Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

KASUS MINIMISASI Ir. Indrawani Sinoem, MS. KASUS MINIMISASI Dalam kasus minimisasi tanda pertidaksamaan fungsi pembatas adalah ≥. Untuk mengubah tanda.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "KASUS MINIMISASI Ir. Indrawani Sinoem, MS. KASUS MINIMISASI Dalam kasus minimisasi tanda pertidaksamaan fungsi pembatas adalah ≥. Untuk mengubah tanda."— Transcript presentasi:

1 KASUS MINIMISASI Ir. Indrawani Sinoem, MS

2 KASUS MINIMISASI Dalam kasus minimisasi tanda pertidaksamaan fungsi pembatas adalah ≥. Untuk mengubah tanda pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan harus dikurangi dengan surplus variabel (S). Contoh : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : (dalam Rp ) Minimumkan Z = 40 X X 2

3 (2). Fungsi Pembatas : 3 X 1 + X 2 ≥ 27 X 1 + X 2 ≥ 21 X X 2 ≥ 30 X 1, X 2 ≥ 0 Model Simpleks : 1. Fungsi Tujuan : Minimumkan Z – 40X 1 – 20X 2 – 0S 1 – 0S 2 – 0S 3 = 0

4 (2). Fungsi Pembatas : 3X 1 + X 2 – S 1 = 27 X 1 + X 2 - S 2 = 21 X 1 + 2X 2 - S 3 = 30 X 1, X 2, S 1, S 2, S 3 ≥ 0 Pada penyelesaian solusi awal variabel non basis (bukan variabel dasar), yaitu : X 1 = X 2 = 0, maka S 1 = -27, S 2 = -21, dan S 3 = -30. Penyelesaian solusi awal semua variabel dasar, yaitu S 1, S 2, dan S 3 harus non negatif.

5 Untuk mengatasi kendala non negatif ini maka diperlukan tambahan variabel yang disebut dgn variabel buatan (Artificial Variabel = A). Dengan tambahan variabel buatan A maka persamaan fungsi pembatas menjadi : 3X 1 + X 2 – S 1 + A 1 = 27 X 1 + X 2 – S 2 + A 2 = 21 X 1 +2X 2 – S 3 + A 3 = 30 X 1, X 2, S 1, S 2, S 3, A 1, A 2, A 3 ≥ 0

6 Ada 2 (dua) metode penyelesaian persoalan metode simpleks kasus minimisasi, yaitu : (1). Metode M (Metode Penalti) (2). Metode Dua Tahap. (1). Metode M (Metode Penalti) 3X 1 +X 2 – S 1 +A 1 = 27  A 1 = X 1 - X 2 + S 1 X 1 +X 2 –S 2 +A 2 = 21  A 2 = 21 – X 1 - X 2 + S 2 X 1 +2X 2 –S 3 +A 3 = 30  A 3 = 30 – X 1 - 2X 2 + S 3 Substitusikan ke dalam fungsi tujuan

7 Z - 40 X X 2 – MA 1 – MA 2 – MA 3 = 0 Z – 40 X 1 – 20 X 2 – M(27 - 3X 1 - X 2 + S 1 ) – M(21 – X 1 - X 2 + S 2 ) – M(30 – X 1 - 2X 2 + S 3 ) = 0 Z – 40X X 2 – 27M+3MX 1 +MX 2 – MS 1 – 21M+MX 1 +MX 2 – MS 2 – 30M+MX 1 +2MX 2 – MS 3 = 0 Z – (40-5M)X 1 – (20 -4M)X 2 – MS 1 – MS 2 – MS 3 = 78 M

8 Menggunakan Matriks (Inner Product Rule) : Fungsi Tujuan : Z – 40X 1 – 20X 2 – 0S 1 – 0S 2 – 0S 3 – MA 1 –MA 2 –MA 3 = 0 Fungsi Pembatas : 3X 1 + X 2 – S 1 + 0S 2 + 0S 3 + A 1 + 0A 2 + 0A 3 = 27 X 1 + X 2 + 0S 1 – S 2 + 0S 3 + 0A 1 + A 2 + 0A 3 = 21 X 1 + 2X 2 + 0S 1 + 0S 2 – S 3 + 0A 1 + 0A 2 + A 3 = 30 Rumus : C j = (v)(v j ) – c j Keterangan : C j = Koefisien variabel j pada persamaan Z v = Vektor baris koefisien fungsi tujuan variabel baris

9 v j = vektor kolom elemen di bawah variabel j c j = kpoefisien variabel j pada fungsi tujuan Jadi :

10 Selanjutnya : Fungsi Tujuan : Z – (40-5M)X 1 – (20 -4M)X 2 – MS 1 – MS 2 – MS 3 = 78 M

11 Fungsi Pembatas : 3X 1 + X 2 – S 1 + 0S 2 + 0S 3 + A 1 + 0A 2 + 0A 3 = 27 X 1 + X 2 + 0S 1 – S 2 + 0S 3 + 0A 1 + A 2 + 0A 3 = 21 X 1 + 2X 2 + 0S 1 + 0S 2 – S 3 + 0A 1 + 0A 2 + A 3 = 30 X 1, X 2, S 1, S 2, S 3, A 1, A 2, A 3 ≥ 0

12 Tabel Simpleks : Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NK Z-(40-5M)-(20-4M)-M 00078M A1A A2A A3A

13 a. Iterasi Awal (Iterasi-0) Angka Kunci Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NKIndeks Z-(40-5M)-(20-4M)-M 00078M- A1A A2A A3A

14 b. Iterasi-1 Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NKIndeks Z0 -20/3+7/3M-40/3+2/3M -M 40/3-5/3M M - X1X1 11/3-1/3001/ S2S2 02/31/30-1/ A3A3 05/31/30-1/ /5

15 Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NKIndeks Z00 -36/3+1/5M -M -4+2/5M12-6/5M 0 4-7/5M444+18/5M - X1X1 10-2/501/52/50-1/524/5- X2X2 001/52/5-1/31-2/518/5- A3A3 011/50-3/5-1/503/563/5-

16 c. Iterasi-2 Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NKIndeks Z00 -36/3+1/5M -M -4+2/5M12-6/5M 0 4-7/5M444+18/5M - X1X1 10-2/501/52/50-1/524/524 A2A2 001/52/5-1/31-2/518/59 X2X2 011/50-3/5-1/503/563/5-

17 d. Iterasi-3 Kesimpulan : X 1 = 3 dan X 2 = 18 dengan Z min = Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NKIndeks Z M -M480 - X1X1 10- ½½0½ 03- S3S3 00½-5/21- ½5/29- X2X2 01½-3/20- ½3/2018-

18 (2). Metode Dua Tahap Satu kekurangan dari metode M dalam peme- cahan persoalan PL (metode simpleks) kasus minimisasi adalah kemungkinan salah perhitungan yang dapat dihasilkan dari pem- berian nilai M yang terlalu besar. Untuk me- ngatasi kekurangan ini maka dirancang suatu metode yang disebut : “Metode Dua Tahap”

19 Contoh : 1. Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = 40 X X 2 2. Fungsi Pembatas : 3X 1 + X 2 – S 1 + A 1 = 27 X 1 + X 2 - S 2 + A 2 = 21 X 1 + 2X 2 - S 3 + A 3 = 30 X 1, X 2, S 1, S 2, S 3, A 1, A 2, A 3 ≥ 0

20 (a). Tahap I : Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = A 1 + A 2 + A 3 Fungsi Pembatas : 3X 1 +X 2 – S 1 +A 1 = 27; A 1 =27-3X 1 -2X 2 +S 1 X 1 +X 2 - S 2 +A 2 = 21; A 2 =21-X 1 -X 2 +S 2 X 1 + 2X 2 - S 3 + A 3 = 30; A 3 =30-X 1 -2X 2 +S 3 X 1, X 2, S 1, S 2, S 3, A 1, A 2, A 3 ≥ 0

21 Substitusikan fungsi pembatas ke dalam fungsi tujuan : Z = A 1 + A 2 + A 3 = 27-3X 1 -2X 2 +S X 1 -X 2 +S X 1 - 2X 2 +S 3 = 78 – 5X 1 – 4X 2 + S 1 + S 2 + S 3 Jadi : persamaan fungsi tujuan : Z + 5X 1 + 4X 2 – S 1 – S 2 – S 3 = 78

22 Tabel Simpleks Tahap I a. Iterasi-0 Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NKIndeks Z A1A A2A A3A

23 Iterasi-1 Angka Kunci Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NKIndeks Z A1A A2A A3A

24 Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NKIndeks Z001/52/5-6/50-7/518/5- X1X1 10-2/501/52/50-1/524/524 A2A2 001/52/5-1/51-2/518/518 X2X2 011/50-3/5-1/503/563/5- Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NKIndeks Z07/32/3-5/ X1X1 11/3-1/3001/ A2A2 02/31/301/ A3A3 15/31/30-1/ /5 Iterasi-2

25 Iterasi-3 Berdasarkan Tabel solusi optimum tahap I diperoleh : X 1 – ½ S 1 + ½ S 2 = 3  X 1 = ½ S 1 – ¼ S 2 …..(1) ½ S 1 - 5/2 S 2 +S3 = 9  S 3 = - ½ S 1 + 5/2 S 2 …(2) X 2 + ½ S 1 – 3/2 S 2 = 18  X 2 = - ½ S 1 +3/2 S 2 …(3) Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A2A2 A3A3 NKIndeks Z /5- X1X1 10- ½½0½ 03- S3S3 001/2-5/21- ½5/29- X2X2 011/2-3/20-1/23/2018-

26 Tahap II : Substitusikan persamaan (1),(2), dan (3) dari solusi optimum tahap I ke persamaan fungsi tujuan : Z = 40 X X 2 = 40 (½ S 1 – ½ S 2 ) + 20(- ½ S 1 + 3/2 S 2 ) = 20 S 1 – 20 S 2 – 10 S S 2 Z = 10 S S 2 Z – 10 S 1 – 10 S 2 = 0

27 Tabel Simpleks Tahap II : Dari Tabel optimum simpleks tahap II terlihat bhw koefisien fungsi tujuan tidak ada yang bernilai positif. Ini menunjukkan kondisi tabel simpleks tahap II sudah optimum. Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z X1X1 10- ½½03- S3S3 001/2-5/219- X2X2 011/2-3/2018-

28 KASUS-KASUS KHUSUS Kasus-kasus khusus yang dapat terjadi dalam pe- nyelesaian persoalan PL dengan metode simpleks meliputi : (1). Degenerasi (2). Solusi Optimum Ganda (3). Solusi Tak terbatas (4). Solusi Tak Layak (Tidak Fisibel).

29 Contoh : (1). Degenerasi. Model PL. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3X 1 + 9X 2 Fungsi Pembatas : X X 2 ≤ 8 X X 2 ≤ 4 X 1, X 2 ≥ 0

30 Tabel Simpleks : Var DasarX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z S1S S2S Iterasi-1 Z-3/409/4018- X2X2 ¼1¼028 S2S2 ½0- ½100 Iterasi-2 Z003/2 18 X2X2 01½- ½2 X1X1 1020

31 Atau Kesimpulan : X 1 = 0 ; X 2 = 2 Z maks. = 18 Var DasarX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z S1S S2S Iterasi-1 Z- 3/2009/218 S1S X2X2 1/210½2

32 (2). Solusi Optimum Ganda Model PL : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 2X 1 +4X 2 Fungsi Pembatas : X 1 + 2X 2 ≤ 5 X 1 + X 2 ≤ 4 X 1, X 2 ≥ 0

33 Kesimpulan : X 1 = 1 ; X 2 = 3; Z maks. = 10 Var DasarX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z S1S /2 S2S Iterasi-1 Z X2X2 ½1½05/25 S2S2 1/20- ½13/23 Iterasi-2 Z X2X X1X

34 (3). Solusi Tidak Terbatas Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 2X 1 + X 2 Fungsi Pembatas : X 1 – X 2 ≤ 10 2 X 1 ≤ 40 X 1, X 2 ≥ 0

35 Tabel Simpleks : Var DasarX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z S1S S2S Iterasi-1 Z X2X S2S Iterasi-2 Z X2X X1X

36 Perhatikan solusi awal dari tabel simpleks di bawah kolom X 2 adalah non positif, berarti X 2 dapat naik tanpa batas dan tetap memenuhi semua pembatas. Tanpa perhitungan lebih lanjut dapat disimpulkan bahwa masalah tersebut di atas tidak memiliki batas solusi. (4). Solusi Tak Layak (Tak Fisibel) Solusi tak layak (tak fisibel) terjadi jika pembatas- pembatas tidak dapat dipenuhi secara serentak. Keadaan ini menunjukkan kemungkinan bahwa model tidak dirumuskan dengan benar.

37 Contoh : Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3X 1 + 2X 2 Fungsi Pembatas : 2X 1 + X 2 ≤ 2 3X 1 + 4X 2 ≥ 12 X 1, X 2 ≥ 0

38 Model Simpleks : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – (3+3M)X 1 – (2+4M)X 2 +0S 1 + MS 2 = -12M Fungsi Pembatas : 2X 1 + X 2 + S 1 = 2 3X 1 + 4X 2 - S 2 + A 1 = 12 X 1, X 2 ≥ 0

39 Tabel Simpleks : Var Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 A1A1 NKIndeks Z-3-3M-2-4M0M0-12M- S1S A1A Iterasi-1 Z1+5M02+4MM04-4M X2X X1X


Download ppt "KASUS MINIMISASI Ir. Indrawani Sinoem, MS. KASUS MINIMISASI Dalam kasus minimisasi tanda pertidaksamaan fungsi pembatas adalah ≥. Untuk mengubah tanda."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google