Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Distribusi Bentuk Kuadra t Definisi Jika y adalah sebuah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I, maka y΄y mengikuti noncentral.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Distribusi Bentuk Kuadra t Definisi Jika y adalah sebuah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I, maka y΄y mengikuti noncentral."— Transcript presentasi:

1 Distribusi Bentuk Kuadra t Definisi Jika y adalah sebuah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I, maka y΄y mengikuti noncentral chi-square distribution dengan derajat bebas k dan parameter non sentralitas λ=1/2(μ΄μ). Notasi dari variabel random tsb:

2 y berdistribusi normal dengan rata-rata μ, maka variabel random y 1, y 2, …, y k berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing μ 1, μ 2, …, μ k, artinya satu dengan yang lain tidak harus sama. Var(y)=I artinya bahwa matriks varians kovarians dari y adalah matrik identitas. Varians dari variabel random y 1, y 2, …, y k adalah 1 dan covarians adalah sama dengan 0. y´y merupakan jumlah kuadrat atau Teori menyatakan bahwa jumlah kuadrat dari k variabel independen berdistribusi normal dengan varians 1 mengikuti distribusi yang disebut dengan noncentral chi- squared distribution. Distribusi ini dicirikan dengan dua parameter, yaitu k (derajat bebas) dan λ (parameter noncentral)

3 Theorema merupakan n variabel random independen berdistribusi noncentral chi-square dengan derajat bebas k 1, k 2, …, k n dan paramater noncentral λ 1, λ 2, …, λ n. Maka: mengikuti distribusi noncentral chi-square dengan derajat bebas k= k 1 +k 2 + … +k n dan parameter noncentral λ= λ 1 +λ 2 + …+ λ n. Atau

4 Theorema Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I. Dan A adalah matrik simetris n x n. Maka y´Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2)μ´Aμ jika dan hanya jika A matrik idempoten dengan rank k. (Buktikan!)

5 Akibat: 1.Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians I. Dan A adalah matrik simetris n xn. Maka y’Ay mengikuti distribusi chi-square dengan derajat bebas k jika dan hanya jika A idempoten dengan rank=k. 2.Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan μ dan varians σ 2 I, σ 2 >0. Dan A adalah matrik simetris n xn. Maka (1/σ 2 )y’Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2σ 2 )μ´Aμ jika dan hanya jika A matrik idempoten dengan rank sama dengan k.

6 Distribusi Multivariate Normal Definisi Jika y adalah vektor random n x 1 berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I. Dan C adalah matrik nonsingular n xn, serta kita tentukan vektor z= C’y. Maka z mengikuti distribusi multivariate normal. z disebut sebagai variabel random normal multivariat.

7 Implikasi dari definisi ini adalah: 1.Setiap komponen vektor z merupakan kombinasi linier dari random variabel (y1, y2, …,yn) yang berdistribusi normal. 2.Aturan ekspekatasi dan varians dapat digunakan untuk membuktikan bahwa E(z)=C´μ dan var(z)= C´IC= C´C. Varins- kovarins matrik dari random variabel multivariat normal dapat dinyatakan dalam bentuk C´C untuk setiap matrik nonsingular C.

8 Theorema Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variance V. Dan A matrik simetris n x n. Maka y΄Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2) μ΄Aμ jika dan hanya jika AV idempoten dengan rank k.

9 Bukti: Jika y adalah variabel random berdistribusi normal multivariat maka terdapat matrik non singular C shg V=C´C. Misal didefinisikan z dengan z=(C´) -1 (y-μ) Dengan mengalikan dengan C´ diperoleh y= C´z+ μ Sehingga bentuk kuadrat menjadi y´Ay= (C´z+ μ)´A(C´z+ μ) Persamaan di atas dapat dinyatakan sbg y´Ay= u´Bu Dengan u=z+(C´) -1 μ dan B=CAC´

10 u berdistribusi normal dengan rata-rata (C´) -1 μ dan varians I. Berdasarkan theorema sebelumnya maka u´Bu mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2) [(C´) -1 μ]´B[(C´) -1 μ], jika dan hanya jika B=CAC´ idempoten dan rank=k. Maka perlu dibuktikan bahwa B idempoten dan rank=k jika dan hanya jika AV idempoten dan rank=k.

11 B idempoten artinya B 2 =B. B 2 =B (CAC´) (CAC´) = CAC´ CA(C´C)AC´= CAC´ CAVAC´ = CAC´ C -1 CAVAC´C = C -1 CAC´C AVAC´C = AC´C (AV)(AV)=AV

12 Akibat: 1.Jika y adalah vektor random n x 1 ber distribusi normal dengan rata-rata 0 dan variance V. Dan A matrik simetris n x n. Maka y΄Ay mengikuti distribusi chi-square dengan derajat bebas k jika dan hanya jika AV idempoten dengan rank k. 2.Jika y adalah vektor random n x 1 ber distribusi normal dengan rata-rata μ dan variance V. Maka y΄V -1 y mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas n dan parameter noncentral λ=(1/2) μ΄V -1 μ.

13 Idependensi Bentuk Kuadrat LEMMA Jika A 1, A 2, …, A m adalah sekumpulan matrik simetris k x k. Kondisi perlu dan cukup agar terdapat orthoganl matriks P sehingga P´A i P merupakan diagonal adalah A i A j =A j A i untuk setiap pasangan (i,j).

14 Theorema Jika Y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians V. Dan A dan B matriks simetris n x n dengan rank r1 dan r2. Jika AVB =0, maka y΄Ay dan y΄By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan y΄By saling independen, maka AVB =0.

15 Akibat dari theorema di atas: Jika Y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians σ 2 I. Dan A dan B matriks simetris n x n dengan rank r1 dan r2. Jika AB =0, maka y΄Ay dan y΄By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan y΄By saling independen, maka AB =0.

16 Theorema: Jika y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians V. Dan A matriks simetris n x n dan B matriks m x n. Jika BVA =0, maka y΄Ay dan By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan By saling independen, maka BVA =0.

17 Theorema Mis y adalah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians I. Dan y´A 1 y, y´A 2 y, …, y´A m y adalah bentuk kuadrat sebanyak m, A i adalah matriks simetris dengan rank r i. Jika terdapat dua dari tiga pernyataan dibawah ini benar, maka untuk setiap i, y´A i y mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas r i dan parameter noncentral λ i =(1/2)μ´A i μ. Demikian juga y´A i y dan y´A j y saling bebas untuk i≠j dan ∑ r i =r dengan r adalah rank dari ∑ A i. 1. Semua A i idempoten 2. ∑ A i idempoten 3. A i A j =0; i≠j


Download ppt "Distribusi Bentuk Kuadra t Definisi Jika y adalah sebuah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I, maka y΄y mengikuti noncentral."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google