Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

TATAP MUKA 2 APRIL 2012 BY NURUL SAILA. 1. Determinan 2. Sifat-sifat Determinan 3. Menentukan determinan dg Kofaktor 4. Menentukan determinan dg reduksi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "TATAP MUKA 2 APRIL 2012 BY NURUL SAILA. 1. Determinan 2. Sifat-sifat Determinan 3. Menentukan determinan dg Kofaktor 4. Menentukan determinan dg reduksi."— Transcript presentasi:

1 TATAP MUKA 2 APRIL 2012 BY NURUL SAILA

2 1. Determinan 2. Sifat-sifat Determinan 3. Menentukan determinan dg Kofaktor 4. Menentukan determinan dg reduksi baris

3 Beberapa komponen yg menyusun determinan:  Permutasi  Inversi  Permutasi genap dan ganjil  Hasil kali elementer  Hasil kali elementer bertanda

4 Definisi: Sebuah permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3, …, n} adalah sebuah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan- bilangan tersebut. Contoh: Permutasi dari bilangan-bilangan {1, 2, 3} adalah: 123, 132, 231, 213, 312, 321. Umumnya himpunan {1, 2, 3, …, n} akan mempunyai n (n-1)(n-2)…1 = n!

5 Definisi: Sebuah inversi(invesion) dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j 1, j 2, j 3,…, j n ) bilamana sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil. Contoh: 1). (6, 1, 3, 4, 5, 2) 2). (2, 4, 1, 3) 3). (1, 2, 3, 4) Pada: 1) ada 8 inversi 2) ada 3 inversi 3) ada 0 inversi

6 Definisi: Sebuah permutasi dikatakan genap(even) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil(odd) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil. Contoh: 1). (6, 1, 3, 4, 5, 2) 2). (2, 4, 1, 3) 3). (1, 2, 3, 4) Pada: 1) permutasi genap 2) permutasi ganjil 3) permutasi genap

7 Definisi: A adalah matrik nxn. Hasil perkalian elementer dari A adalah setiap hasil perkalian n entry dari A, yang tidak boleh dua diantaranya yang berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama. Contoh: Hasil perkalian elementer dari adalah a 11 a 22, a 12 a 21

8  Hasil-hasil perkalian elementer tersebut adalah hasil-hasil perkalian yang berbentuk: dimana (j 1, j 2, j 3,…, j n ) adalah sebuah permutasi dari himpunan {1, 2, 3, …, n}.  Sebuah matrik A yang berukuran n x n mempunyai n! hasil perkalian elementer. Contoh: Tentukan hasil-hasil perkalian elementer dari:

9 Definisi: Sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari A adalah sebuah hasil perkalian elementer dikalikan dengan +1 atau -1. Kita menggunakan tanda + jika (j 1, j 2, j 3,…, j n ) adalah sebuah permutasi genap dan tanda – jika (j 1, j 2, j 3,…, j n ) adalah sebuah permutasi ganjil. Hasil-hasil perkalian elementer bertanda dari: adalah +a 11 a 22, - a 12 a 21

10 Tentukan hasil perkalian elementer bertanda dari :

11 Definisi: Misalkan A adalah sebuah matrik kuadrat. Fungsi determinan (determinant function) dinyatakan oleh det, dan kita mendefinisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil perkalian elementer bertanda dari A. Contoh: Tentukan determinan dari matrik-matrik berikut: = a 11 a 22 - a 12 a 21

12  Tentukan determinan dari matrik berikut menggunakan definisi:

13 1. Jika elemen suatu baris/kolom suatu matrik bujursangkar bernilai 0 maka determinan matrik tersebut Jika A adalah matrik bujursangkar maka determinan A sama dg determinan transpose A. 3. Jika elemen suatu baris/kolom dari determinan |A| dikalikan dg suatu skalar k, determinan dikalikan k; jika setiap elemen suatu baris/kolom suatu determinan |A| mempunyai k sebagai faktor maka k boleh difaktorkan dari |A|

14 4. Jika B diperoleh dari A dg cara penukaran dua baris/kolom berdampingan, maka |B| = -|A|. 5. Jika B diperoleh dari A dg cara penukaran sebarang dua baris/kolomnya maka |B|=- |A|. 6. Jika B diperoleh dari A dg cara membawa baris/kolom ke-i sepanjang p baris/kolom, maka |B| = (-1) p |A|

15 7. Jika dua baris/kolom A identik maka |A|=0 8. Jika setiap elemen baris/kolom ke-i dari A adalah jumlah dari p suku maka |A| dpt disekspresikan sbg jumlah p determinan. Elemen-elemen pd baris/kolom ke-i dari p determinan ini masing-masing berupa suku pertama, kedua, …, ke-p dari jumlah itu dan semua baris/kolom lainnya adalah dari A.

16 9. Jika B diperoleh dari A dg cara menambahkan suatu kelipatan skalar elemen baris/kolom pada elemen padanannya pd baris/kolom ke-i, maka |B| = |A|.

17

18 Definisi; Misal A matrik bujursangkar dg determinan |A|. Jika elemen pd baris ke-i dan kolom ke-j dari A dihapus, determinan matrik bujursangkar sisanya [peringkat(n-1)] disebut minor dari A atau minor dari a ij dan dinyatakan dg |M ij |. Minor bertanda (-1) i+j |M ij | disebut kofaktor a ij dan dinyatakan oleh  ij.

19  Nilai determinan |A| adalah jumlah hasilkali yg diperoleh dari perkalian tiap elemen suatu baris/kolom |A| dg kofaktornya.  Jumlah dari hasilkali yg dibentuk dg perkalian elemen-elemen suatu baris/kolom suatu matrik bujursangkar A dg kofaktor padanannya dari baris/kolom A lainnya adalah 0.

20  Contoh: Tentukan: a. Minor a 11, a 12, a 13. b. Kofaktor a 11, a 12, a 13. c. |A|

21 Contoh: Tentukan determinan dari matrik berikut:

22 Teorema A : Jika A adalah sebuah matriks segitiga yang berukuran nxn maka det(A) adalah hasil perkalian entri-entri pada diagonal utama, yakni, det(A) = a 11 a 22 a 33 … a nn Contoh: Tentukan determinan dari matrik berikut: BY NURUL SAILA

23 Teorema B: Misalkan A adalah sebarang matriks n x n. 1. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila sebuah baris tunggal dari A dikalikan dengan sebuah konstanta k, maka det(A’) = k det(A). >>> OBE 1 2. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris dari A di pertukarkan maka det (A’) = - det A. >>> OBE 2 3. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila sebuah kelipatan dari satu baris dari A ditambahkan kpd baris lain maka det(A’) = det(A). >>> OBE 3 BY NURUL SAILA

24 Contoh: Tentukan nilai determinan matrik berikut: BY NURUL SAILA

25 Pemikiran dasar dari metoda menentukan determinan matriks dengan Reduksi Baris adalah: > menggunakan operasi baris elementer untuk mereduksi suatu matriks menjadi sebuah matriks yg berbentuk eselon baris. > matriks eselon baris adalah matriks segitiga atas sehingga determinannya dpt dihitung menggunakan teorema A dimana nilai determinannya dpt diperoleh menggunakan teorema B. BY NURUL SAILA

26 Contoh: Tentukan determinan matrik berikut dg reduksi baris. BY NURUL SAILA

27 Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut: BY NURUL SAILA


Download ppt "TATAP MUKA 2 APRIL 2012 BY NURUL SAILA. 1. Determinan 2. Sifat-sifat Determinan 3. Menentukan determinan dg Kofaktor 4. Menentukan determinan dg reduksi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google