Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

* Simplex Method- An algebraic, iterative method to solve linear programming problems. * The simplex method requires that the problem is expressed as.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "* Simplex Method- An algebraic, iterative method to solve linear programming problems. * The simplex method requires that the problem is expressed as."— Transcript presentasi:

1

2 * Simplex Method- An algebraic, iterative method to solve linear programming problems. * The simplex method requires that the problem is expressed as a standard LP problem. This implies that all the constraints are expressed as equations by adding slack variables. (Variable yang mewakili tingkat pengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan)  S1, S2, S3,……S m * The method uses Gaussian elimination (sweep out method) to solve the linear simultaneous equations generated in the process.

3 Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisibel menuju ke titik ekstrem yang optimum

4 * Berikut ini diberikan pengertian dari beberapa terminologi dasar yang banyak digunakan dalam membicarakan metode simpleks : Maks atau Min : Z = c1x1 + c2x cnxn Berdasarkan : a11x1+a12x2+...+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+...+a2nxn = b2. am1x1+am2x2+...+amnxn = bm xi ≥ 0 ( i = 1,2,...,n )

5 * Maka pembatas dari model tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk system persamaan AX = b * Perhatikan suatu system AX = b dari m persamaan linier dalam n variable (n>m).

6 * Solusi Basis Solusi basis untuk AX = b adalah solusi dimana terdapat sebanyak-banyaknya m variabel berharga bukan nol. Untuk mendapatkan solusi basis dari AX = b maka sebanyak (n-m) variabel harus dinolkan. Variabel-variabel yang dinolkan ini disebut variabel nonbasis (NBV). Selanjutnya, dapatkan harga dari n-(n-m) = m variabel lainnya yang memenuhi AX = b, yang disebut variabel basis (BV). * Solusi Basis Fisibel Jika seluruh variabel pada suatu solusi basis berharga nonnegatif, maka solusi itu disebut solusi basis fisibel (BFS) * Solusi Fisibel Titik Ekstrem Yang dimaksud dengan solusi fisibel titik ekstrem atau titik sudut ialah solusi fisibel yang tidak terletak pada segmen garis yang menghubungkan dua solusi fisibel lainnya.

7 Sifat 1 : jika hanya ada satu solusi optimum, maka pasti ada satu titik ekstrem, atau jika solusi optimumnya banyak, maka paling sedikit ada dua titik ekstrem yang berdekatan. Sifat 2 : hanya ada sejumlah terbatas titik ekstrem pada setiap persoalan. Sifat 3 : jika suatu titik ekstrem memberikan harga z yang lebih baik dari yang lainnya, maka pasti solusi itu merupakan solusi optimum Sifat 3 ini menjadi dasar dari metode simpleks.

8 1. Langkah inisialisasi : mulai dari suatu titik ekstrem (0,0) 2. Langkah iteratif : bergerak menuju titik ekstrem berdekatan yang lebih baik. Langkah ini diulangi sebanyak diperlukan. 3. Aturan penghentian : memberhentikan langkah ke-2 apabila telah sampai pada titik ekstrem yang terbaik (titik optimum).

9 Sebagai ringkasan dari ide metode simpleks ini ialah bahwa metode ini selalu dimulai pada suatu titik sudut fisibel, dan selalu bergerak melalui titik sudut fisibel yang berdekatan, menguji masing-masing titik mengenai optimalitasnya sebelum bergerak pada titik lainnya.

10 Untuk menyelesaikan persoalan LP dengan tujuan maksimasi menggunakan metode simpleks dilakukan dengan langkah-langkah berikut ini : 1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar. 2. Cari solusi basis fisibel. 3. Jika seluruh NBV mempunyai koefisien nonnegatif (artinya berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan, maka BFS sudah optimal. Jika pada baris fungsi tujuan masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilihlah salah satu variabel yang mempunyai koefisien paling negatif pada baris itu. Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis (entering variabel/EV).

11 4. Hitung rasio dari ruas kanan/koefisien EV pada setiap baris pembatas dimana EV-nya mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis (leaving variabel/LV) Lakukan operasi baris elementer untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil ini menjadi berharga 1 dan berharga 0 pada baris-baris lainnya. 5. Kembali ke langkah 3. Catatan : jika ditemukan lebih dari satu baris yang mempunyai rasio positif terkecil, pilihlah salah satu. Cara ini tidak akan mempngaruhi hasil perhitungan akhir.

12 * Untuk menyelesaikan persoalan LP dengan fungsi tujuan meminimumkan Z, ada dua cara yang dapat dilakukan, yaitu : 1. Mengubah fungsi tujuan dan persamaannya, kemudian menyelesaikannya sebagai persoalan maksimasi. 2. Memodifikasi langkah 3 sehingga menjadi : * Jika seluruh NBV pada baris fungsi tujuan mempunyai koefisien yang berharga nonpositif, maka BFS sudah optimal. Jika pada baris fungsi tujuan masih ada variabel dengan koefisien positif, pilihlah salah satu variabel yang berharga paling positif pada baris fungsi tujuan itu untuk menjadi EV.

13 * Degenerasi Kasus ini terjadi apabila satu atau lebih variabel basis berharga nol (b=0) sehingga iterasi yang dilakukan selanjutnya bisa menjadi suatu loop yang akan kembali pada bentuk sebelumnya. Kejadian ini disebut cycling atau circling. * Solusi Optimum Banyak Suatu persoalan dapat memiliki lebih dari satu solusi optimum. Kasus ini terjadi apabila fungsi tujuan paralel dengan fungsi pembatas, dimana paling sedikit salah satu dari variabel nonbasis (pada persamaan z pada iterasi terakhir) mempunyai koefisien berharga nol. Akibatnya walaupun variabel tersebut dinaikkan harganya (dijadikan variabel basis), harga Z tetap tidak berubah. Karena itu solusi-solusi optimumyang lain ini biasanya dapat diidentifikasi dengan cara menunjukkan iterasi- iterasi tambahan pada metode simpleksnya, dimana variabel-variabel nonbasis yang berkoefisien nol itu selalu dipilih untuk menjadi entering variabel.

14 * Solusi Tak Terbatas Kasus ini terjadi apabila ruang solusi tidak terbatas sehingga nilai fungsi tujuan dapat meningkat (untuk maksimasi) atau menurun (untuk minimasi) secara tidak terbatas. Apabila persoalannya berdimensi dua dapat diselesaikan secara grafis. Akan tetapi, jika persoalan yang dihadapi berdimensi tiga atau lebih, maka untuk mendeteksi apakah solusinya terbatas atau tidak, dilakukan dengan cara : Perhatikan koefisien-koefisien pembatas dari variabel nonbasis pada suatu iterasi. Jika koefisien-koefisien tersebut berharga negatif atau nol berarti solusinya tak terbatas. Jika koefisien fungsi tujuan variabel tersebut berharga negatif (untuk maksimasi) atau positif (untuk minimasi), maka nilai fungsi tujuannya tidak terbatas.

15 Slack Variables Inequality constrains can be converted to equalities by introducing “slack variables” Misal: X 1 +2X 2 +3X 3 +4X 4  25, bisa ditulis sebagai X 1 +2X 2 +3X 3 +4X 4 +S = 25 dengan s  0 (slack variable) Atau: X 1 +2X 2 +3X 3 +4X 4  25, bisa ditulis sebagai X 1 +2X 2 +3X 3 +4X 4 - S = 25 dengan s  0 (slack variable)

16 Objective function Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + C 4 X C n X n Constraints 1). a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X a 1n X n ≤ b 1 2). a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X a 1n X n ≤ b 2 3). a 31 X 1 + a 32 X 2 + a 33 X a 3n X n ≤ b 3 4). a 41 X 1 + a 42 X 2 + a 43 X a 4n X n ≤ b m). a m1 X 1 + a m2 X 2 + a m3 X a mn X n ≤ b m Xi ≥ 0, i = 1,2,3…..n b j 0, j=1,2,…,m X  variables; c  objective parameters; a  constraints parameters; b  right hand side value of constraints Langkah penyelesaian (1) 1. Represent the LP problem in standard form

17 Langkah penyelesaian (2) dengan z adalah nilai dari fungsi tujuan 2. Nyatakan persamaan fungsi tujuan dalam bentuk 3. Rubah semua pertidaksamaan batasan (all inequality constrains) ke dalam bentuk persamaan batasan (equality constrains) dengan memasukkan variable Slack 4. Susun persamaan fungsi tujuan dan persamaan batasan ke dalam tabel simplex.

18 Lankah 1. Maximize Z=4X 1 +5X 2 (0) Batasan: X 1 +2X 2  40 (1) 4X 1 +3X 2  120(2) CONTOH : Perusahaan barang tembikar Langkah 2 dan 3 Fungsi tujuan Z - 4X 1 - 5X 2 = 0 (0) X 1 +2X 2 + S 1 = 40 (1) 4X 1 +3X 2 + S 2 = 120 (2) Langkah penyelesaian (3) Batasan

19 Langkah penyelesaian (4) Langkah 4 : Menyusun table Simplex awal (Iterasi0) Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0) S1S1 (1) S2S2 (2) Basic Variable (Variable dasar) : adalah variable yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan. Pada persamaan (1) dan (2) bila belum ada kegiatan maka X 1 = 0 dan X 2 = 0, sehingga nilai S 1 = 40 dan nilai S 2 = 120. Pada tabel awal diatas nilai Basic variable (S 1 dan S 2 ) pada fungsi tujuan harus 0 (nol).

20 Langkah penyelesaian (5) Langkah 5 : Setelah data tersusun dalam tabel simplex awal, lakukan iterasi sehingga dihasilkan titik optimal 5.1. Menentukan entering variable : Dicari variabel yang paling sensitif terhadap fungsi tujuan (max Z). –Dari tabel (baris Z) terlihat bahwa nilai absolut koefisien X 2 terbesar yaitu l5l, jadi dipilih X 2 sebagai entering variable. Kolom X 2 disebut pivot column (PC). Bila pada tabel sudah tidak mempunyai lagi koeffisien yang bernilai negatif pada baris fungsi tujuan, maka tabel ini tidak bisa lagi di optimalkan (sudah optimal). –Selanjutnya hitung nilai ratio, Nilai kolom RHS dibagi dengan nilai pada pivot column yang berkesesuaian Menentukan Leaving variable:  ditentukan berdasarkan nilai ratio minimum, dipilih S 1 sebagai leaving variable. Baris S 1 disebut Pivot Raw (PR)

21 Iterat ion Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (sol) Ratio ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 0 Z (0) S1S1 (1) S2S2 (2) Langkah penyelesaian Pivot column Ratio : 40/2 = 20 minimum Pivot element Pivot Raw

22 Langkah penyelesaian 5.3. Membuat table simplex kedua Bagi semua element pada Pivot Raw (PR) dengan Pivot Element. Dihasilkan element pivot raw baru. Gantilah basic variable pada baris itu dengan Variable yang terdapat diatas pivot column Iterat ion Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 1 Z (0) X2X2 (1)00, S2S2 (2)

23 Langkah penyelesaian Hitung nilai element pada baris yang lain (tidak termasuk element Pivot Raw) dengan cara : Z X2X2 0-2,5-5-2, Z 1-1,502,50100 Element baris baru = (Element baris lama) – (koeffisien pada pivot column) x (nilai element baru pivot raw) Menghitung nilai baru element baris dari Z Element baris lama  -5 x element baru pivot raw  Element baris baru  Koeffisien pada PC

24 S2S X2X2 01, S2S2 02,50-1,5160 Menghitung nilai baru element baris dari S 2 Element baris lama  3 x element baru pivot raw  Element baris baru  Koeffisien pada PC Langkah penyelesaian Dihasilkan tabel simplex 2

25 Itera tion Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 1 Z (0)1-1,502,50100 X2X2 (1)00, S2S2 (2)02,50-1,5160 Langkah penyelesaian Tabel Simplex 2 (iterasi 1) Pada baris fungsi tujuan masih ada koefisien berharga negatif, yaitu koefisien variable X 1.  Teruskan proses iterasi, dimulai dari langkah ke 5

26 Iterat ion Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (sol) Ratio ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 1 Z (0)1-1,502,50100 X2X2 (1)00, S2S2 (2)02,50-1, Langkah penyelesaian Pivot column Ratio : 60/2,5 = 24 minimum Pivot element Pivot Raw Langkah 5.1 dan 5.2

27 Langkah 5.3. Membuat table simplex ketiga Bagi semua element pada Pivot Raw (PR) dengan Pivot Element. Dihasilkan element pivot raw baru. Gantilah basic variable pada baris itu dengan Variable yang terdapat diatas pivot column Iterat ion Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 1 Z (0) X2X2 (1) X1X1 (2)010-0,60,424

28 Langkah penyelesaian Hitung nilai element pada baris yang lain (tidak termasuk element Pivot Raw) dengan cara : Z 1-1,502,50100 X1X1 0-1,500,9-0,6-36 Z 1001,60,6136 Element baris baru = (Element baris lama) – (koeffisien pada pivot column) x (nilai element baru pivot raw) Menghitung nilai baru element baris dari Z Element baris lama  -1,5 x element baru pivot raw  Element baris baru  Koeffisien pada PC

29 Langkah penyelesaian X2X2 00, X1X1 00,50-0,30,212 X2X2 0010,8-0,28 Menghitung nilai baru element baris dari X 2 Element baris lama  0,5 x element baru pivot raw  Element baris baru  Koeffisien pada PC Dihasilkan tabel simplex 3

30 Itera tion Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 2 Z (0)1001,60,6136 X2X2 (1)0010,8-0,28 X1X1 (2)010-0,60,424 Langkah penyelesaian Tabel Simplex 3 Pada baris fungsi tujuan tidak ada lagi koefisien berharga negatif, Dihasilkan titik optimal pada X 1 = 24 dan X 2 = 8 dengan nilai keuntungan Z = 136.

31 Itera tion Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (Sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 0 Z (0) S1S1 (1) S2S2 (2) Z (0)1-1,502,50100 X2X2 (1)00, S2S2 (2)02,50-1, Z (0)1001,60,6136 X2X2 (1)0010,8-0,28 X1X1 (2)010-0,60,424 Langkah penyelesaian SIMPLEX METHOD

32 1.Bila ada dua atau lebih variabel non basis mempunyai koefisien negatif terbesar yang sama, maka pemilihan entering variable dapat dijalankan secara bebas. Mana yang lebih cepat mencapai optimal tidak dapat diprediksi. Contoh : Fungsi tujuan pada contoh pabrik tembikar dirubah menjadi Maximize Z=4X 1 +4X 2 (0) Batasan: X 1 +2X 2  40 (1) 4X 1 +3X 2  120(2) Selanjutnya disusun tabel simplex awal

33 Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0) S1S1 (1) S2S2 (2) SIMPLEX METHOD Tabel simplex awal Dari tabel simplex awal, tampak variable non basis X 1 dan X 2 mempunyai nilai koefisien negatif yang sama yaitu -4. Oleh karena itu pada penyelesaian awal entering variable dapat dipilih X 1 atau X 2.

34 SIMPLEX METHOD 2.Bila ada dua atau lebih variabel basis mempunyai nilai RATIO minimum yang sama, maka pemilihan leaving variable dapat dijalankan secara bebas. Mana yang lebih cepat mencapai optimal tidak dapat diprediksi. Contoh : batasan (1) pada contoh pabrik tembikar dirubah menjadi Maximize Z=4X 1 +5X 2 (0) Batasan: X 1 +2X 2  40 (1) 4X 1 +4X 2  80 (2) Selanjutnya disusun tabel simplex awal

35 SIMPLEX METHOD Iterat ion Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (sol) Ratio ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 0 Z (0) S1S1 (1) S2S2 (2) Tabel simplex awal Pivot column Ratio minimum Dari tabel simplex awal, tampak variable basis S 1 dan S 2 mempunyai nilai ratio minimum yang sama yaitu 20. Oleh karena itu pada penyelesaian awal leaving variable dapat dipilih S 1 atau S 2.

36 SIMPLEX METHOD Penyelesaian simplex method bagi kasus yang menyimpang dari bentuk standard Diselesaikan dengan mengintroduksi slack variable sebagai variable basis yang harganya sama dengan ruas kanan (positif) Maximize : Subject to : a ij X j ≤ b i (b i > 0 ) X j ≥0 Bila ada penyimpangan dari bentuk standard  dilakukan penyesuaian-penyesuaian di langkah awal. Setelah itu metode simplex diselesaikan seperti sebelumnya.

37 SIMPLEX METHOD Pendekatan standard :  Teknik menggunakan Variable buatan (artificial Variable) Memasukkan dummy variable (disebut artificial variable) ke dalam setiap batasan (constaints) yang memerlukan. Variable yang baru akan menjadi variable basis pada pada penyelesaian awal bagi batasan (constaints) yang bersangkutan Iterasi metode simplex akan membuat artificial variable menjadi nol, sehingga akhirnya satu persatu hilang.

38 SIMPLEX METHOD 1. Persamaan batasan (constraints) jenis = (sama dengan) Contoh : Kasus awal Maximize. : Z = 3 X X 2 (0) Constraints : X 1 ≤ 4(1) 2 X 2 ≤ 12(2) 3 X X 2 ≤ 18(3) Misalkan ≤ pada batasan (3) dirubah menjadi jenis = (sama dengan) 3 X X 2 = 18(3)

39 SIMPLEX METHOD Pada batasan Persamaan (3) tidak terdapat variable basis.  Ditambahkan artificial variable A (  0), hasil revisi : dihasilkan Fungsi tujuan Z -3 X X 2 = 0(0) Constraints : X 1 +S 1 = 4(1) 2 X 2 + S 2 = 12(2) 3 X X 2 = 18(3) Z -3 X X 2 = 0(0) X 1 +S 1 = 4(1) 2 X 2 + S 2 = 12(2) 3 X X 2 + A = 18(3)

40 SIMPLEX METHOD Langkah selanjutnya memaksa nilai artificial variable A menjadi nol. Dapat dilakukan dengan metode Teknik M / metode penalty. Pada pendekatan ini fungsi tujuan dirubah dulu menjadi : Pada hasil revisi ada 3 persamaan dengan 5 variable.  Ada dua variable non basis X 1 dan X 2 yang pada penyelesaian layak awal harganya = 0. Dari persamaan (1), (2) dan (3) didapatkan nilai variable basis S 1 = 4, S 2 = 12 dan A = 18 Z = 3 X X 2 – MA Dengan M adalah bilangan positif yang sangat besar berhingga. Persamaan (0) dari fungsi tujuan akan menjadi Z - 3 X1 - 5 X2 + MA = 0

41 SIMPLEX METHOD Pada persamaan (0) yang direvisi terdapat variable basis dengan koefisien M. Variable basis harus dihilangkan dari persamaan (0).  Baris Z yang dihasilkan (revisi) dikurangi dengan M kali setiap baris batasan yang sesuai M0 -3M-3-2M M Baris Z pers (0) revisi M Baris Z pers (0) baru Disusun tabel simplex awal.  iterasi untuk mendapatkan nilai optimal. Dihasilkan X 1 = 2, X 2 = 6 dan Z = 36

42 Itera tion Basic varia ble Eqt. Coefficient of RHS ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 A (Sol) 0 Z(0)1(-3M-3)(-2M-5)000-18M S1S1 (1) S2S2 (2) A(3) SIMPLEX METHOD Tabel simplex awal Pivot column Pivot raw X 1 : entering variable S 1 : leaving variable

43 SIMPLEX METHOD Pemilihan entering variable : Koefisien variable non basis pada persamaan tujuan mempunyai bentuk fungsi linear (aM + b) a  faktor pengganda b  faktor penambah Karena M sangat besar, maka b selalu kecil dibandingkan terhadap aM. Pada umumnya pemilihan entering variable didasarkan pada nilai faktor pengganda a. Contoh Pada tabel awal :koefisien X 1 adalah (-3M-3), untuk X 2 adalah (-2M-5). Faktor pengganda 3 > 2, sehingga dipilih X 1 sebagai entering variable. Bila pada koefisien tersebut nilai faktor pengganda sama, maka pemilihan entering variable didasarkan pada faktor penambah b

44 Iteratio n Basic varia ble Eqt. Coefficient of RHS (Sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 A 1 Z(0)10(-2M-5)(3M+3)00-6M+12 X1X1 (1) S2S2 (2) A(3) Z(0)100-9/20(M+5/2)27 X1X1 (1) S2S2 (2) X2X2 (3)001-3/201/23 SIMPLEX METHOD 3 Z(0)10003/2(M+1)36 X1X1 (1) /31/3 2 S1S1 (2)00011/3 -1/3 2 X2X2 (3)00101/206

45 SIMPLEX METHOD 2. Pertidaksamaan jenis  Dirubah menjadi  dengan cara mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan (-1). Contoh : 0,6 X 1 + 0,4 X 2  6 menjadi -0,6 X 1 - 0,4 X 2  -6 Ruas kiri ditambah slack variable -0,6 X 1 - 0,4 X 2 + S = -6 Nilai slack variable S = -6  negatif, tidak memenuhi syarat. Harus dikalikan (-1), dihasilkan : 0,6 X 1 + 0,4 X 2 - S = 6 Ruas kanan persamaan terakhir sudah positif, namun koefisien slack variable tetap negatif  selesaikan seperti kasus tipe = (sama dengan).  Ditambah artificial variable A.

46 SIMPLEX METHOD 0,6 X 1 + 0,4 X 2 – S + A = 6 Artificial variable A dipakai sebagai variable basis awal (A=6). Dengan demikian S memulai sebagai variable non basis. Dengan mengintroduksi Artificial variable A, berarti metode teknik M juga diperlakukan disini. 3. Meminimumkan  dirubah menjadi memaksimumkan yang equivalent Minimize Equivalent dengan Maximize Menyelesaikan optimal yang sama

47 SIMPLEX METHOD Minimize : Z = 0,4 X 1 + 0,5 X 2 (0) Subject to : 0,3 X 1 + 0,1 X 2  2,7(1) 0,5 X 1 + 0,5 X 2 = 6(2) 0,6 X 1 + 0,4 X 2  6(3) X 1  0, X 2  0 Contoh : Minimize : Z = 0,4 X 1 + 0,5 X  Maximize : (-Z) = -0,4 X 1 - 0,5 X 2 Penyelesaian : Masukkan artificial variable A 1 dan A 2 pada pers (2) dan (3), dan terapkan metode Teknik M, maka Minimize : Z = 0,4 X 1 + 0,5 X 2 + MA 1 + MA 2  Maximize : (-Z) = -0,4 X 1 - 0,5 X 2 - MA 1 - MA 2

48 SIMPLEX METHOD -Z + 0,4 X 1 + 0,5 X 2 + MA 1 + MA 2 = 0(0) 0,3 X 1 + 0,1 X 2 + S 1 = 2,7 (1) 0,5 X 1 + 0,5 X 2 + A 1 = 6(2) 0,6 X 1 + 0,4 X 2 - S 2 + A 2 = 6 (3) S 1, A 1 dan A 2 adalah variable basis untuk penyelesaian dasar awal. Sistem persamaan Maximize (-Z) 0,40,50M0M0 Baris Z, pers (0) revisi 0, Baris Z, pers (0) baru -1,1M+0,4-0,9M+0,500M0-12M -M 0,60, M

49 SIMPLEX METHOD Itera tion Basic varia ble Equa tion Coefficient ofRHS (Sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 A1A1 S2S2 A2A2 0 Z(0) -1,1M+0,4-0,9M+0,5 00M0-12M S1S1 (1)00,30,110002,7 A1A1 (2)00, A2A2 (3)00,60,40016 Tabel simplex awal Pivot column Pivot Raw Entering variable : X 1 Leaving variable : S 1

50 Ite rat ion Basic varia ble Equa tion Coefficient ofRHS (Sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 A1A1 S2S2 A2A2 1 Z(0) 0-16/30M+11/3011/3M+4/3 0M0-2,1M-3,6 X1X1 (1)011/ A1A1 (2)001/301001,5 A2A2 (3)000,20010,6 SIMPLEX METHOD

51 Contoh : Masalah Diet. Tabel berikut memberikan gambaran jumlah mineral dan vitamin yang harus dikonsumsi oleh pasien. Mineral dan vitamin berasal dari dua jenis makanan daging dan sayuran. KandunganMakananKebutuhan minimum per hari Dagingsayuran Mineral2440 Vitamin3250 Harga/unit32,5 Persoalan : Menentukan jumlah pembelian daging dan sayuran sedemikian sehingga kebutuhan min akan mineral dan vitamin terpenuhi.

52 Formulasi model LP : Misal X 1 jumlah daging dan X 2 jumlah sayuran Fungsi tujuan : Minimize Z=3X 1 +2,5X 2 (0) Batasan: 2X 1 +4X 2  40 (1) 3X 1 +2X 2  50(2) X 1  0, X 2  0 Sekarang pikirkan masalah yang berbeda yang masih berhubungan dengan masalah yang asli (disebut primal). Sebuah Dealer menjual Mineral dan Vitamin Restoran setempat membeli mineral dan vitamin dari dealer dan membuat daging dan sayuran tiruan yang mengandung mineral dan vitamin seperti yang tertulis pada tabel

53 Persoalan bagi dealer : Menetapkan harga jual mineral dan vitamin per unitnya yang maximum sedemikian sehingga menghasilkan harga daging dan sayuran tiruan tidak melebihi harga pasar yang ada. Dealer memutuskan harga per unit Mineral Y 1 dan Vitamin Y 2 Kebutuhan mineral 40  harga total 40 Y 1 Kebutuhan vitamin 50  harga total 50 Y 2 Harga per unit daging ( mengandung 2 mineral dan 3 vitamin) adalah 2 Y 1 +3 Y 2  3 Harga per unit sayuran ( mengandung 4 mineral dan 2 vitamin) adalah 4 Y 1 +2 Y 2  2,5

54 Fungsi tujuan : Maximize W =40 Y Y 2 (0) Batasan 2 Y Y 2  3 (1) 4 Y Y 2  2,5(2) Y 1  0, Y 2  0 Perumusan masalah dalam bentuk model LP Disebut bentuk Dual. Y 1 dan Y 2 dinamakan variable dual

55 Teori Dualitas …….. Dualitas ? Dalam kenyataan ternyata disetiap bentuk LP terdapat 2 bentuk 1.Bentuk I atau bentuk asli dan dinamakan PRIMAL 2.Bentuk II yang berhubungan dan dinamkan DUAL demikian sehingga suatu solusi terhadap LP yang asli juga memberikan solusi pada bentuk dual nya. Asumsi dalam teori dualitas adalah bahwa masalah primal dalam bentuk standard. Maximize : Constraints :

56 Fungsi tujuan : Maximize W =40 Y Y 2 (0) Batasan 2Y Y 2  3 (1) 4 Y Y 2  2,5(2) Y 1  0, Y 2  0 Perbandingan masalah Primal dan Dual Fungsi tujuan : Minimize Z=3X 1 +2,5X 2 (0) Batasan: 2X 1 +4X 2  40 (1) 3X 1 +2X 2  50(2) X 1  0, X 2  0 PRIMAL DUAL

57 1.Koefisien fungsi tujuan masalah primal menjadi konstanta sisi kanan masalah Dual 2.Konstanta sisi kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan masalah Dual 3.Tanda pertidaksamaan dibalik 4.Tujuan diubah dari minimze (maximize) dalam primal menjadi maximize (minimze) dalam dual 5.Setiap kolom pada primal berhubungan dengan suatu baris (kendala) dalam dual.  banyaknya kendala dalam dualsama dengan banyaknya variable primal 6.Setiap baris kendala pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual.  ada satu variable dual untuk setiap kendala primal

58 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. Tabel Primal dual untuk LP MaximizeZ = C 1 X1 + C 2 X 2 + C 3 X C n X n Constraints 1). a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X a 1n X n ≤ b 1 2). a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X a 1n X n ≤ b m). a m1 X 1 + a m2 X 2 + a m3 X a mn X n ≤ b m X j ≥ 0, j = 1,2,3…..n MinimizeW = b 1 Y 1 + b 2 Y 2 + b 3 Y b m Y m Constraints 1). a 11 Y 1 + a 21 Y 2 + a 31 Y a m1 Y m  C 1 2). a 12 Y 1 + a 22 Y 2 + a 32 Y a m2 Y m  C n). a 1n Y 1 + a 2n Y 2 + a 3n Y a mn Y m  C n Y j ≥ 0, i = 1,2,3…..m Primal n Var, m Constr DUAL m var, n constr

59 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. PRIMAL DUAL Max. : Constraints Min. : Constraints Min : W = Y b Constraint Y a  C Y 0 Max : Z = C X Constraint a X  b X 0

60 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. contoh Max. : Constraints Min. : Constraints PRIMAL DUAL

61 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. Max. : Constraints Min. : Constraints Masalah Primal dual simetris : Semua variable dibatasi non negatif dan semua batasan berupa pertidaksamaan

62 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. contoh Max. : Constraints Min. : Constraints PRIMAL DUAL

63 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. MASALAH PRIMAL RUAS KANAN Koefisien dari X1X1 X2X2..XnXn Y1Y1 a 11 a 12 a 13.a 1n ≤b1b1 Y2Y2 a 21 a 22 a 23.a 2n ≤b2b2 Y3Y3 a 31 a 32 a 33.a 3n ≤b3b YmYm a m1 a m2 a m3.a mn ≤bmbm ≥≥≥.≥ C1C1 C2C2 C3C3.CnCn Koefisien fungsi tujuan (max.) TABEL PRIMAL DUAL Koeffisien fungsi tujuan (Min.) MASALAH DUAL Koefisien dari RUAS KANAN

64 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. X1X1 X2X2 Y1Y1 24  40 Y2Y2 32  50 ≤≤ 32,5 Contoh TABEL PRIMAL DUAL Fungsi tujuan : Minimize Z=3X 1 +2,5X 2 (0) Batasan: 2X 1 +4X 2  40 (1) 3X 1 +2X 2  50(2) X 1  0, X 2  0

65 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. Soal : Kerjakan dan kumpulkan Sebuah perusahaan memproduksi jaket dan tas kulit. Sebuah jaket memerlukan 8 meter persegi kulit, sementara sebuah tas hanya menggunakan 3 meter persegi. Untuk menyelesaikan sebuah jaket dan tas diperlukan waktu masing-masing 12 dan 4 jam. Harga pembelian kulit adalah $ 8 per meter persegi dan biaya tenaga kerja diperkirakan $ 15 per jam. Persediaan kulit dan jam tenaga kerja mingguan dibatasi 1200 meter persegi dan 1800 jam. Perusahaan menjual jaket dan tas masing- masing dengan harga $ 350 dan $120. Tujuan perusahaan menentukan produksi mingguan jaket dan tas untuk memaksimumkan pendapatan bersih. 1. Buat formulasi model dari kasus diatas 2. Berapa pendapatan bersih mingguan 3. Buat formulasi model dari bentuk dual kasus tersebut 4. dan buatlah tabel masalah Primal-Dual nya.

66 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. Hubungan Primal Dual untuk semua masalah LP, bentuk Primal masalah Maximize PRIMALDUAL MaximizeMinimize i th constraint ≥ typeDual var. Y i ≤0 i th constraint ≤ typeDual var. Y i ≥0 i th constraint = typeY i unrestricted X j ≥ 0j th constraint ≥ type X j ≤ 0j th constraint ≤type X j unrestrictedj th constraint = type

67 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. Hubungan Primal Dual untuk semua masalah LP, bentuk Primal masalah Minimize PRIMALDUAL MinimizeMaximize i th constraint  typeDual var. Y i  0 i th constraint ≤ typeDual var. Y i ≤ 0 i th constraint = typeY i unrestricted X j ≥ 0j th constraint ≤ type X j ≤ 0j th constraint ≥ type X j unrestrictedj th constraint = type

68 Teori Dualitas …….. Teori Dualitas …….. Primal Problem: Max z = 7x x 2 - x 3 subject to 5x 1 + 4x 2 ≤ 24 2x 1 +5x 2 + 3x 3 = 13 x 1 - 2x 2 + x 3 ≥5 x 2 + 2x 3 ≤ 10 x 1 ≥ 0, x 2 ≤ 0, x 3 unrestricted Dual Problem : Min W = 24Y Y 2 + 5Y Y 4 5Y 1 + 2Y 2 + Y 3 7 4Y 1 + 5Y 2 – 2Y 3 + Y 4  10 subject to 3Y 2 – Y 3 + 2Y 4 = - 1 Y 1 ≥ 0, Y 2 unrestricted, Y 3 ≤ 0,Y 4 ≥ 0

69 Properties of Primal & Dual Problems 1.Dual dari dual adalah primal 2.Tabel simplex optimal yang berkaitan dengan satu masalah (primal atau dual) secara langsung memberikan informasi lengkap tentang pemecahan optimal untuk masalah lainnya. 3.Setiap pasangan pemecahan primal dan dual yang layak Nilai tujuan dalam masalah max, < Nilai tujuan dalam masalah min, 4.Dalam pemecahan optimal untuk kedua masalah Nilai tujuan dalam masalah max, Z = Nilai tujuan dalam masalah min, W

70 Properties of Primal & Dual …….. Contoh : Fungsi tujuan : Minimize Z= 5X 1 +2 X 2 (0) Batasan: X 1 - X 2  3 (1) 2X 1 +3X 2  5(2) X 1  0, X 2  0 PRIMAL Pemecahan PRIMAL layak : X 1 =3 dan X 2 = 0 Nilai tujuan PRIMAL Minimize Z =5 x x 0 = 15

71 Fungsi tujuan : Maximize W =3Y 1 +5Y 2 (0) Batasan: Y 1 +2Y 2 ≤5 (1) -Y 1 +3Y 2 ≤2 (2) Y 1  0, Y 2  0 Properties of Primal & Dual …….. DUAL Pemecahan DUAL layak : Y 1 =3 dan Y 2 = 1 Nilai tujuan DUAL maximize W =3 x x 1 = (NILAI MAX) ≤ 15 (NILAI MIN)

72 Properties of Primal & Dual …….. Pemecahan Dual optimal Dari tabel simplex akhir primal optimal dapat dihasilkan solusi dual optimal. Nilai koefisien dari slack atau artificial variable pada baris fungsi tujuan dari tabel simplex akhir primal optimal merupakan nilai dual optimal yang berkesesuaian. Contoh : masalah Primal Maximize Z = 2X 1 +X 2 (0) Batasan X 1 +5X 2 ≤ 10 (1) X 1 +3X 2 ≤ 6 (2) 2X 1 +2X 2 ≤ 8(3) X 1  0, X 2  0

73 Properties of Primal & Dual …….. Masalah Dual : Minimize W = 10 Y Y Y 3 (0) Batasan Y 1 + Y Y 3 ≥2(1) 5Y Y Y 3 ≥1(2) Y 1  0, Y 2  0, Y 3  0 Iterat ion Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 0 Z(0) S1S1 (1) S2S2 (2) S3S3 (3) Tabel simplex awal primal

74 Iterat ion Basic Varia ble Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 … Z(0) S3S3 (1) /26 S2S2 (2) /22 X1X1 (3)011001/24 Tabel Simplex akhir Masalah Primal optimal Nilai Optimal X 1 = 4 dan X 2 = 0. dengan fungsi tujuan Max. Z = 8 Nilai optimal Y adalah koefisien var. S Y 1 = Y 2 = 0, Y 3 = 1 dengan W = 8

75 Properties of Primal & Dual …….. Interpretasi ekonomi dalam masalah Dual HARGA DUAL (DUAL PRICE) Max. : Constraints Min. : Constraints PRIMALDUAL

76 Properties of Primal & Dual …….. C j  mewakili laba marginal dari kegiatan j yang tingkat kegiatannya x j unit.  mewakili laba dari semua kegiatan  mewakili penggunaan sumber daya Untuk pemecahan Optimal : Z = W Mewakili nilai uang pengembalian Jumlah (unit) sumber i Nilai uang per unit sumber i

77 Properties of Primal & Dual …….. Variable dual Y i mewakili nilai per unit sumber i.  Disebut harga dual atau harga bayangan (shadow price)

78 Significance of Dual Problem 1. Mathematically very important 2. Computationally One model (with fewer constraints) is easier to solve 3. Economic interpretation of the dual variable (shadow price) Shadow price of constraint i gives the rate of change in the objective function per unit change in the RHS value of the constraint.

79 Why sensitivity analysis is important? Many coefficients are estimated Want to know the sensitivity of the optimal solution with respect to these coefficients. Sensitivity Analysis There are three kinds of such analysis: 1.Objective function ranging (coefficient ranging) (tujuan/cost, harga jual) 2.RHS value ranging (produk) 3.Constraint coefficient ranging (batasan) Sensitivity Analysis Sensitivity analysis is to answer the following question: How does the optimal solution change as a coefficient is varied from its given value?

80 Range Objective Function Coefficients Case 1: Non-basic variable What happens if the coefficient of a non-basic objective function, c j, is changed by an amount of δ? What range of values for δ is the current solution remains optimal? Consider the following LP problem: max z = 20x x 2 subject to 5x 1 + 4x 2 ≤ 24 2x 1 + 5x 2 ≤ 13 x 1, x 2 ≥ 0

81 Initial Simplex tableau: Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) Ratio ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0) S1S1 (1) /5 S2S2 (2) /2

82 Final Simplex tableau: Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0) X1X1 (1)014/51/5024/5 S2S2 (2)0017/5-2/5117/5

83 Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) Ratio ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0) δ000 S1S1 (1) /5 S2S2 (2) /2 If c 2 = 10 + δ, what would happen to the coefficients in the objective function row? Row(0) are updated from the initial tableau to :

84 Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0)106-δ4096 X1X1 (1)014/51/5024/5 S2S2 (2)0017/5-2/5117/5 It follows that the final Simplex tableau is given by Hence, the existing basic will remain optimal as long as 6 - δ ≥0  δ≤6. In other words, the solution will remain optimal as long as c 2 ≤ 16. If c 2 >16, then Row(0) coefficient for x 2 becomes negative and x 2 would enter the solution and s 2 would become nonbasic.

85 Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) Ratio ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0)1-20- δ S1S1 (1) /5 S2S2 (2) /2 Case 2: Basic variable What happens if the coefficient of a basic objective function, cj, is changed by an amount of δ? If c 1 = 20+δ, what would happen to the coefficients in the objective function row? Row(0) are updated from the initial tableau to :

86 Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0)1- δ64096 X1X1 (1)014/51/5024/5 S2S2 (2)0017/5-2/5117/5 The second Simplex tableau now becomes Note that the coefficient in column x 1 and Row(0) should be eliminated. This reduces to the following Simplex tableau:

87 Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0)106+(4/5) δ4+ δ/5096+(24/5) δ X1X1 (1)014/51/5024/5 S2S2 (2)0017/5-2/5117/5 The final Simplex tableau now becomes Hence, in order for the current solution to remain optimal, we need 6+(4/5)δ ≥ 0 4+ δ/5 ≥ 0 It follows that δ ≥ -7.5 δ ≥ -20 This gives δ ≥ -7.5 or c 1 ≥ 12.5.

88 Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) Ratio ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0) S1S1 (1) δ (24+ δ )/5 S2S2 (2) /2 What happens if b i, is changed by an amount of δ? If b 1 = 24+δ, Row(0) are updated from the initial tableau to :

89 Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0) δ X1X1 (1)014/51/5024/5 + δ/5 S2S2 (2)0017/5-2/5117/5 –(2/5) δ then the final Simplex tableau now becomes : That is, the RHS column is replaced by the sum of the RHS column and δ times the s1 column. Now, in order for the current solution remains optimal, it must be feasible. That is This gives -24 ≤ δ ≤ 8.5 or 0 ≤ b1 ≤ /5 + δ/5 ≥ 0 17/5 – (2/5)δ ≥ 0

90 Basic Variab le Eqt. Coefficient of : RHS (sol) ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 Z (0) X1X1 (1)014/51/5024/5 S2S2 (2)0017/5-2/5117/5 + δ Similarly, if b 2 = 13 + δ, then the final Simplex tableau now becomes : It follows that δ ≥ -17/5 or b 2 ≥ 9.6


Download ppt "* Simplex Method- An algebraic, iterative method to solve linear programming problems. * The simplex method requires that the problem is expressed as."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google