Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Proses Stokastik Semester Ganjil 2013 1. Sebaran Eksponensial Pr{ T  t ) =  0 t e – u d u = 1 – e – t ( t  0) f ( t ) = { e – t, t  0 0, t < 0 PDF.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Proses Stokastik Semester Ganjil 2013 1. Sebaran Eksponensial Pr{ T  t ) =  0 t e – u d u = 1 – e – t ( t  0) f ( t ) = { e – t, t  0 0, t < 0 PDF."— Transcript presentasi:

1 Proses Stokastik Semester Ganjil

2 Sebaran Eksponensial Pr{ T  t ) =  0 t e – u d u = 1 – e – t ( t  0) f ( t ) = { e – t, t  0 0, t < 0 PDF CDF Mean Variance E [ T ] = 1 Var [ T ] = 1 2 2

3 Sifat Utama: Memorylessness (Tanpa Ingatan)  Digunakan pada beberapa bidang berikut:  Reliabilitas:  Lama waktu suatu komponen telah bekerja, tidak berpengaruh terhadap lama waktu sampai dengan kerusakannya.  Waktu antar kejadian (Inter-event times):  Lama waktu sejak kejadian terakhir tidak memberikan informasi tentang kapan kejadian berikutnya akan terjadi.  Waktu pelayanan (Service times):  Waktu selesainya layanan tidak tergantung pada berapa lama layanan telah diberikan. Pr{T  a + b | T  b} = Pr{T  a} a, b  0 Sifat Memoryless 3

4 Sifat Peubah Acak Eksponensial Peluang bahwa 1 kejadian akan terjadi pada  t berikutnya: Pr{ T  t ) =  e –  t =  t Ketika  t kecil maka, (–  t ) x  0 = 1 – { 1 + (–  t )+  (–  t ) x /x! ) } Peubah acak Eksponensial adalah satu-satunya peubah dengan sifat ini. 4

5 Proses Mencacah ( Counting Process ) Maka { X ( t ), t  0} harus memenuhi: a) X ( t )  0 b) X ( t ) adalah bilangan cacah untuk semua t c) Jika s < t, maka X ( s )  X ( t ) dan d) Untuk s < t, X ( t ) - X ( s ) adalah jumlah kejadian yang terjadi pada selang waktu ( s, t ]. Proses stokastik { X ( t ), t  0} adalah counting process jika X ( t ) didefinisikan sebagai jumlah kejadian yang terjadi pada selang waktu [0, t ] 5

6 Stasionieritas & Independent Increments stationary increments Suatu counting process mempunyai stationary increments jika untuk sembarang s < t, sebaran bagi X ( t ) – X ( s ) tergantung hanya pada selang waktu t – s : X ( t – s ) independent increments Proses mencacah ( counting process ) mempunyai sifat independent increments jika untuk sembarang 0  s  t  u  v, X(t) – X(s) saling bebas dengan X(v) – X(u) Jumlah kejadian yang terjadi pada selang waktu yang tidak tumpah tindih adalah peubah acah yang saling bebas 6

7 7 Proses Poisson, Definisi 1 Suatu counting process { X ( t ), t  0} adalah proses Poisson dengan laju, > 0, jika X (0) = 0 Proses tersebut mempunyai independent increments Jumlah kejadian pada selang waktu t mengikuti sebaran Poisson dengan rata-rata t Pr{ X(t+s) – X(s) = x } = Pr{ X(t) = x } = ( t) x e – t /x!, x = 0, 1,... di mana adalah laju kedatangan dan t adalah selang waktu Proses tersebut juga mempunyai stationary increments

8 8 Proses Poisson Definisi 2 o ( h ): fungsi polinomial h, h →0, sedemikian sehingga o ( h ) →0 Suatu counting process { X ( t ), t  0} adalah Poisson process dengan laju, > 0, jika X(0) = 0 dan proses tersebut mempunyai sifat stasioner dan independent increments Pr{X(h) = 0} = 1 - h + o ( h ): peluang bahwa tidak ada kejadian pada selang waktu h Pr{X(h) = 1} = h + o ( h ): peluang bahwa terdapat satu kejadian pada selang waktu h Pr{X(h) > 1} = o ( h ): peluang bahwa terdapat satu atau lebih kejadian pada selang waktu h Sifat-sifat tersebut diturunkan dari deret Taylor

9 9 Definisi:

10 10 Waktu antar Kedatangan ( Interarrival times ) dan Waktu Tunggu ( Waiting Times ) t X(t)X(t) T2T2 T1T1 T3T3 T4T4 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 Total waktu tunggu sampai dengan kejadian ke n mempunyai sebaran gamma Waktu antar kedatangan T 1, T 2, … adalah peubah acak eksponensial yang saling bebas dengan rata-rata 1/ : P(T1>t) = P(X(t) =0) = e - t λ

11 Contoh 1  Kerusakan terjadi di sepanjang kabel bawah laut, dengan jumlah kerusakan yang mengikuti proses Poisson dengan laju =0.1 per mil.  Berapa peluang bahwa tidak terdapat kerusakan pada dua mil pertama sepanjang kabel tersebut? 11 t: panjang kabel dari titik nol (mil)

12 12  Dengan syarat tidak terdapat kerusakan pada dua mil pertama kabel, berapa peluang bahwa tidak akan ada kerusakan pada mil kedua dan ketiga? atau Karena selang jarak antara 0 – 2 mil dan 2 – 3 mil tidak saling tumpang tindih

13 13

14 Contoh 2 14  X(t): jumlah pelanggan yang datang pada suatu fasilitas umum adalah proses poisson dengan laju =2 pelanggan/jam  Berapa peluang bahwa terdapat dua kedatangan pelanggan di dalam satu jam pertama setelah fasilitas tersebut buka? t: waktu setelah jam buka (jam)

15 15  Berapa peluang bahwa terdapat dua kedatangan pelanggan pada satu jam pertama dan terdapat 6 kedatangan pelanggan pada 3 jam pertama setelah fasilitas buka?  P(X(1) = 2 dan X(3) = 6)?  Peluang tersebut dapat didefinisikan sebagai dua kejadian bebas  Berdasarkan sifat kebebasan:

16 16  Dengan syarat 2 pelanggan datang pada satu jam pertama setelah buka, berapa peluang bahwa akan terdapat 6 pelanggan yang datang pada 3 jam setelah fasilitas buka?  Dengan peluang bersyarat:

17 17


Download ppt "Proses Stokastik Semester Ganjil 2013 1. Sebaran Eksponensial Pr{ T  t ) =  0 t e – u d u = 1 – e – t ( t  0) f ( t ) = { e – t, t  0 0, t < 0 PDF."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google