Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Pengganda Lagrange Teknik Optimasi Semester Ganjil 2013/2014.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Pengganda Lagrange Teknik Optimasi Semester Ganjil 2013/2014."— Transcript presentasi:

1 Pengganda Lagrange Teknik Optimasi Semester Ganjil 2013/2014

2 Digunakan untuk memaksimumkan fungsi obyektif f(x, y, z) subject to suatu kendala dalam bentuk g(x, y, z) = k. METODE LAGRANGE PADA NLP DENGAN SATU KENDALA

3 PENGGANDA LAGRANGE Untuk mempermudah pemahaman metode ini secara geometris, diterapkan terlebih dahulu pada fungsi-fungsi dengan dua variabel. Ingin dicari nilai maksimum dari f(x, y) subject to suatu kendala dalam bentuk g(x, y) = k.

4 Nilai maksimum bagi f(x, y) harus berada pada level kurva g(x, y) = k. Gambar berikut menunjukkan level kurva g(x, y) = k bersama beberapa level kurva f(x, y) = c, c = 11, 10, 9, 8, 7 PENGGANDA LAGRANGE – DUA VARIABEL

5 Untuk memaksimumkan f(x, y) subject to g(x, y) = k adalah mencari Nilai c terbesar sedemikian sehingga level kurva f(x, y) = c bertemu dengan g(x, y) = k  mempunyai gradien yang sama PENGGANDA LAGRANGE – DUA VARIABEL

6 Gradien/garis normal pada titik singgung (x 0, y 0 ) adalah sama untuk kedua fungsi.  Vektor gradien paralel  Untuk skalar tertentu λ: PENGGANDA LAGRANGE – DUA VARIABEL

7 Serupa dengan argumen pada fungsi dengan dua variabel, pada kasus maksimum dari f(x, y, z) subject to kendala g(x, y, z) = k.  Solusi (x, y, z) harus berada pada level g(x, y, z) = k.  Jika nilai maksimum dari f ada pada titik x 0, y 0, z 0 di mana f(x 0, y 0, z 0 ) = c, maka pada titik tersebut gradien dari f akan sama dengan gradien dari g(x, y, z) = k.  Untuk skalar tertentu λ: PENGGANDA LAGRANGE – TIGA VARIABEL

8 a.Tentukan semua nilai x, y, z, dan λ sedemikian dan b.Evaluasi f pada semua titik (x, y, z) yang dihasilkan di langkah a.  Nilai terbesar  maksimum bagi f.  Nilai terkecil  minimum bagi f. PENGGANDA LAGRANGE—METODE

9 Pada penurunan dengan metode Lagrange, diasumsikan bahwa  Pada semua titik di mana g(x, y, z) = k  METODE LAGRANGE

10 Pada langkah a di mana Persamaan vektor gradien tersebut harus dinyatakan per komponen (turunan parsial) sedemikian: f x = λg x f y = λg y f z = λg z g(x, y, z) = k  Merupakan sistem dari 4 persamaan dengan 4 variabel yang tidak diketahui x, y, z, and λ.  Tidak harus memperoleh nilai eksplisit bagi λ. METODE LAGRANGE

11 Prinsip tersebut ekuivalen dengan permasalahan: Max atau Min bagi: L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) – λ(k - g(x, y, z)) f.o.c bagi permasalah tsb: L x = f x – λ g x =0 ↔ f x = λg x L y = f y – λ g y =0 ↔ f x = λg x L z = f z –λg z =0 ↔ f z = λg z L λ = k – g(x, y, z) =0 ↔ g(x, y, z) = k

12 Untuk fungsi dengan dua variabel, cara yang sama dapat dilakukan max atau min f(x, y) s.t. g(x, y) = k, Ingin diperoleh x, y, dan λ sedemikian: (2 turunan parsial saja) f x = λg x f y = λg y g(x, y) = k Tiga persamaan untuk menyelesaikan tiga variabel x, y, and λ. METODE LAGRANGE

13 Prinsip tersebut ekuivalen dengan permasalahan: Max atau Min bagi: L(x, y, λ) = f(x, y) – λ(k - g(x, y)) f.o.c bagi permasalah tsb: L x = f x – λ g x =0 ↔ f x = λg x L y = f y – λ g y =0 ↔ f x = λg x L λ = k – g(x, y) =0 ↔ g(x, y) = k

14 Interpretasi λ Untuk Analisis Sensitifitas Dari hubungan: f x = λg x f y = λg y g(x, y) = k  λ= f x / g x = f y / g y Adalah laju perubahan nilai fungsi akibat perubahan nilai pada kendala Efek perubahan ketersediaan bahan baku (ruas kanan kendala) terhadap nilai optimal fungsi

15 Contoh: Untuk permasalahan berikut, yang penjelasannya akan saya berikan di kelas

16 Digunakan λ i sejumlah kendala (m) yang digunakan i = 1, …, m Misal untuk dua variabel max atau min f(x, y) s.t. g i (x, y) = k i, i = 1, …, m Ingin diperoleh x, y, dan λ i, i = 1, …, m sedemikian: f x = λ 1 g 1x + … + λ m g mx f y = λ 1 g 1y + … + λ m g my g i (x, y) = k i, i = 1, …, m METODE LAGRANGE PADA NLP DENGAN BEBERAPA KENDALA

17 Ekuivalen dengan: Max atau Min bagi: L(x, y, λ 1, …, λ m )= f(x, y) – λ 1 (k 1 – g 1 (x, y)) – … – λ m (k m – g m (x, y)) f.o.c bagi permasalah tsb: L x = f x – λ 1 g 1x – … – λ m g mx =0 L y = f y – λ 1 g 1y – … – λ m g my =0 L λi = k i – g i (x, y) =0 untuk i = 1, …, m

18 SOAL -SOAL


Download ppt "Pengganda Lagrange Teknik Optimasi Semester Ganjil 2013/2014."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google