Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI INCLUSION-EXCLUSION PRINCIPLE.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI INCLUSION-EXCLUSION PRINCIPLE."— Transcript presentasi:

1 PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI INCLUSION-EXCLUSION PRINCIPLE

2 Prinsip Inklusi-Eksklusi Ada berapa anggota dalam gabungan dua himpunan hingga? |A 1  A 2 | = |A 1 | + |A 2 | - |A 1  A 2 |

3 Contoh 1 Ada berapa bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 100 yang habis dibagi 6 atau 9? Solusi. MisalkanA: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 B:himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 9. Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 atau 9 adalah

4 Contoh 2 Misalkan ada 1467 mahasiswa angkatan 2011 di ITB. 97 orang di antaranya adalah mahasiswa Prodi Informatika, 68 mahasiswa Prodi Matematika, dan 12 orang mahasiswa double degree Informatika dan Matematika. Ada berapa orang yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika? Solusi. MisalkanA: himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika B:himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Matematika Maka |A|=97, |B|=68, dan |A  B|=12. Banyaknya mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika atau Matematika adalah |A  B| = |A| + |B| - |A  B|= – 12 = 153 Jadi, terdapat 1467 – 153 = 1314 mahasiswa angkatan 2004 yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika.

5 Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusi untuk tiga himpunan Angka 1 merah menunjukkan daerah yang terlibat ketika |A| dihitung, angka 1 hijau menunjukkan daerah yang terlibat ketika |B| dihitung,dan angka 1 biru menunjukkan daerah yang terlibat ketika |C| dihitung. Terlihat bahwa daerah yang beririsan dihitung berulang-ulang. |A  B| dikurangkan (dua 1 merah diambil), |A  C| dikurangkan (dua 1 biru diambil), dan |B  C| dikurangkan (dua 1 hijau diambil) Terlihat bahwa penghitungan hampir benar, kecuali pada daerah di mana ketiga himpunan sama-sama beririsan. Maka perlu ditambahkan kembali |A  B  C|.

6 Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusi untuk tiga himpunan (2) Jadi, |A  B  C| = |A| + |B| + |C| - |A  B| - |A  C| - |B  C| + |A  B  C|

7 Contoh 3 Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, 71 Kalkulus Peubah Banyak, dan 56 Geometri. Di antaranya, 25 mahasiswa mengambil Matematika Diskrit dan Kalkulus Peubah Banyak, 14 Matematika Diskrit dan Geometri, serta 9 orang mengambil Kalkulus Peubah Banyak dan Geometri. Jika terdapat 196 mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari ketiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang mengambil ketiga mata kuliah sekaligus?

8 Contoh 3 (2) Solusi. Misalkan MD: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, KPB: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak, dan G: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Geometri. Maka |MD| = 115, |KPB| = 71, |G| = 56, |MD  KPB| = 25, |MD  G| = 14, |KPB  G| = 9, dan |MD  KPB  G| = 196 Dengan mempergunakan prinsip inklusi-eksklusi: |MD  KPB  G| = |MD| + |KPB| + |G| - |MD  KPB| - |MD  G| - |KPB  G| + |MD  KPB  G| 196 = |MD  KPB  G| Jadi, |MD  KPB  G| = 2

9 Soal 1 Carilah banyaknya anggota dari |A  B  C| jika terdapat 100 anggota dalam setiap himpunan dan jika a.ketiga himpunan tersebut tidak ada yang saling beririsan b.terdapat 50 anggota yang sama dalam setiap pasang himpunan dan tidak ada anggota yang sama dalam ketiga himpunan sekaligus c.terdapat 50 anggota yang sama dalam setiap pasang himpunan dan 25 anggota yang sama dalam ketiga himpunan sekaligus d.irisan setiap pasang himpunan dan irisan ketiga himpunan berukuran sama

10 Prinsip Inklusi-Eksklusi Teorema 1. Misalkan A 1, A 2, …, A n himpunan hingga. Maka

11 Contoh 4 Carilah banyaknya anggota dari |A  B  C  D| jika setiap himpunan berukuran 50, setiap irisan dari dua himpunan berukuran 30, setiap irisan dari tiga himpunan berukuran 10, dan irisan dari keempat himpunan berukuran 2. Solusi. |A  B  C  D|=|A| + |B| + |C| + |D| - |A  B|-|A  C|-|A  D|-|B  C| - |B  D|- |C  D| + |A  B  C|+ |A  B  D|+|A  C  D| + |B  C  D| - |A  B  C  D| =4. 50 – – 2 = 58

12 Soal Soal 2. Ada berapa banyak permutasi dari ke-26 huruf dalam alfabet yang memuat paling sedikit satu dari kata FIGHT, BALKS, MOWER. Soal 3. Ada berapa banyak permutasi dari ke-26 huruf dalam alfabet yang memuat paling sedikit satu dari kata CAR, CARE, SCARE, SCARED.

13 APLIKASI DARI PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI

14 Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif Banyaknya fungsi pada dari suatu himpunan hingga ke himpunan hingga lainnya. Masalah derangement: penitipan topi (“the hatcheck problem”)

15 Bentuk Alternatif Inklusi-Eksklusi Misalkan S: himpunan dengan jumlah anggota N. A i : subhimpunan yang memuat anggota dengan sifat P i. banyaknya anggota dengan semua sifat dan banyaknya anggota yang tidak memiliki sifat maka Dengan prinsip inklusi-eksklusi,

16 Contoh 1 Ada berapa solusi yang dimiliki oleh x 1 + x 2 + x 3 = 11 dengan x 1, x 2, x 3 bilangan bulat tak negatif dan x 1  3, x 2  4, dan x 3  6. Solusi. Misalkan P 1 : sifat x 1 > 3, P 2 : sifat x 2 > 4, dan P 3 : sifatx 3 > 6. Maka banyaknya solusi adalah:

17 Contoh 1 (2) N: jumlah solusi total = C(3+11-1,11) = 78 N(P 1 ): jumlah solusi dengan x 1  4 = C(3+7-1,7) = 36 N(P 2 ): jumlah solusi dengan x 2  5 = C(3+6-1,6) = 28 N(P 3 ): jumlah solusi dengan x 3  6 = C(3+5-1,5) = 15 N(P 1 P 2 ): jumlah solusi dengan x 1  4 dan x 2  5 = C(3+2-1,2) = 6 N(P 1 P 3 ): jumlah solusi dengan x 1  4 dan x 3  7 = C(3+0-1,0) = 1 N(P 2 P 3 ): jumlah solusi dengan x 2  5 dan x 3  7 = 0 N(P 1 P 2 P 3 ): jumlah solusi dengan x 1  4, x 2  5 dan x 3  7 = 0 Jadi, N(P 1 ’P 2 ’P 3 ’) = =6

18 The Sieve of Erotosthenes Mencari banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi suatu bilangan bulat positif tertentu. Suatu bilangan komposit hanya dapat dibagi oleh bilangan prima yang tidak melebihi akar bilangan tersebut. Contoh 2. Tentukan banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi 100. Solusi. Faktor prima dari bilangan yang kurang dari 100 tidak akan melebihi 10. Jadi, bilangan yang kurang dari 100 habis dibagi 2, 3, 5, atau 7.

19 The Sieve of Erotosthenes (2) Misalkan P 1 : sifat bilangan habis dibagi 2, P 2 : sifat bilangan habis dibagi 3, P 3 : sifat bilangan habis dibagi 5, dan P 4 : sifat bilangan habis dibagi 7. Maka banyaknya bilangan prima yang lebih besar 1 dan tidak melebihi 100 adalah: 4 + N(P 1 ’ P 2 ’ P 3 ’ P 4 ’) Jadi, menurut inklusi-eksklusi:

20 The Sieve of Erotosthenes (3)

21 Banyaknya fungsi pada Ada berapa banyak fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota? Solusi. Misalkan anggota-anggota dari kodomain adalah b 1, b 2, dan b 3. Misalkan P 1, P 2, dan P 3 adalah sifat bahwa b 1, b 2, dan b 3 tidak berada dalam range fungsi. Karena fungsi akan pada jhj fungsi tersebut tidak memiliki semua sifat P 1, P 2, atau P 3, maka banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah

22 Banyaknya fungsi pada (2) N: banyaknya fungsi dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota = 3 6. N(P i ): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b i dalam range = 2 6. N(P i P j ): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b i dan b j dalam range = 1 6 = 1. N(P 1 P 2 P 3 ): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b 1, b 2, dan b 3 dalam range = 0. Jadi, banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah C(3,1) C(3,2) 1 – 0 = 540

23 Banyaknya fungsi pada & aplikasinya Teorema 1 Misalkan m dan n bilangan bulat positif dengan m  n. Maka, terdapat n m - C(n,1) (n-1) m + C(n,2) (n-2) m – … + (-1) n-1 C(n,2) 1 m fungsi pada dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota. Soal 1. Terdapat berapa cara untuk mendelegasikan lima pekerjaan yang berbeda pada empat karyawan yang berbeda jika setiap karyawan ditugasi minimal satu pekerjaan? Soal 2. Ada berapa cara untuk mendistribusikan enam mainan yang berbeda pada tiga anak jika setiap anak mendapatkan minimal satu mainan?

24 Derangements Derangement adalah permutasi objek sehingga tidak ada objek yang menempati tempat aslinya. Contoh 3. Permutasi adalah derangement dari Permutasi bukanlah derangement dari D n menyatakan banyaknya derangement dari n obyek. Contoh 4. D 3 = 2

25 Banyaknya derangement dari n objek Suatu permutasi dikatakan memiliki sifat P i jika permutasi tersebut mengakibatkan anggota i tetap pada tempatnya. Jelas derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah permutasi yang tidak memiliki sifat P i, i=1,2,…,n. Jadi, oN: banyaknya permutasi dengan n anggota = n! oN(P i ): banyaknya permutasi yang menetapkan satu anggota = (n-1)! oN(P i P j ): banyaknya permutasi yang menetapkan dua anggota = (n-2)! oN(P i1 P j2 …P jm ): banyaknya permutasi yang menetapkan m anggota = (n-m)!

26 Banyaknya derangement dari n objek (2) Karena terdapat C(n,m) cara untuk memilih m dari n anggota, maka o  N(P i ) = C(n,1) (n-1)! o  N(P i P j ) = C(n,2) (n-2)! oDan secara umum,  N(P i1 P j2 …P jm ) = C(n,m) (n-m)! Sehingga, Teorema 2. Banyaknya derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah

27 The Hatcheck Problem Seorang pegawai baru di tempat penitipan topi suatu rumah makan menerima titipan topi dari n pengunjung, tetapi ia lupa untuk menomori topi- topi tersebut. Ketika para pengunjung hendak mengambil kembali topi mereka, pegawai ini memilih secara acak dari topi yang tersisa. Berapakah peluangnya bahwa tidak ada seorang pun yang menerima topinya kembali.

28 The Hatcheck Problem (2) Solusi. Peluang bahwa tidak ada seorang pun yang menerima topinya kembali adalah Jika n membesar tanpa batas.


Download ppt "PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI INCLUSION-EXCLUSION PRINCIPLE."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google