang menghubungkan sejumlah kota Algoritma yang digunakan : 1.Algoritma Prim 2.Algoritma Kruskal

9 Matematika Diskrit8 Pohon Merentang Minimum Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api a b c e d f g h a b c e d f g h Pohon merentang yang mempunyai jumlah jarak minimum

10 Matematika Diskrit9 Algoritma Prim Algoritma Prim : Ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T Pilih sisi e yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi e tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan e ke dalam T Ulangi langkah-2 sebanyak n – 2 kali

11 Matematika Diskrit10 Contoh Bobot pohon merentang minimum yang diperoleh dengan menggunakan algoritma Prim : = 105 a d e b f c Graf G a d e b f c Pohon merentang minimum dari graf G

12 Matematika Diskrit11 Tabel Pembentukan Pohon Merentang Minimum Dengan Menggunakan Algoritma Prim LangkahSisiBobotPohon merentang 1(a,b) 10 2(b,f) 25 3(c,f) 15 a b 10 a b f 25 a b f c

13 Matematika Diskrit12 Lanjutan Tabel LangkahSisiBobotPohon merentang 4(d,f) 20 5(c,e) 35 a d b f c a d e b f c

14 Matematika Diskrit13 Algoritma Kruskal Algoritma Kruskal : (Asumsi : sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya) 1.T masih kosong 2.Pilih sisi e yang mempunyai bobot minimum yang tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan e ke dalam T 3.Ulangi langkah-2 sebanyak n – 1 kali

15 Matematika Diskrit14 Contoh Selesaikan dengan menggunakan algoritma Kruskal a d e b f c a d e b f c Graf G Pohon merentang minimum dari graf G Sisi-sisi graf diurut menaik berdasarkan bobotnya : Sisi(a,b)(c,f)(d,f)(b,f)(a,d)(c,e)(b,e)(a,e)(b,c)(e,f) Bobot

16 Matematika Diskrit15 Tabel Pembentukan Pohon Merentang Minimum Dengan Menggunakan Algoritma Kruskal LangkahSisiBobotPohon merentang 0 1(a,b) 10 2(c,f) 15 3(d,f) 20 abcdef abcdef abcde f a b c d e f

17 Matematika Diskrit16 Lanjutan Tabel LangkahSisiBobotPohon merentang 4(b,f) 25 5(a,d) 30ditolak 6(c,e) 35 ac b d e f a b c d e f Bobot pohon merentang minimum yang diperoleh dengan menggunakan algoritma Kruskal : = 105

18 Matematika Diskrit17 Pohon Berakar (Rooted Tree) Adalah pohon yang sebuah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi- sisinya diberi arah menjauh dari akar Akar mempunyai derajat masuk dan derajat keluar sama dengan nol dan simpul-simpul lainnya berderajat masuk sama dengan satu Daun atau simpul terminal adalah :  Simpul yang mempunyai derajat keluar sama dengan nol Simpul dalam atau simpul cabang adalah :  Simpul yang mempunyai derajat keluar tidak sama dengan nol a b c d e f g h i j a b c d e f g h i j Pohon berakar Sebagai konvensi Arah panah pada sisi dapat dibuang

19 Matematika Diskrit18 Pohon Berakar (Rooted Tree) Sembarang pohon tak-berakar dapat diubah menjadi pohon berakar dengan memilih sebuah simpul sebagai akar Pemilihan simpul yang berbeda menjadi akar menghasilkan pohon berakar yang berbeda pula b sebagai akar Pohon tak-berakar e a b c d f g h a b c d f g h e d e c f a h b g e sebagai akar

20 Matematika Diskrit19 Terminologi pada Pohon Berakar Child atau children (Anak) dan parent (orangtua)  Child dari simpul x jika ada sisi dari simpul x ke y  Parent dari simpul y adalah simpul x  Pada gambar di samping :  Simpul b,c dan d  children dari simpul a  Simpul e dan f  children dari simpul b  Simpul a  parent dari simpul b,c dan d  Simpul b  parent dari simpul e dan f Path (lintasan)  Lintasan dari simpul v i ke simpul v k adalah runtunan simpul- simpul v 1, v 2,…, v k sedemikian hingga v i adalah parent dari v i+1 untuk 1  i  k  Panjang lintasan adalah jumlah sisi yang dilalui dalam suatu lintasan, yaitu k – 1.  Pada gambar di samping :  Lintasan dari a ke j adalah a,b,e dan j  Panjang lintasan dari a ke j adalah 3 Descendant (Keturunan) dan ancestor (leluhur)  x adalah ancestor dari simpul y jika terdapat lintasan dari simpul x ke simpul y di dalam pohon  Descendant dari simpul x adalah simpul y  Pada gambar di samping :  Simpul b adalah ancestor dari simpul h  Simpul h adalah descendant dari simpul b a b c d e f g h i j l k m

21 Matematika Diskrit20 Terminologi pada Pohon Berakar Sibling (saudara kandung)  Sibling satu sama lain adalah simpul yang mempunyai parent sama  Pada gambar di samping :  Simpul f sibling dari e  Simpul g bukan sibling dari e karena parent berbeda Subtree (subpohon)  Subtree dengan x sebagai akarnya adalah subgraf T’ = (V’,E’) sedemikian hingga V’ mengandung x dan semua keturunannya; E’ mengandung sisi-sisi dalam semua lintasan yang berasal dari x  Pada gambar di samping :  V’ = {b,e,f,h,i,j}  E’ = {(b,e), (b,f), (e,h), (e,i), (e,j)}  b : simpul akar Degree (derajat)  Derajat sebuah simpul pohon berakar adalah jumlah subtree (jumlah child) pada simpul tersebut  Derajat pohon berakar merupakan derajat keluar  Pada gambar di samping :  Derajat simpul a : 3, simpul b : 2, simpul c : 0 dan simpul d : 1  Derajat tertinggi (maksimum) : 3 a b c d e f g h ij l k m

22 Matematika Diskrit21 Terminologi pada Pohon Berakar Leaf (daun)  Adalah simpul yang berderajat nol (tidak mempunyai child)  Pada gambar di samping :  Merupakan leaf : simpul c,f,h,i,j,l dan m Internal nodes (simpul dalam)  Adalah simpul yang mempunyai child  Pada gambar di samping :  Merupakan internal nodes : simpul b,d,e,g dan k Level (tingkat)  Akar mempunyai level = 0  Level simpul lainnya = 1 + panjang lintasan dari akar ke simpul tersebut Height (tinggi) atau depth (kedalaman)  Adalah level maksimum dari suatu pohon  Nama lain : panjang maksimum lintasan dari akar ke daun  Pada gambar di samping :  Pohon mempunyai height atau depth : 4 a b c d e f g h i j l k m Level

23 Matematika Diskrit22 Ordered Tree (Pohon Berakar Terurut) Adalah pohon berakar yang urutan children penting Sistem universal dalam pengalamatan simpul- simpul pada pohon terurut adalah dengan memberi nomor setiap simpulnya seperti penomoran bab (beserta subbab) di dalam sebuah buku

24 Matematika Diskrit23 Pohon m-ary Adalah pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai banyak n buah child (anak) Jika m = 2  Pohon biner (binary tree) Pohon m-ary dikatakan pohon penuh (full) atau pohon teratur jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat m buah child Penggunaan pohon m-ary  Penurunan kalimat (dalam bidang bahasa)  Direktori arsip di dalam komputer  Struktur organisasi  Silsilah keluarga (dalam bidang genetika)  Struktur bab atau daftar isi di dalam buku  Bagan pertandingan antara beberapa tim sepak bola  dll Winter.bmp C:/ My Documents Program Files Windows Adobe Cookies Win zip VB6Office Prop.doc My Pictures My Music Fall.jpg Struktur direktori arsip di dalam sistem operasi Windows

25 Matematika Diskrit24 Jumlah Daun pada Pohon m-ary Penuh Pada pohon m-ary penuh dengan tinggi (height) h, jumlah daun (leaf) adalah : m h Jika T bukan pohon m-ary penuh  jumlah daun  m h Jumlah seluruh simpul pohon m-ary pada pohon m-ary penuh dengan tinggi h : level 0  jumlah simpul = m 0 = 1 level 1  jumlah simpul = m 1 level 2  jumlah simpul = m 2 … level h  jumlah simpul = m h sehingga jumlah seluruh simpul adalah : Sehingga jumlah seluruh simpul untuk T bukan pohon m-ary penuh :

26 Matematika Diskrit25 Hubungan Jumlah Daun dan Simpul Dalam pada Pohon m-ary Penuh Misalkan : i = banyaknya simpul dalam t = banyaknya simpul daun di dalam pohon biner penuh m = banyaknya simpul child Sehingga : (m – 1) i = t - 1 m-ary m1m1 m2m2 mnmn tntn … m i t … t1t1 t2t2 … i1i1 inin

27 Matematika Diskrit26 Contoh Kita akan menyambungkan 19 buah lampu pada satu stop kontak dengan menggunakan sejumlah kabel ekstensi yang masing-masing mempunyai 4 outlet. Penyelesaian : Diketahui : t = 19  banyaknya simpul daun m = 4  pohon 4-ary Karena penyambungan merupakan pohon 4-ary dengan stop kontak sebagai akar pohon, maka : (m – 1) i = t – 1 (4 – 1) i = i = 6 Jadi dibutuhkan 6 buah kabel ekstensi Stop kontak Outlet 1 … Outlet 2 Outlet 3 Outlet 4 k1k1 k2k2 k 19 Pohon 4-ary pada penyambungan lampu dengan kabel

28 Matematika Diskrit27 Pohon Biner Adalah pohon yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling banyak 2 buah child (anak) Left subtree (sub pohon kiri) adalah :  Pohon yang akarnya adalah left child (anak kiri) Right subtree (sub pohon kanan) adalah :  Pohon yang akarnya adalah right child (anak kanan) Skewed tree (pohon condong) adalah :  Pohon yang semua simpulnya terletak di bagian kiri saja atau bagian kanan saja Skew left (pohon condong kiri) adalah :  Pohon yang condong ke kiri Skew right (pohon condong kanan) adalah :  Pohon yang condong ke kanan Full binary tree (pohon biner penuh) adalah :  Pohon biner yang setiap simpulnya mempunyai tepat 2 buah child (anak), kiri dan kanan, kecuali simpul pada level bawah Pohon biner penuh dengan tinggi h memiliki jumlah daun sebanyak 2 h, dan jumlah seluruh simpul adalah : Pohon biner penuh

29 Matematika Diskrit28 Balance Binary Tree (Pohon Biner Seimbang) Adalah pohon biner yang perbedaan tinggi antara subpohon kiri dan subpohon kanan maksimal 1 Pada pohon biner seimbang dengan tinggi h, semua daun berada pada level h atau h – 1 Untuk membuat pohon seimbang, tinggi pohon secara keseluruhan harus dibuat seminimal mungkin Untuk memperoleh tinggi minimum, setiap level harus mengandung jumlah simpul sebanyak mungkin Pohon biner seimbang Bukan Pohon biner seimbang

30 Matematika Diskrit29 Pohon Ekspresi Adalah pohon biner dengan daun menyatakan operand dan simpul dalam (termasuk akar) menyatakan operator Tanda kurung tidak lagi diperlukan bila suatu ekspresi aritmetik direpresentasikan sebagai pohon biner Pohon ekspresi digunakan oleh compiler bahasa tingkat tinggi untuk mengevaluasi ekspresi yang ditulis dalam notasi :  Infix  Operator berada di antara 2 buah operand  Prefix (polish notation)  Operator mendahului 2 buah operand-nya  Postfix (inverse polish notation)  Kedua operand mendahului operatornya Contoh :  (a + b)*(c/(d + e))  infix  * + a b / c + d e  prefix  a b + c d e + / *  postfix * +/ a b c + d e Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))

31 Matematika Diskrit30 Contoh Urutan prioritas pengerjaan operator : 1.Perkalian (*) dan pembagian (/)  lebih tinggi 2.Penjumlahan (+) dan pengurangan (-) + d e + a b / c + d e * +/ a b c + d e (i) (ii) (iii) (iv) Pembentukan pohon ekspresi (a + b)*(c/(d + e))

32 Matematika Diskrit31 Pembentukan Pohon Ekspresi dari Notasi Postfix 1.Setiap elemen (operand dan operator) dari notasi postfix yang panjangnya n disimpan di dalam tabel sebagai elemen P 1, P 2, …, P n n = 9 ab+cde+/* 2.Tumpukan S menyimpan pointer ke simpul pohon biner (tumpukan tumbuh dari kiri ke kanan)  Arah pertumbuhan tumpukan

33 Matematika Diskrit32 Algoritma pembentukan pohon ekspresi dari notasi postfix

34 Matematika Diskrit33 Contoh (1) 1.Mulai dari elemen postfix pertama, P 1, karena P 1 = ‘a’ = operand, buat simpul untuk P 1, push pointer-nya ke dalam tumpukan S 2.Baca P 2, karena P 2 = ‘b’ = operand, buat simpul untuk P 2, push pointer-nya ke tunpukan S Terapkan algoritma BangunPohonEkspresiDariPostfix untuk membangun pohon ekspresi dari notasi postfix a b + c d e + / * aba 3.Baca P 3, karena P 3 = ‘+’ = operator, buat pohon T dengan ‘a’ dan ‘b’ sebagai child (anak) a b +

35 Matematika Diskrit34 4.Baca P 4, P 5, P 6, karena P 4, P 5, P 6 = operand, buat pohon P 4, P 5, P 6 Push pointer-nya ke dalam tumpukan S a b + c d e 5.Baca P 7, karena P 7 = ‘+’ = operator, buat pohon T dengan ‘d’ dan ‘e’ sebagai child (anak) a b + c d e + 6.Baca P 8, karena P 8 = ‘/’ = operator, buat pohon T dengan ‘c’ dan ‘+’ sebagai child (anak) a b + c d e + /

36 Matematika Diskrit35 7.Baca P 9, karena P 9 = ‘*’ = operator, buat pohon T dengan ‘+’ dan ‘*’ sebagai child (anak) * +/ a b c + d e

37 Matematika Diskrit36 Contoh (2) Evaluasi pohon ekspresi berikut : Penyelesaian : Pohon ekspresi dievaluasi mulai dari bawah, tahapan evaluasi sbb : * +/ * +/ * 14 +/ * 7 2

38 Matematika Diskrit37 Pohon Keputusan Digunakan untuk memodelkan persoalan yang terdiri dari serangkaian keputusan yang mengarah ke solusi Tiap simpul dalam menyatakan keputusan Daun menyatakan solusi Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen a : b c > a > b b > a a > b a > c b > c c > a c > b a > c b > c c > b c > a

39 Matematika Diskrit38 Contoh Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari delapan koin ternyata palsu. Koin yang palsu mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada koin yang palsu. Misalkan tersedia sebuah timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah pohon keputusan untuk mencari uang palsu dengan cara menimbang paling banyak hanya 3 kali saja Penyelesaian : Misalkan 8 koin itu dinamai a,b,c,d,e,f,g,h. Daun menyatakan koin yang palsu. Pohon keputusan untuk mencari koin yang palsu ditunjukkan sbb : ab : cd ab : ef a : g c : e a : e a  g c = e c  e a : e h g f e dc b a {a palsu} {b palsu} {c palsu} {d palsu} {e palsu} {f palsu}{g palsu} {h palsu} a = e a  e a = e a  e ab  efab = ef ab  ef ab = ef ab = cd ab  ef {ab palsu} {cd palsu} {ef palsu} {gh palsu} {abcd asli} {efgh asli, palsu ada diantara abcd}

40 Matematika Diskrit39 Prefix Code (Kode Awalan) Adalah himpunan kode (misalnya kode biner) sedemikian hingga tidak ada anggota kumpulan yang merupakan awalan dari anggota yang lain Mempunyai pohon biner yang bersesuaian Sisi diberi label 0 atau 1, semua sisi kiri diberi label 0 saja (atau 1 saja) sedangkan sisi kanan diberi label 1 saja (atau 0 saja) Barisan sisi-sisi yang dilalui oleh lintasan dari akar ke daun menyatakan kode awalan (ditulis di daun) Keguanaan untuk :  mengirim pesan pada komunikasi data  Setiap karakter di dalam pesan direpresentasikan dengan barisan angka 0 dan 1  Untuk pembentukan kode Huffman dalam pemampatan data (data compression) Pohon biner dari kode prefiks (000, 001, 01, 10, 11)

41 Matematika Diskrit40 Kode Huffman Pemampatan data dilakukan dengan mengkodekan setiap karakter di dalam pesan atau di dalam arsip dikodekan dengan kode yang lebih pendek Sistem kode yang banyak digunakan adalah kode ASCII (setiap karakter dikodekan dalam 8 bit biner) Cara pembentuka kode Huffman dengan membentuk pohon biner (dinamakan dengan pohon Huffman) yaitu : 1.Pilih 2 simbol dengan peluang (probability) paling kecil sebagai child kemudian kedua simbol tersebut dikombinasikan sebagai parent peluang penjumlahan dari kedua simbol tersebut 2.Pilih 2 simbol berikutnya termasuk simbol baru yang mempunyai peluang kecil sebagai child kemudian kedua simbol tersebut dikombinasikan sebagai parent peluang penjumlahan dari kedua simbol tersebut 3.Prosedur yang sama dilakukan pada 2 simbol berikutnya yang mempunyai peluang terkecil sebagai child kemudian kedua simbol tersebut dikombinasikan sebagai parent peluang penjumlahan dari kedua simbol tersebut

42 Matematika Diskrit41 Kode Huffman (Lanj.) Kode Huffman tidak bersifat unik, artinya kode untuk setiap karakter berbeda-beda pada setiap pesan bergantung pada kekerapan kemunculan karakter tersebut di dalam pesan Keputusan apakah suatu simpul pada pohon Huffman diletakkan di kiri atau di kanan menentukan kode yang dihasilkan (tetapi tidak mempengaruhi panjang kodenya)

43 Matematika Diskrit42 Contoh (1) Representasikan string ‘ABACCDA’ dalam kode ASCII dan kode Huffman Kode ASCII SimbolKode ASCII A B C D String ‘ABACCDA’ direpresintasikan menjadi rangkaian : Representasi 7 huruf tersebut membutuhkan 7 x 8 bit = 56 bit (7 byte)

44 Matematika Diskrit43 Kode Huffman SimbolKekerapanPeluang A33/7 B11/7 C22/7 D11/7 Cara pembentukan kode Huffman : 1.Pilih 2 simbol dengan peluang paling kecil, yaitu simbol B dan D. Simbol tersebut dikombinasikan menjadi simbol BD dengan peluang 1/7 + 1/7 = 2/7 2.Pilih 2 simbol dengan peluang paling kecil, yaitu simbol C dan BD. Simbol tersebut dikombinasikan menjadi simbol CBD dengan peluang 2/7 + 2/7 = 4/7 3.Pilih 2 simbol dengan peluang paling kecil, yaitu simbol A dan CBD. Simbol tersebut dikombinasikan menjadi simbol ACBD dengan peluang 4/7 + 3/7 = 7/7 = 1

45 Matematika Diskrit44 String ‘ABACCDA’ direpresintasikan menjadi rangkaian : Representasi 7 huruf tersebut membutuhkan 13 bit SimbolKekerapanPeluangKode Huffman A33/70 B11/7110 C22/710 D11/ CBD (4/7) C (2/7) B (1/7) D (1/7) ACBD (7/7) A (3/7) BD (2/7) Pohon Huffman untuk pesan ‘ABACCDA’

46 Matematika Diskrit45 Adalah pohon biner yang setiap key diatur dalam suatu urutan tertentu Digunakan untuk melakukan operasi  Pencarian  Penyisipan  Penghapusan elemen Simpul pada pohon pencarian berupa field kunci (key) pada :  Data record atau  Data itu sendiri Key (kunci) adalah :  Nilai yang membedakan setiap simpul dengan simpul yang lainnya Key harus unik, karena itu tidak ada 2 buah simpul atau lebih yang mempunyai kunci yang sama Jika R adalah akar dan semua key yang tersimpan pada setiap simpul tidak ada yang sama maka : :  Semua simpul pada subpohon kiri mempunyai key lebih kecil dari key R  Semua simpul di subpohon kanan mempunyai key nilai lebih besar dari key R Binary Search Tree (Pohon Pencarian Biner) Key T1 < key R Key T2 > key R R T1T1 T2T2

47 Matematika Diskrit46 Contoh Gambarkan ke dalam pohon biner pencarian untuk data masukan dengan urutan sbb : 50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70 Simpul di subpohon kiri 50 mempunyai key lebih kecil dari 50 dan simpul di subpohon kanan mempunyai key lebih besar dari 50 Pencarian selalu dimulai dari simpul akar Simpul di akar dibandingkan dengan nilai yang dicari (x). Jika kunci di simpul akar tidak sama dengan x, pencarian dilanjutkan di subpohon kiri atau subpohon kanan, bergantung pada nilai x lebih kecil dari key di akar atau x lebih besar dari key di akar Pembandingan dilakukan sampai nilai x sama dengan nilai suatu key atau tercapai sebuah daun Skema pohon pencarian

48 Matematika Diskrit47 Traversal Pohon Biner Misalkan T adalah pohon biner, akarnya R, subpohon kiri T 1 dan subpohon kanan T 2 maka ada skema mengunjungi simpul- simpul di dalam pohon biner T : 1.Preorder  Kunjungi R (sekaligus memproses simpul R)  Kunjungi T 1 secara preorder  Kunjungi T 2 secara preorder 2.Inorder  Kunjungi T 1 secara inorder  Kunjungi R (sekaligus memproses simpul R)  Kunjungi T 2 secara inorder 3.Postorder  Kunjungi T 1 secara postorder  Kunjungi T 2 secara postorder  Kunjungi R (sekaligus memproses simpul R) Proses yang dilakukan terhadap simpul yang dikunjungi misalnya  mencetak informasi yang disimpan di dalam simpul  Memanipulasi nilai, dll

49 Matematika Diskrit48 Skema Mengunjungi Pohon Biner R T1T1 T2T2 Langkah 1 : Kunjungi R PREORDER Langkah 2 : Kunjungi T 1 secara preorder Langkah 3 : Kunjungi T 2 secara preorder R T1T1 T2T2 Langkah 2 : Kunjungi RINORDER Langkah 1 : Kunjungi T 1 secara inorder Langkah 3 : Kunjungi T 2 secara inorder R T1T1 T2T2 Langkah 3 : Kunjungi R POSTORDER Langkah 2 : Kunjungi T 2 secara postorder Langkah 1 : Kunjungi T 1 secara postorder

50 Matematika Diskrit49 Penulusuran Pohon m-ary Preorder :  Kunjungi R  Kunjungi T 1, T 2, …, T n secara preorder Inorder :  Kunjungi T 1 secara inorder  Kunjungi R  Kunjungi T2, T3, …, T n secara inorder Postorder :  Kunjungi T 1, T 2, …, T n secara postorder  Kunjungi R Skema pohon m-ary R T1T1 TnTn T2T2 …

51 Matematika Diskrit50 Contoh (1) Tinjau pohon biner T di bawah ini : Lintasan : Preorder : A, B, C, D, E, F, G, H, I, J Inorder : D, B, H, E, A, F, C, I, G, J Postorder : D, H, E, B, F, I, J, G, C, A A B D E C F I J G H

52 Matematika Diskrit51 Contoh (2) Tinjau pohon ekspresi di bawah ini : * + a/ - d e f * b c Lintasan : Preorder : * + a / b c – d * e f(prefix) Inorder : a + b / c * d - e * f (infix) Postorder : a b c / + d e f * - *(postfix)

53 Matematika Diskrit52 Contoh (3) Tentukan hasil kunjungan preorder, indorder dan postorder pada pohon 4-ary berikut : Lintasan : Preorder : a,b,e,n,o,f,g,c,h,i,d,j,k,l,p,q,m Inorder : n,e,o,b,f,g,a,h,c,i,j,d,k,p,l,q,m Postorder : n,o,e,f,g,b,h,i,c,j,k,p,q,l,m,d,a a b eg d j p q m n o h i c fl k

54 Matematika Diskrit53 Latihan Soal


Download ppt "POHON (TREE) Matematika Diskrit. 1 Definisi Pohon (tree) adalah :  Graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit G1G1 c b e d a f c b e d."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google