Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan). 8.2 Sudut dan Ortogonalitas di dalam Ruang Hasilkali Dalam 8.2.1 Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz Jika u dan v.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan). 8.2 Sudut dan Ortogonalitas di dalam Ruang Hasilkali Dalam 8.2.1 Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz Jika u dan v."— Transcript presentasi:

1 BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan)

2 8.2 Sudut dan Ortogonalitas di dalam Ruang Hasilkali Dalam Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor tak-nol di dalam R 2 atau R 3 dan  adalah sudut diantara keduanya, maka atau Karena |cos  |  1, maka u. v =, sehingga

3 Teorema Ketidaksamaan Cauchy-Scwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam real, maka | |  ||u|| ||v|| 2  2  ||u|| 2 ||v|| 2

4 Teorema Sifat-sifat Panjang Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V, dan jika k adalah skalar sembarang, maka: (a) ||u||  0 (b) ||u|| = 0 jika dan hanya jika u = 0 (c) ||ku|| = |k| ||u|| (d) ||u + v||  ||u|| + ||v|| (Ketidaksamaan segitiga)

5 Teorema Sifat-sifat Jarak Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V, dan jika k adalah skalar sembarang, maka: (a) d(u, v)  0 (b) d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v (c) d(u, v) = d(v, u)  0 (d)d(u, v)  d(u,w) + d(w, v) (Ketidaksamaan segitiga)

6 8.2.2 Sudut di antara dua vektor Misal u dan v adalah vektor-vektor tak-nol di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V. Dari teorema diketahui bahwa 2  ||u|| 2 ||v|| 2 Jika dibagi dengan ||u|| 2 ||v|| 2, didapat atau ekivalen dengan Jadi dan 0    

7 Contoh 8.1 Cosinus dua sudut diantara dua vektor Misal R 4 memiliki hasilkali dalm Euclidean. Tentukan cosinus sudut  diantara vektor-vektor u = (4, 3, 1, –2) dan v = (–2, 1, 2, 3) Penyelesian

8 8.2.3 Ortogonalitas Permasalahan penting di dalam semua ruang hasilkali dalam adalah menentukan apakah dua buah vektor saling ortogonal, yaitu apakah sudut yang diapit kedua vektor tersebut adalah  =  /2 Definisi Dua vektor u dan v di dalam sebuah ruang hasilkali dalam dikatakan ortogonal jika 〈 u, v 〉 = 0.

9 Contoh 8.2 Vektor-vektor Ortogonal pada M 22 Jika M 22 memiliki hasilkali dalam, tentukan apakah matriks-matriks u dan v berikut ortogonal atau tidak ortogonal. Penyelesaian 〈 U, V 〉 = = 0 Karena tr(U T V) = 0, maka matriks U dan V ortogonal

10 Contoh 8.3 Vektor-vektor Ortogonal pada P 2 Misal P 2 memiliki hasilkali dalam Penyelesaian dan misalkan p = x dan q = x 2. Tentukan apakah vektor-vektor p dan q ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam yamg diberikan!

11 Karena 〈 p, q 〉 = 0, maka vektor p = x dan q = x 2 adalah ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam yang diberikan.

12 Teorema Generalisasi Teorema Pythagoras Jika u dan v adlah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasilkali dalam, maka ||u + v|| = ||u|| 2 + ||v|| 2 Contoh 8.4 Teorema Pythagoras pada P 2 Dari contoh 8.3 telah diketahui bahwa p = x dan q = x 2 adalah ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam Tentukan ||p + q|| 2

13 Penyelesaian ||p + q|| 2 = ||p|| 2 + ||q|| 2 (Generalisasi Teorema Pythagoras) Dari contoh 8.3 didapat

14 Latihan 1.Tentukan apakah vektor-vektor berikut ortogonal jika mengacu pada hasilkali dalam Euclidean. a) u = (–1, 3, 2); v = (4, 2, –1) b) u = (–4, 6, –10, 1); v = (2, 1, –2, 9) 2. Jika hasilkali dalam M 22 adalah 〈A, B 〉 = tr(A T B)= tr(B T A)

15 8.3 Basis Otonormal; Proses Gram-Schmidt; Dekomposisi QR Definisi Suatu himpunan vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam disebut sebagai himpunan ortogonal (orthogonal set) jika setiap pasangan vektor yang berbeda di dalam himpunan tersebut adalah ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang vektor-vektornya memiliki norma 1 disebut ortonormal (orthonormal). Contoh 8.5 Himpunan Ortogonal pada R 3 Misal R 3 memiliki hasilkali dalam dan u 1 = (0, 1, 0), u 2 = (0, 1, 0), u 3 = (0, 1, 0). Buktikan bahwa S = {u 1, u 2, u 3 } adalah ortogonal!

16 Contoh 8.5 Himpunan Ortogonal pada R 3 Misal R 3 memiliki hasilkali dalam dan u 1 = (0, 1, 0), u 2 = (0, 1, 0), u 3 = (0, 1, 0). Buktikan bahwa S = {u 1, u 2, u 3 } adalah ortogonal Penyelesaian = (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0 = (0)(1) + (1)(0) + (0)(–1) = 0 = (1)(1) + (0)(0) + (1)(–1) = 0 Karena = = = 0, maka S = {u 1, u 2, u 3 } adalah ortogonal.

17 Contoh 8.6 Membentuk Himpunan Ortonormal Dari contoh 8.5 didapat: Normalisasi u 1, u 2, u 3 didapat v 1, v 2, v 3 yaitu: Karena = = = 0, dan ||v 1 || = ||v 2 || = ||v 3 || = 1, maka himpunan S = {v 1, v 2, v 3 } adalah ortonormal.

18 8.3.1 Koordinat-koordinat Relatif thd Basis Ortonormal Teorema Jika S = {v 1, v 2, …, v n } adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasilkali dalam V, dan u adalah sebuah vektor sembarang pada V, maka u = v 1 + v 2 +… + v n Contoh 8.7 Vektor Koordinat Relatif terhadap Basis Ortonormal Misal v 1 = (0, 1, 0), v 2 = (–4/5, 0, 3/5), v 3 = (3/5, 0, 4/5) dan S = {v 1, v 2, v 3 } adalah sebuah basis ortonormal yang memiliki hasilkali dlm Euclidean. Nyatakan vektor u = (1, 1, 1) sebagai sebuah kombinasi linier dari vektor- vektor di dalam S, dan tentukan (u) S, yaitu vektor koordinat dari u relatif terhadap basis ortonormal S.

19 Penyelesaian = (1)(0) + (1)(1) + (1)(0) = 1 = (1)(–4/5) + (1)(0) + (1)(3/5) = –1/5 = (1)(3/5) + (1)(1) + (1)(4/5) = 7/5 u = v 1 + v 2 + v 3 = (1) v 1 + (–1/5) v 2 + (7/5) v 3 = v 1 –1/5 v 2 + 7/5 v 3 (1, 1, 1) = (0, 1, 0) – 1/5 (–4/5, 0, 3/5) + 7/5 (3/5, 0, 4/5) Vektor koordinat dari u relatif terhadap S adalah (u) S = (,, ) = (1, –1/5, 7/5)

20 Teorema Jika S adalah sebuah basis ortonormal untu sebuah ruang hasilkali dalam berdimensi n, dan jika (u) S = (u 1, u 2, …, u n ) dan (v) S = (v 1, v 2, …, v n ) maka: c) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n

21 Contoh 8.8 Menghitung Norma dengan Menggunakan Basis Ortonormal Jika R 3 memiliki hasilkali dalam Euclidean dan memiliki basis ortonormal S = {v 1, v 2, v 3 }. Tentukan norma vektor u = (1, 1, 1) dengan mengacu pada vektor koordinat (u) S. Penyelesaian Dari contoh 8.7 didapat (u) S = (1, –1/5, 7/5)

22 8.3.2 Koordinat-koordinat Relatif thd Basis Ortogonal Teorema Jika S = {v 1, v 2, …, v n } adalah sebuah basis ortogonal untuk sebuah ruang vektor V, maka normalisasi tiap- tiap vektor di dalam basis ini akan menghasilkan basis ortonormal, Sehingga, jika u adalah sebuah vektor sembarang di dalam V, berdasarkan Teorema akan diperoleh

23 atau Teorema Jika S = {v 1, v 2, …, v n } adalah suatu himpunan ortogonal vektor-vektor tak-nol pada sebuah ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier Proyeksi Ortogonal Di dalam R 2 dan R 3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean, secara geometrik dapat dibuktikan bahwa jika W adalah sebuah garis atau sebuah bidang yang melewati titik asal ruang, maka tiap-tiap vektor u di dalam ruang dapat dinyatakan sebagai jumlah, u = w 1 + w 2

24 u W w1w1 w2w2 O u W w1w1 w2w2 O Teorema Teorema Proyeksi Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V, maka setiap vektor u di dalam V dapat dinyatakan dengan tepat cara sebagai u = w 1 + w 2 di mana w 1 terletak pada W dan w 2 terletak pada W ⊥.

25 u W w 2 = u – proj W u O w 1 = proj W u Vektor w 1 pada teorema disebut sebagai proyeksi Ortogonal u pada W (orthogonal projection of u on W) dan dinotasikan dengan proj W u. Jadi w 1 = proj W u Vektor w 2 disebut sebagai komponen u yang ortogonal terhadap W (component of u orthogonal to W) dan dinotasikan dengan proj W ⊥ u. Jadi w 2 = proj W ⊥ u

26 Dari Teorema diketahui bahwa u = w 1 + w 2 u = proj W u + proj W ⊥ u Karena w 2 = u – w 1, maka diperoleh proj W ⊥ u = u – proj W u Sehingga u dapat dihitung juga dengan rumus u = proj W u + (u – proj W u)

27 Teorema Misal W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V. a)Jika {v 1, v 2, …, v r } adalah sebuah basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebuah vektor sembarang pada V, maka proj W u = v 1 + v 2 +… + v r b) Jika {v 1, v 2, …, v r } adalah sebuah basis ortogonal untuk W, dan u adalah sebuah vektor sembarang pada V, maka

28 Contoh 8.9 Menghitung Proyeksi Misal R 3 memiliki hasilkali dalam Euclidean dan W adalah subruang yang direntang oleh vektor-vektor otonormal v 1 = (0, 1, 0), dan v 2 = (–4/5, 0, 3/5). Proyeksi ortogonal dari vektor u = (1, 1, 1) pada W adalah: proj W u = v 1 + v 2 = (1)(0, 1, 0) + (–1/5)(–4/5, 0, 3/5) = (0, 1, 0) + )(4/25, 0, –3/25) = (4/25, 1, –3/25) Komponen u = (1, 1, 1) yang ortogonal terhadap W adalah: proj W ⊥ u = u – proj W u = (1, 1, 1) – (4/25, 1, –3/25) = (21/25, 0, 28/25).

29 8.3.4 Menentukan Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal Teorema Setiap ruang hasilkali dalam tak-nol berdimensi terhingga memiliki basis ortonormal Proses Gram-Schmidt untuk mengkonversi suatu basis sembarang menjadi sebuah basis ortogonal Misal V adalah suatu ruang hasilkali dalam tak-nol berdimensi terhingga sebarang, dan misalkan {u 1, u 2, …, u n } adalah basis sembarang untuk V. Urutan berikut akan menghasilkan sebuah basis ortogonal {v 1, v 2, …, v n } untuk V.

30 Langkah 1 Misal v 1 = u 1 Langkah 2 Vektor v 2 yang ortogonal terhadap v 1 dihitung dengan menggunakan rumus W1W1 proj W 1 u 2 v1v1 u2u2 v 2 = u 2 – proj W 1 u 2

31 Langkah 3 Untuk mendapatkan vektor v 3 yang ortogonal terhadap v 1 maupun v 2 dihitung dengan menggunakan rumus, W2W2 v 3 = u 3 – proj W 2 u 3 v1v1 v2v2 u3u3 proj W 2 u 3

32 Langkah 4 Untuk mendapatkan vektor v 3 yang ortogonal terhadap v 1, v 2, maupun v 3 dihitung dengan menggunakan rumus,

33 Contoh 8.10 Menggunakan Proses Gram-Schmidt Perhatikan ruang vektor R 3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean. Terapkan proses Gram-Schmidt untuk mengubah vektor- vektor basis u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (0, 1, 1), dan u 3 = (0, 0, 1) menjadi sebuah basis ortogonal {v 1, v 2, v 3 }; kemudian normalisasikan vektor-vektor basis ortogonal untuk memperoleh basis ortonormal{q 1, q 2, q 3 }. Penyelesaian

34 Langkah 1 v 1 = u 1 = (1, 1, 1) Langkah 2 Langkah 3

35 Sehingga v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (–2/3, 1/3, 1/3), dan v 3 = (0, –1/2, 1/2) membentuk sebuah basis ortogonal untuk R 3. Norma vektor-vektor v 1, v 2, dan v 3 adalah sehingga basis ortonormal untuk R 3 adalah

36 8.3.5 Dekomposisi QR Teorema Jika A adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linier, maka A dapat difaktorkan sebagai A = QR, dimana Q adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor-vektor kolom ortonormal, dan R adalah sebuah matriks segitiga atas n x n yang dapar dibalik dan mempunyai bentuk,

37 Contoh 8.11 Dekomposisi QR sebuah Matriks 3 x 3 Tentukan dekomposisi QR dari matriks Penyelesian Vektor-vektor kolom dari A

38 Langkah 1 v 1 = u 1 = (1, 1, 1)

39 Langkah 2

40 Langkah 3

41

42

43 Dekomposisi QR dari matriks A adalah A Q R

44 Latihan 1.Jika R 2 memiliki hasilkali dalam Euclidean, identifikasi himpunan vektor berikut, apakah merupakan himpunan ortogonal, ortonormal, atau bukan keduanya. 2. Tentukan dekomposisi QR dari matriks

45


Download ppt "BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan). 8.2 Sudut dan Ortogonalitas di dalam Ruang Hasilkali Dalam 8.2.1 Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz Jika u dan v."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google