Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Indrawani.S/Alin/20081 DETERMINAN Fungsi Determinan Fungsi Determinan cukup kita kenal, yang mengasosiakan seluruh bilangan real f(x) dengan sebuah bilangan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Indrawani.S/Alin/20081 DETERMINAN Fungsi Determinan Fungsi Determinan cukup kita kenal, yang mengasosiakan seluruh bilangan real f(x) dengan sebuah bilangan."— Transcript presentasi:

1

2 Indrawani.S/Alin/20081 DETERMINAN Fungsi Determinan Fungsi Determinan cukup kita kenal, yang mengasosiakan seluruh bilangan real f(x) dengan sebuah bilangan real dari variabel x. Karena x dan f(x) kedua-duanya hanya mempunyai nilai real, maka fungsi-fungsi itu dapat digambarkan sebuah fungsi bernilai real dari sebuah matriks X. Fungsi tersebut dinamakan determinan. Fungsi-fungsi f(x)=sin x dan f(x)=x 2 sudah cukup kita kenal, yang mengasosiakan seluruh bilangan real f(x) dengan sebuah bilangan real dari variabel x. Karena x dan f(x) kedua-duanya hanya mempunyai nilai real, maka fungsi-fungsi itu dapat digambarkan sebuah fungsi bernilai real dari sebuah matriks X. Fungsi tersebut dinamakan determinan. Sebelum mendefinisikan fungsi determinan, kita perlu menetapkan beberapa hasil yang menyangkut permutasi.

3 Indrawani.S/Alin/ Permutasi Definisi : Sebuah permutasi himpunan bilangan bulat {1,2,3,….,n} adalah sebuah susunan {1,2,3,….,n} adalah sebuah susunan bilangan-bilangan bulat menurut suatu atur- bilangan-bilangan bulat menurut suatu atur- an tanpa menghilangkan atau mengulangi an tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut. bilangan-bilangan tersebut. Contoh : Ada 6(enam) permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat {1,2,3}. Permutasi-permutasi ini adalah : bilangan-bilangan bulat {1,2,3}. Permutasi-permutasi ini adalah : (1,2,3)(2,1,3) (3,1,2) (1,2,3)(2,1,3) (3,1,2) (1,3,2)(2,3,1) (3,2,1) (1,3,2)(2,3,1) (3,2,1)

4 Indrawani.S/Alin/20083 Satu metoda yang mudah yang secara sistematis mendaftarkan permutasi-permutasi adalah dengan menggunakan sebuah pohon permutasi. Metoda ini akan dilukiskan di dalam contoh berikut. Contoh 1: Daftarkan semua permutasi dari himpunan bilangan bulat {1,2,3} ! 1● 2● 3● 1● 2● 3● 2● ●3 1● ●3 1● ●2 2● ●3 1● ●3 1● ●2 3● ●2 3● ●1 2● ●1 3● ●2 3● ●1 2● ●1 Ada 6 permutasi dari bil-bil bulat {1,2,3}

5 Indrawani.S/Alin/20084 Contoh 2 : Buatlah daftar semua permutasi dari himpunan bil real {1,2,3,4) ! (1,2,3,4) (2,1,3,4) (3,1,2,4) (4,1,2,3) (1,2,4,3) (2,1,4,3) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (1,3,2,4) (2,3,1,4) (3,2,1,4) (4,2,1,3) (1,3,4,2) (2,3,4,1) (3,2,4,1) (4,2,3,1) (1,4,2,3) (2,4,1,3) (3,4,1,2) (4,3,1,2) (1,4,3,2) (2,4,3,1) (3,4,2,1) (4,3,2,1) Ada 24 permutasi bil-bil bulat {1,2,3,4}

6 Indrawani.S/Alin/ Inversi Definisi : Definisi : Jika dalam suatu permutasi angka yang besar mendahului angka yang lebih kecil maka dikatakan pada permutasi tersebut terdapat inversi. Definisi : Definisi : Banyaknya inversi yang terdapat dalam sebuah permutasi adalah jumlah inversi dari permutasi tersebut. Jumlah inversi seluruhnya yang terjadi di dalam sebuah permutasi dapat diperoleh sebagai berikut : ● Carilah banyaknya bil bulat yg lebih kecil dari ● Carilah banyaknya bil bulat yg lebih kecil dari pada j 1 di dalam permutasi tersebut. pada j 1 di dalam permutasi tersebut.

7 Indrawani.S/Alin/20086 ● Carilah banyaknya bilangan bulat yg lebih kecil dari pada j 2 dan yg mengikuti j 2 di dalam permu- dari pada j 2 dan yg mengikuti j 2 di dalam permu- tasi tersebut. tasi tersebut. ● Teruskan proses perhitungan ini untuk j 3, ….., j n-1. Jumlah bilangan-bilangan ini akan sama dengan Jumlah bilangan-bilangan ini akan sama dengan jumlah inversi seluruhnya di dalam permutasi jumlah inversi seluruhnya di dalam permutasi tersebut. tersebut. Contoh : Tentukan banyaknya inversi di dalam permutasi- permutasi berikut : (i). (6,1,3,4,5,2) (iii). (1,2,3,4) (ii). (2,4,1,3) (ii). (2,4,1,3)

8 Indrawani.S/Alin/20087 Penyelesaian : (i). (6,1,3,4,5,2) banyak inversinya = =8 (ii). (2,4,1,3) banyak inversinya = 1+2+0=3 (iii). (1,2,3,4) banyak inversinya = 0 (tidak ada). 3. Permutasi genap dan permutasi ganjil Definisi : Sebuah permutasi dinamakan genap jika Definisi : Sebuah permutasi dinamakan genap jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yg genap dan dinamakan bilangan bulat yg genap dan dinamakan ganjil jika jumlah inversi seluruhnya adalah ganjil jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yg ganjil. sebuah bilangan bulat yg ganjil.

9 Indrawani.S/Alin/20088 Contoh : Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari {1,2,3} sebagai permutasi genap atau ganjil. Permutasi Banyaknya inversi Klasifikasi (1,2,3)0Genap (1,3,2)1Ganjil (2,1,3)1Ganjil (2,3,1)2Genap (3,1,2)2Genap (3,2,1)3Ganjil

10 Indrawani.S/Alin/ Menghitung Determinan 4.1. Aturan Sarrus 4.1. Aturan Sarrus Daftarkan semua hasil perkalian elementer dari matriks- matriks : (i). Karena setiap hasil perkalian elementer mempunyai dua faktor dan karena setiap faktor berasal dari baris dua faktor dan karena setiap faktor berasal dari baris yg berbeda, maka sebuah hasil kali elementer dapat yg berbeda, maka sebuah hasil kali elementer dapat dituliskan di dalam bentuk : dituliskan di dalam bentuk : a 1. a 2.

11 Indrawani.S/Alin/ dimana titik kosong menandakan nomor kolom. Karena tidak ada dua faktor di dalam hasil perkalian tersebut berasal dari kolom yg sama maka nomor kolom haruslah 1 2 atau 2 1. Maka hasil perkalian elementer hanyalah a 11 a 22 dan a 12 a 21. (ii). Karena setiap hasil perkalian elementer mempunyai 3 faktor, maka sebuah hasil perkalian elementer 3 faktor, maka sebuah hasil perkalian elementer dapat dituliskan di dalam bentuk : a 1.a 2.a 3.

12 Indrawani.S/Alin/ Karena tidak ada dua faktor di dalam hasil perkalian tersebut berasal dari kolom yg sama, maka nomor kolom tidak mempunyai pengulangan, sehingga nomor-nomor kolom harus membentuk sebuah per- mutasi dari himpunan {1,2,3}. Daftar hasil perkalian elementer sebanyak : 3! = 6 sebagai berikut : a 11 a 22 a 33 a 12 a 21 a 33 a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 a 31 Daftarkan semua hasil perkalian elementer yg bertanda dari matriks-matriks :

13 Indrawani.S/Alin/ (i).(ii). Hasil perkalian elementer Permutasi yg diasosiakan Genap atau ganjil Hasil perkalian elementer yg bertanda a 11 a 22 (1,2)Genap a 12 a 21 (2,1)Ganjil - a 12 a 21

14 Indrawani.S/Alin/ Hasil perkalian elementer Permutasi yg diasosiakan Genap atau ganjil Hasil perkalian elementer yg bertanda a 11 a 22 a 33 (1,2,3)Genap a 11 a 23 a 32 (1,3,2)Ganjil - a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 (2,1,3)Ganjil - a 12 a 21 a 33 a 12 a 23 a 31 (2,3,1)Genap a 13 a 21 a 32 (3,1,2)Genap a 13 a 22 a 31 (3,2,1)Ganjil - a 13 a 22 a 31

15 Indrawani.S/Alin/ Jadi :

16 Indrawani.S/Alin/ Determinan Determinan Determinan : suatu fungsi khusus yg mengasosiasikan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujur sangkar. Determinan dinotasikan : Det atau / /. Contoh :

17 Indrawani.S/Alin/ Determinan Matriks Determinan Matriks 1. Perkalian elementer a. b.

18 Indrawani.S/Alin/ Aturan Sarrus Aturan Sarrus digunakan untuk mencari determinan matriks orde 3 atau lebih. Contoh:

19 Indrawani.S/Alin/200818

20 Indrawani.S/Alin/ Ekspansi Kofaktor (Metode Laplace). a. Minor dan Kofaktor Misalkan : A =[a ij ] matriks bertipe nxn. Minor matriks [aij] ditulis dengan M ij dan didefinisikan sebagai determinan bagian yg tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari matriks A,

21 Indrawani.S/Alin/ (-1) i+j M ij disebut kofaktor untuk a ij dan dinyatakan dengan C ij. Untuk lebih jelasnya dapat kita lihat pada determinan dari matriks 3x3 : dengan mengatur kembali suku-suku dan memfaktor- kan sehingga dapat ditulis sebagai berikut : Det(A)=a 11 (a 22 a 33 -a 23 a 32 )-a 12 (a 21 a 33 -a 23 a 31 )+a 13 (a 21 a 32 -a 22 a 31 ) -a 22 a 31 )

22 Indrawani.S/Alin/ maka : Det(A) = a 11 M 11 – a 12 M 12 + a 13 M 13 Kofaktor (C ij ) = (-1) i+j.M ij Contoh : Diketahui : Pertanyaan : a. Tentukan Minor dan Kofaktornya ! b. Hitung det(A) !

23 Indrawani.S/Alin/ Penyelesaian : a. Minor matriks Kofaktor : C 11 = (-1) 1+1 M 11 = 16 Kofaktor : C 12 =(-1) 1+2 M 12 = -10

24 Indrawani.S/Alin/ Kofaktor : C 13 =(-1) 1+3 M 13 = 3 Kofaktor : C 21 = (-1) 2+1 M 21 = 8 Kofaktor : C 31 =(-1) 3+1 M 31 =-14 Kofaktor : C 22 = (-1) 2+2 M 22 = 20 Kofaktor : C 32 =(-1) 3+2 M 32 =-10 Kofaktor : C 23 = (-1) 2+3 M 23 = -8 Kofaktor :C 33 =(-1) 3+3 M 33 =13

25 Indrawani.S/Alin/ b. Det(A) = (3).M 11 – (1).M 12 + (-4).M 13 = (3)(16) – (1)(10) – (4)(3) = 26 Diketahui : Pertanyaan : Hitung det(C) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris keempat ! Penyelesaian : Det(C) = c 41,C 41 + c 42.C c 43.C 43 + c 44.C 44 = (-1) 4+1.c 41.M 41 +(-1) 4+2.c 42.M 42 +(-1) 4+3. c 43.C 43 + (-1) 4+4.c 44.M 44

26 Indrawani.S/Alin/ Diketahui : Pertanyaan : Hitung det(D) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama !

27 Indrawani.S/Alin/ Penyelesaian : Catatan : Umumnya, strategi terbaik untuk menghitung sebuah deter- minan dengan menggunakan ekspansi kofaktor adalah dgn mengekspansikan sepanjang sebuah baris atau kolom yg mempunyai bilangan nol yg terbanyak.

28 Indrawani.S/Alin/ Determinan dengan Reduksi Baris Menentukan determinan sebuah matriks dengan mereduksi matriks tersebut kepada bentuk esolon baris. Metoda ini penting karena dapat menghindari perhitungan yg panjang dalam pemakaian definisi determinan secara langsung, dan juga dapat dihitung dengan mudah tak peduli berapapun besarnya ukuran matriks tersebut. TEOREMA : Jika A adalah sembarang matriks yg ber ukuran n x n dan mengandung sebarisan bilangan nol det(A) = 0.

29 Indrawani.S/Alin/ TEOREMA : Jika A adalah sebuah matriks segitiga yg berukuran n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen- elemen pada diagonal utama, yaitu : Det(A) = a 11.a 12 … ….a nn. Contoh : Diketahui : Pertanyaan : Hitung det(A) ! Penyelesaian : Det(A) = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

30 Indrawani.S/Alin/ Diketahui : Pertanyaan: Hitung det(A) dengan reduksi baris ! Penyelesaian :

31 Indrawani.S/Alin/ SIFAT-SIFAT DETERMINAN SIFAT-SIFAT DETERMINAN 1. Suatu determinan berorde n mempunyai n 2 suku. 2. Dalam setiap determinan berorde lebih dari 1, banyaknya suku yg bertanda + sama dengan banyak banyaknya suku yg bertanda + sama dengan banyak nya suku yg bertanda -. nya suku yg bertanda Jika pada sebuah matriks dilakukan k kali pertukaran baris (kolom) maka jika k ganjil determinan tersebut baris (kolom) maka jika k ganjil determinan tersebut berubah tanda, dan jika k genap determinan tersebut berubah tanda, dan jika k genap determinan tersebut tetap. tetap. 4. Bila dalam suatu determinan, dua kolom atau baris ditukarkan, terjadi determinan baru yg harganya ditukarkan, terjadi determinan baru yg harganya berlawanan dengan determinan semula. berlawanan dengan determinan semula.

32 Indrawani.S/Alin/ Bila suatu determinan mempunyai dua baris atau kolom yang sama, harga determinan sama dengan kolom yang sama, harga determinan sama dengan nol. nol. 6. Bila semua unsur dari suatu kolom atau baris suatu determinan dikalikan dengan k (konstanta), harga determinan dikalikan dengan k (konstanta), harga determinan juga terkalikan dengan k. determinan juga terkalikan dengan k. 7. Harga determinan tidak berubah bila unsur-unsur suatu baris atau kolom setelah dikalikan dengan suatu baris atau kolom setelah dikalikan dengan suatu konstanta ditambahkan kepada unsur-unsur suatu konstanta ditambahkan kepada unsur-unsur suatu baris atau kolom yang lain. suatu baris atau kolom yang lain. 8. Bila A dan B dua matriks bertipe nxn maka : Det(AB) = det(A). det(B). Det(AB) = det(A). det(B).

33 Indrawani.S/Alin/ Teorema : Misalkan A adalah sembarang matriks n x n. Jika : 1. A * adalah matriks yg dihasilkan bila sebuah baris tunggal dari A dikalikan oleh sebuah konstanta k, tunggal dari A dikalikan oleh sebuah konstanta k, maka det(A * ) = k.det(A). maka det(A * ) = k.det(A). 2. A * adalah matriks yg dihasilkan bila dua baris dari A dipertukarkan, maka det(A * ) = - det(A). A dipertukarkan, maka det(A * ) = - det(A). 3. A * adalah matriks yg dihasilkan bila sebuah kelipatan dari satu baris dari A ditambahkan kepada baris lain dari satu baris dari A ditambahkan kepada baris lain maka : det(A * ) = det(A). maka : det(A * ) = det(A).

34 Indrawani.S/Alin/ Contoh :


Download ppt "Indrawani.S/Alin/20081 DETERMINAN Fungsi Determinan Fungsi Determinan cukup kita kenal, yang mengasosiakan seluruh bilangan real f(x) dengan sebuah bilangan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google