Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

KELOMPOK 3 Matematika 5F MATERI: 4.4 MEMBANGUN DAN BEBAS LINIER NAMA KELOMPOK 1.ELIN EKAWATI.S08411.117 2.JOKO CAHYONO08411.163 3.PURWANTI08411.229 4.PUTRI.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "KELOMPOK 3 Matematika 5F MATERI: 4.4 MEMBANGUN DAN BEBAS LINIER NAMA KELOMPOK 1.ELIN EKAWATI.S08411.117 2.JOKO CAHYONO08411.163 3.PURWANTI08411.229 4.PUTRI."— Transcript presentasi:

1 KELOMPOK 3 Matematika 5F MATERI: 4.4 MEMBANGUN DAN BEBAS LINIER NAMA KELOMPOK 1.ELIN EKAWATI.S JOKO CAHYONO PURWANTI PUTRI ARUM PRISTIAN

2 H IMPUNAN PEMBANGUN ATAU PERENTANG Jika V adalah ruang vektor atas medan K, S = { V 1, V 2, … V r} С V dan k 1, k 2, …, k r adalah skalar, bentuk k 1 V 1 + k 2 V 2 + … + k r V r disebut kombinasi linear dari S. a. Sp(S) = { k 1 V 1 + k 2 V 2 + … + k r V r | V i є S, k i є K }, himpunan semua kombinasi linear dari S. Untuk S = Ø, didefinisikan Sp(S) = {0}. b. Sp(S) adalah subruang dari V; S disebut himpunan pembangun dari Sp(S).

3 Jika v 1, v 2, …, v r adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang vektor V dan jika tiap-tiap vektor di dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v 1, v 2, …, v r maka kita katakan bahwa vektor-vektor ini membangun/merentang V

4 Menentukan Kebebasan/Ketidakbebasan Linier 1. Misalkan V ruang vektor atas medan K dan S = {v 1, v 2, … |v r є V}. 2. S disebut bergantungan linear/ tak bebas linear (linearly dependent) jika persamaan k 1v1 + k 2v2 + … + k rvr = 0 menghasilkan nilai-nilai k r yang tidak semuanya 0. Jika dalam persamaan itu memberikan semua kr = 0, maka S disebut bebas linear (linearly independent). 3. Jika y = k 1V1 + k 2V2 + … + k rVr, maka dikatakan y bergantungan linear pada S. 4. Jika S memuat vektor nol, maka S bergantungan linear. Jika S bergantungan linear dan S С T, maka T juga bergantungan linear. 5. Konvers dari (4): Jika S bebas linear, maka S tidak memuat vektor nol; jika S bebas linear dan T С S, maka T bebas linear. 6. Jika S1 diperoleh dari himpunan S dengan membuang vektor- vektor yang bergantungan pada S, maka Sp(S1) = Sp(S)

5 Teorema Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor adalah: 1. Tidak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor pada S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S. 2. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S.

6 MMisalkan S = {v 1, v 2, ……,v r } adalah suatu himpunan dengan dua atau lebih vektor. Jika kita mengasumsikan bahwa S tidak bebas linier, maka terdapat skalar k 1, k 2, ……k r, yang tidak semuanya nol. Sehingga : k 1 V 1 + k 2 V 2 + … + k rVr = 0. untuk lebih jelasnya, misal k1 ≠ 0. maka (2) dapat ditulis sebagai : yang menyatakan v 1 sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S.

7 Sebaliknya, jika kita mengasumsikan bahwa paling tidak satu vektor pada S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain. Untuk lebih spesifiknya, misal : v 1 = c 2 v 2 + c 3 v c r v r Sehingga v 1 – c 2 v 2 – c 3 v c r v r = 0 Maka S tidak bebas linier karena persamaan : k 1 v 1 + k 2 v 2 + … + k r v r = 0 Sehingga dipenuhi oleh k 1 = 1, k 2 = -c k r = -c r Yang tidak semuanya nol. Bukti untuk kasus dimana beberapa vektor selain V 1 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S.

8 Teorema Suatu himpunan terhingga vektor-vektor yang mengandung vektor nol adalah tidak bebas linier. Suatu himpunan dengan tepat dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika tidak ada satu pun dari vektornya merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya.

9 Untuk vektor v 1, v 2, …… v r sembarang, himpunan S = {v 1, v 2, ….. V r, 0} tidak bebas linier karena persamaan 0v 1 + 0v v r + 1(0) = 0 menyatakan 0 sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pada S dengan koefisien- koefisien yang tidak semuanya nol.

10 Kebebasan Linier pada R² dan R³ PPada R² atau R³, suatu himpunan yang terdiri dari dua vektor adlah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sma ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. a.tidak bebas linierb. tidak bebas linierc.bebas linier Z Y V2 V1 X Z V2 X Y Y V1 X Z

11 Teorema 1. Misalkan S = {v1, v2,...,vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor pada Rⁿ. Jika r > n, maka S tidak bebas linier.

12 Bukti  Misalkan : v1 = {v11, v12,...., v1n} v2 = {v21, v22,...., v2n} vr = {vr1, vr2,...., vrn} perhatikan persamaan ini, k1V1 + k2V2 + … + krVr = 0 Jika kita menyatakan kedua ruas dari persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen, maka kita peroleh sistem persamaan, V11k1,+V21k Vr1kr = 0 V21k1+V22k Vr2kr = 0 V1nk1 + V2nk Vrnkr = 0 Ini merupakan sistem homogen yang terdiri dari n persamaan dengan r faktor yang tidak diketahui k1, k2,..., kr. Karena r > n, maka sesuai dengan teorema pertama, sistem tersebut memiliki solusi-solusi non trivial.

13 Contoh soal 1. Tunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2 = (2,3,0,- 1) dan u3= (2,-1,2,1) Jawab: Bila v merupakan kombinasi linier dari u1, u2, dan u3, maka dapat ditentukan x, y dan z sehingga: v = xu1 + yu2 + zu3 (3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1) (3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) + (2 z,-1z,2z,1z) (3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z) Diperoleh persamaan: X+2y+2z=3 -2x+3y-z=9 2z=-4 3x-y+z=-2 Penyelesaian: x =1, y = 3 dan z = -2 Jadi v = u1 + 3u2 – 2u3 Jika sistem persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian maka v tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari u1, u2, dan u3 dan bebas linier.

14 ^-^


Download ppt "KELOMPOK 3 Matematika 5F MATERI: 4.4 MEMBANGUN DAN BEBAS LINIER NAMA KELOMPOK 1.ELIN EKAWATI.S08411.117 2.JOKO CAHYONO08411.163 3.PURWANTI08411.229 4.PUTRI."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google