Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA BAB VIII. Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu kita akan membicarakan luas bidang pada koordinat Kartesius.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA BAB VIII. Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu kita akan membicarakan luas bidang pada koordinat Kartesius."— Transcript presentasi:

1 INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA BAB VIII

2 Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu kita akan membicarakan luas bidang pada koordinat Kartesius. 8.1 Integral tentu Menentukan luas bidang tersebut sesederhana seperti kita menentukan luas bidang seperti lingkaran, persegi panjang, segitiga atau bangun-bangun sederhana lainnya. Cara yang sederhana untuk menentukan luas bidang yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x = x 1 dan x = x 2 kita harus membagi bidang tersebut menjadi beberapa bagian. Makin banyak pembagian bidang tersebut akan semakin akurat pula hasilnya.

3 x y x y f(x) a b f(x) Bidang yang terletak dibawah grafik f (a)(b) Sejumlah persegi panjang yang terletak dibawah grafik f Gambar 8.1

4 Pembagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang dapat berupa Gambar 8.1(a) atau (b). Pada analisa berikut kita akan membagi bidang seperti Gambar 8.1(a). Misal terdapat suatu bidang R yang terletak pada koordinat kartesius yang dibatasi oleh garis x=a, garis x=b, sumbu x dan grafik f yang kontinu dan tak negatif pada selang tertutup [a,b]. Jika luas bidang R adalah A, maka untuk menentukan luas A yang mendekati harga sebenarnya adalah dengan jalan membagi bidang tersebut menjadi beberapa persegi panjang yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar 8.1(a)).

5 Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang x 0, x 1, x 2, … x n dengan x 0 = a dan x n = b, maka Jika selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n sub-selang dengan lebar  x maka akan didapat  x = (b-a)/n. seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut. Jika lebar setiap persegi panjang sangat kecil, maka luas Ai  A. Misal luas seluruh persegi panjang pada Gambar 8.1(a) adalah Ai.

6 f(x) 0 x 0 =a x 1 x 2 x k-1 u k x k x n =b y x f(u k ) Gambar 8.2

7 Sehingga, x 0 =a ; x 1 =a+  x ; x 2 =a+2  x ; x 3 =a+3  x ; x k-1 =a+(k-1)  x ; x k =a+k  x ; x n =a+n  x Luas persegi panjang adalah A i = f(u 1 )  x + f(u 2 )  x + … + f(u k )  x + f(u n )  x Jika menggunakan notasi penjumlahan “  ”, maka Persamaan 8.2 disebut jumlah Riemann dan f(uk) adalah harga minimum f pada sub-selang tertutup [xk-1,xk]. Jika jumlah persegi panjang (n) sangat besar maka  x menjadi sangat kecil.

8 Luas bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x 0 = a dan x n = b sama dengan luas persegi panjang Ai bila  x sangat kecil (atau n sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis, Misal terdapat suatu fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b]. Definisi Integral tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann atau,

9 Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat 8.2 Sifat-sifat integral tentu Berdasarkan persamaan 8.5 maka dapat ditentukan sifat utama integral tentu yaitu, F(x) adalah anti turunan f(x)

10 Sifat-sifat integral tentu lainnya 4. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah sembarang bilangan ril, maka cf terintegralkan pada [a,b].

11 5. Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] maka f+g dan f–g juga terintegralkan pada [a,b]. 6. Jika a < c < b dan f(x) terintegralkan pada [a,c] dan [c,b], maka f(x) terintegralkan pada [a,b].

12 7. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan f  0 untuk setiap x yang terletak pada [a,b], maka Selesaikan Contoh 8.1 Penyelesaian

13

14

15 Secara umum bidang yang berada pada koordinat Kartesius dibatasi oleh y 1 = f(x), y 2 = g(x), x 1 = a dan x 2 = b. Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada Gambar Luas Bidang Luasnya bidang adalah

16 f(x) g(x) x y 0 x 1 =ax 2 =b Gambar 8.3

17 Bentuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah bidang seperti yang terlihat pada Gambar 8.4, yaitu bidang yang dibatasi oleh y 1 = f(x), y 2 = 0, x 1 = a dan x 2 = b. Luas bidang adalah

18 f(x) x y 0 x 1 = a x 2 = b Gambar 8.4

19 Contoh 8.2 Penyelesaian x2x2 ¼ x 2 y x 0 x = 3 x = 1

20 Contoh 8.3 Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh x 2 +1, ¼x 2 +4, x = 0 dan x = 3. Penyelesaian

21 x=2 x=3 0 x y y= x 2 +1 y = ¼x 2 +4

22 Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu x, maka akan terbentuk suatu benda putar yang mempunyai volume dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga diputar mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5 diperlihatkan suatu fungsi f(x) yang diputar mengelilingi sumbu x. Akibatnya akan terbentuk suatu benda putar seperti Gambar 8.5 b. 8.4 Volume dan luas kulit benda putar Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara menganalisa elemen tipis yang mempunyai ketebalan  x.

23 xx xixi f(x) y x 0 x 1 =a x n =b (b)(b) Gambar 8.5 x y x=a x=b (a) 0 f(x)

24 Luas kulit elemen (  A) = 2  [f(xi)]  x Berdasarkan persamaan 8.4 maka luas kulit benda putar dapat ditulis menjadi Volume elemen (  V) =  [f(x)] 2.  x

25 Jadi volume benda putar adalah Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk bangun seperti Gambar 8.6 berikut. y 2 =b y x 0 f(y) y 1 =a Gambar 8.6

26 Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas kulit benda putar yang diputar mengelilingi sumbu y adalah Sedangkan volumenya adalah Contoh 8.4 Tentukan luas kulit dan volume benda putar jika y = ¼ x 3 Diputar mengelilingi: a) sumbu x mulai dari x=1 sampai x=3 b) sumbu y mulai dari y=1 sampai y=2

27 y x 0 f(x) Grafik y = ¼ x 3 Penyelesaian

28 y x 0 x=1 x=3 a) Perputaran mengelilingi sumbu x dari x=1 sampai x=3

29

30 b) Perputaran mengelilingi sumbu y dari y=1 sampai y=2 y x 0 y=1 y=2

31


Download ppt "INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA BAB VIII. Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu kita akan membicarakan luas bidang pada koordinat Kartesius."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google