Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

 Selanjutnya misalkan Y=u(X) adalah fungsi dari variabel random kontinu X dengan ruang A  Misalkan y=u(x) adalah fungsi kontinu naik, sehingga inversnya.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: " Selanjutnya misalkan Y=u(X) adalah fungsi dari variabel random kontinu X dengan ruang A  Misalkan y=u(x) adalah fungsi kontinu naik, sehingga inversnya."— Transcript presentasi:

1  Selanjutnya misalkan Y=u(X) adalah fungsi dari variabel random kontinu X dengan ruang A  Misalkan y=u(x) adalah fungsi kontinu naik, sehingga inversnya juga x=w(y) juga merupakan fungsi kontinu naik  Fungsi distribusi dari Y adalah : G(y)=Pr(Y≤y)=Pr(u(X ≤y)=Pr(X≤w(y))= dimana f(x) adalah pdf dari X  Dengan menggunakan teorema dasar kalkulus diperoleh pdf dari Y :  B 

2 dimana B= {y: y=u(x), x ε A }   Jika konvergen absolut, maka nilai ekpektasi dari Y adalah :  Karena y=u(x), maka akan ditunjukkan bahwa : sehingga nantinya dapat ditulis :

3  Perhatikan  Lakukan metode substitusi, dengan memisalkan y=u(x) atau x=w(y) dan dx/dy=w’(y) > 0, maka :  Jadi dapat ditulis untuk kasus kontinu : dan kasus diskrit :

4 Sifat-sifat E(X) 1. E(k) = k, k konstanta 2. E(kV)= k E(V) 3. E(k 1 V 1 +k 2 V 2 ) = k 1 E(V 1 ) + k 2 E(V 2 ) E adalah operator linier

5 Beberapa ekpektasi khusus  Misalkan X adalah variabel random yang mempunyai pdf f(x)  Berikut ini adalah beberapa ekpektasi khusus : 1. μ = E(X), disebut nilai mean dari X 2. disebut nilai variansi dari X, sedangkan disebut standar deviasi dari X 3. disebut moment generating function MGF dari variabel random X kontinu

6 Untuk variabel random diskrit X, MGF nya adalah  MGF dari variabel random X disebut juga MGF dari suatu distribusi, tetapi tidak setiap distribusi mempunyai MGF  Apabila suatu distribusi mempunyai MGF maka MGF nya unik  Jadi jika 2 var random mempunyai MGF yang sama, maka variabel-variabel random tersebut mempunyai distribusi yang sama

7  Karena suatu distribusi yang mempunyai MGF M(t) ditentukan secara lengkap oleh M(t), maka dapat ditentukan beberapa sifat distribusi secara langsung dari M(t)  Maksudnya : Keberadaan M(t) untuk –h

8  Jika m bilangan bulat positif dan jika adalah turunan ke-m dari M(t) maka :  disebut momen ke-m dari suatu distribusi  Karena M(t) membangkitkan nilai-nilai dari M=1,2,3,… maka M(t) disebut momen generating function

9  Contoh Diketahui variabel random diskrit X memiliki pdf f(x) Hint : diketahui bahwa deret konvergen ke  MGF dari distribusi ini jika ada, adalah :  Dengan menggunakan uji rasio dapat ditunjukkan bahwa deret tersebut divergen jika t ≥0  Berarti tidak terdapat bilangan positif h sedemkian

10 sehingga M(t) ada untuk –h

11 Probabilitas Bersyarat  Pada suatu percobaan random misalkan kita hanya tertarik menyelidiki hasil-hasil percobaan yang merupakan elemen-elemen dari suatu subset C 1 dimana C 1  C  Ini berarti ruang sampel yang efektif adalah C 1  Se lanjutnya akan didefinisikan suatu fungsi himpunan probabilitas dengan C 1 sebagai ruang sampel baru  Misalkan fungsi himpunan probabilitas P(C) ditentukan terhadap ruang sampel C dan misalkan

12 C 1  C sedemikian sehingga P( C 1 ) >0  Ambil C 2 subset lain dari C  Relatif terhadap ruang sampel baru, akan didefinisikan probabilitas dari kejadian C 2  Probabilitas ini disebut probabilitas bersyarat dari C 2 relatif terhadap kejadian C 1 atau probabilitas bersyarat dari C 2 diberikan C 1, dinotasikan P(C 2 |C 1 )  Karena C 1 merupakan ruang sampel baru, maka elemen-elemen C 2 yang berhubungan dengan ini hanyalah elemen-elemen yang juga elemen-elemen dari C 1, yaitu elemen-elemen dari C 1 ∩ C 2

13  P(C 2 |C 1 ) didefinisikan sehingga P(C 1 |C 1 ) = 1 dan P(C 2 |C 1 )= P(C 1 ∩ C 2 |C 1 )  Dalam hal ini :  Berarti :  Ini merupakan definisi dari probabilitas bersyarat kejadian C 2 diberikan C 1 dengan syarat P(C 1 )>0  Dapat ditunjukkan bahwa P(C 2 |C 1 ) adalah fungsi himpunan probabilitas : 1. P(C 2 |C 1 ) ≥ P(C 1 |C 1 ) = 1

14  P(C 2 |C 1 ) merupakan fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan untuk subset- subset dari C 1, dan disebut sebagai fungsi himpunan probabilitas bersyarat relatif terhadap kejadian C 1 atau fungsi himpunan probabilitas bersyarat diberikan C 1  Contoh : 5 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu permainan yang terdiri dari 52 kartu. Tentukan probabilitas bersyarat bahwa semua kartu yang diambil ialah sekop, relatif terhadap hipotesis bahwa paling sedikit ada 4 kartu sekop

15 Contoh 2:  Sebuah mangkok berisi 8 kepingan ; 3 keping warna merah dan 5 keping berwarna biru. 2 keping diambil secara acak tanpa pengembalian. Tentukan probabilitas bahwa pengambilan pertama berwarna merah dan pengambilan kedua berwarna biru

16 Contoh 3 :  Dari setumpuk kartu permainan, kartu-kartu diambil secara acak tanpa pengembalian.  Misalkan :  C 1 : kejadian 2 sekop dalam 5 pengambilan pertama  C 2 : kejadian sebuah sekop pada pengambilan ke-6  Tentukan probabilitas bahwa sekop ketiga muncul pada pengambilan ke-6

17 Contoh 4 :  4 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu  Tentukan probabilitas untuk mendapatkan satu sekop, satu hati, satu berlian dan satu keriting

18 Teorema Bayes  Misalkan kejadian – kejadian merupakan partisi dari C dan kejadian – kejadian mutually exclusive dan exhaustive sedemikian sehingga P( C i )>0, i=1,2,3,…,k  Kejadian tidak perlu equally likely  Misalkan C suatu kejadian di C sedemikian sehingga dimana saling lepas atau mutually exclusive

19  Berarti berlaku :  Sudah diketahui bahwa :  Dengan demikian maka :  Persamaan diatas disebut “law of total probability”

20  Selanjutnya misalkan P(C)>0. Berdasarkan definisi probabilitas bersyarat dan dengan menggunakan law of total probability diperoleh :  Persamaan diatas disebut Teorema Bayes  Contoh : Misalkan terdapat 2 mangkok C 1 dan C 2 yang berisi bola.  Mangkok C 1 berisi 3 bola merah dan 7 bola biru. Mangkok C 2 berisi 8 bola merah dan 2 bola biru.  Pemilihan mangkok C 1 dan C 2 tergantung dari hasil pelemparan sebuah dadu. Apabila dari hasil pelemparan dadu muncul muka 5

21 atau muka 6, maka mangkok C 1 yang terpilih  Kalau yang muncul muka yang lain, maka mangkok C 2 yang terpilih. Setelah mangkok terpilih, dilakukan pengambilan secara acak sebuah bola dari mangkok tersebut.  Misalkan yang terambil adalah bola merah. Tentukan probabilitas bersyarat mangkok C 2 yang terpilih jika diberikan bahwa bola merah yang terambil.  Jawab : P(C 1 ) = 2/6, P(C 2 ) = 4/6  Misalkan kejadian bola merah terambil dinotasikan C  Ini berarti dan  Probabilitas bersyarat mangkok C 2 yang terpilih jika diberikan bahwa bola merah yang terambil =

22  Probabilitas P(C 1 ) = 2/6 dan P(C 2 ) = 4/6) disebut probabilitas prior  Sedangkan disebut probabilitas posterior

23 BAB 2 : DISTRIBUSI MULTIVARIAT

24 Distribusi dari 2 variabel random  Perhatikan ilustrasi berikut ini ;  Misalkan sebuah koin dilemparkan sebanyak 3 kali  Ruang sampelnya adalah : C = {c :  Selanjutnya misalkan terdapat variabel random X 1 dan variabel random X 2, dimana :  X 1 : jumlah Head pada 2 lemparan pertama  X 2 : jumlah Head pada seluruh lemparan

25

26  Berikut ini akan dibentuk pasangan terurut (x 1,x 2 ) dimana x 1 = X 1 (c) dan x 2 = X 2 (c) untuk c ε C  Jadi pemetaannya adalah : C → A  Jadi untuk kasus diatas : A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}  Berikut akan didefinisikan ruang A  Definisi :  Diberikan sebuah percobaan random dengan ruang sampel C. Ditentukan 2 var random X 1 dan variabel random X 2 dimana pasangan fungsi tersebut memetakan setiap elemen c ε C ke satu dan hanya satu pasangan berurut (X 1 (c)=x 1, X 2 (c) =x 2 )

27  Dengan demikian ruang dari (X 1,X 2 ) adalah himpunan pasangan berurut : A = {(x 1,x 2 ) : x 1 =X 1 (c), x 2 =X 2 (c), c ε C }  Misalkan A adalah ruang dari variabel random X 1 dan variabel random X 2 dan misalkan A  Akan didefinisikan probabilitas dari kejadian A, dinotasikan dengan Pr((X 1,X 2 ) ε A )  Ambil C={c : c ε C dan (X 1,X 2 ) ε A }, maka Pr((X 1,X 2 ) ε A)=P(C) dimana adalah fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan pada C

28  Pr((X 1,X 2 ) ε A) ditulis sebagai atau P(A)  P(A) juga merupakan fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan pada A  Contoh : Dari ilustrasi sebelumnya diperoleh : A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}  Misalkan A={(1,1),(1,2)} A }  Jadi P(A) = Pr((X 1,X 2 ) ε A)=P(C) dimana

29

30  Berikut ini adalah tabel probabilitas untuk setiap elemen di A  Tabel diatas merupakan distribusi probabilitas dari elemen-elemen pada A  Sifat-sifat fungsi himpunan probabilitas pada 1 var random juga berlaku disini  Misalkan f(x,y) didefinisikan pada A dan f(x,y)=0 untuk yang lainnya, maka berlaku : (x 1, x 2 )(0,0)(0,1)(1,1)(1,2)(2,2)(2,3) Pr(x 1, x 2 )1/8 2/8 1/8

31  P( A ) = 1, yaitu :  Contoh : Misalkan


Download ppt " Selanjutnya misalkan Y=u(X) adalah fungsi dari variabel random kontinu X dengan ruang A  Misalkan y=u(x) adalah fungsi kontinu naik, sehingga inversnya."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google