Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

RANK FULL MODEL (ESTIMATION) Model linier dalam teori statistik secara umum mempunyai bentuk: y=β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +…+β k X k +ε Y=response Xi=regressors.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "RANK FULL MODEL (ESTIMATION) Model linier dalam teori statistik secara umum mempunyai bentuk: y=β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +…+β k X k +ε Y=response Xi=regressors."— Transcript presentasi:

1 RANK FULL MODEL (ESTIMATION) Model linier dalam teori statistik secara umum mempunyai bentuk: y=β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +…+β k X k +ε Y=response Xi=regressors ε =random variable yang mrpk variasi random yg tidak dapat dijelaskan oleh variable response. β i =konstan atau parameter, nilai sebenarnya tdk diketahui sehingga perlu diestimasi dengan data observasi/eksperimen.

2 Percobaan atau pengamatan dilakukan sebanyak n kali untuk berbagi nilai x 1, x 2, …, x k (n≥k+1) dan y 1, y 2, …, y n. Jika x ij adalah notasi dari pengamatan ke i pada variabel x j maka akan didapatkan model dalam bentuk sistem persamaan linier dengan bentuk: y 1 =β 0 + β 1 X 11 + β 2 X 12 +…+β k X 1k + ε 1 y 2 =β 0 + β 1 X 21 + β 2 X 22 +…+β k X 2k + ε 2... y n =β 0 + β 1 X n1 + β 2 X n2 +…+β k X nk + ε n

3 Misal: Sistem persamaan linier dapat dinyatakan dalam bentuk matriks: y=Xβ+ε y dan ε masing-masing merupakan vektor random. y adalah vektor response dan ε adalah vektor dari random errors. Β adalah vektor (k+1)x1 dari parameter yg tdk diketahui. X adalah matriks skalar dengan ordo nx(k+1). Model full rank disini adalah sama artinya dengan X mempunyai full rank.

4 Least Square Estimators Dalam metode ini memerlukan vektor random error (ε) yang mempunyai rata-rata 0 dan varians σ 2 I. Dengan menggunakan aturan ekspektasi dan varians, dapat diketahui bahwa vektor y memiliki rata-rata Xβ dan matriks varians-kovarians σ 2 I.

5 Model linier menyatakan bahwa: y=β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +…+β k X k +ε Ekpektasi dari model di atas adalah: E(y)=β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +…+β k X k +E(ε) Seperti diketahui sebelumnya bahwa E(ε)=0, shg E(y)=β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +…+β k X k +E Rata-rata response tergantung dari nilai-nilai variabel x dan merupakan fungsi dari parameter-parameter.

6

7

8 Untuk mendapatkan estimator dari parameter- parameter dalam model, pertama kita nyatakan response dalam bentuk residual sebagai berikut: y 1 =b 0 + b 1 X 11 + b 2 X 12 +…+b k X 1k + e 1 y 2 =b 0 + b 1 X 21 + b 2 X 22 +…+b k X 2k + e 2. y n =b 0 + b 1 X n1 + b 2 X n2 +…+b k X nk + e n

9 Misalkan : Maka SPL dapat dinyatakan dalam bentuk matriks: y=Xb+e Dlm metode least square kita meminimumkan jumlah kuadrat residual :

10 Theorema 3.1. Jika y=Xβ+ε dengan X adalah matriks nx(k+1) rank penuh, β adalah vektor dari paramater (k+1)x1, ε adalah vektor random nx1 dengan rata-rata 0 dan varians σ 2 I. Penduga least square untuk β (b) adalah b=(X΄X) -1 X΄y

11 Bukti: Vektor residual dpt dinyatakan sbb e=y – Xb shg e΄e= (y – Xb)΄(y – Xb) = (y΄ – b΄X΄)(y – Xb) = y΄y – y΄Xb – b΄X΄y + b΄X΄Xb b΄X΄y mrpkn matrik 1x1 sehingga b΄X΄y=(b΄X΄y)΄ atau b΄X΄y=y΄Xb e΄e= y΄y – 2(X΄y)΄b + b΄X΄Xb Untuk meminumumkan e΄e mk diturunkan terhadap b kemudian disamakan dengan nol.

12

13 Contoh: Asumsikan model: y=β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +ε Data observasi adalah sbb:

14 Theorema 3.2. Jika y=Xβ+ε dengan X adalah matriks nx(k+1) rank penuh, β adalah vektor dari paramater (k+1)x1, ε adalah vektor random nx1 dengan rata-rata 0 dan varians σ 2 I. Penduga least square b=(X΄X) -1 X΄y merupakan penduga yang tak bias (unbiased estimator) untuk β. Varians estimator tersebut adalah Var b= (X΄X) -1 σ 2.

15 Theorema Gauss-Markoff Penduga unbiased least square merupakan salah satu contoh penduga linier. Penduga dinyatakan dalam bentuk Ly, L adalah matrik bilangan riil. L= (X´X ) -1 X´ Sayangnya, unbiasedness tidak menjamin uniqueness. Unbiased linier estimator bisa lebih dari satu. Theorema Gauss-Markoff menjamin bahwa dari semua estimator β, b merupakan estimator yang terbaik dengan varians terkecil. (BLUE)

16 Theorema 3.3. Jika y=Xβ+ε dengan X adalah matriks nx(k+1) rank penuh, β adalah vektor dari paramater (k+1)x1, ε adalah vektor random nx1 dengan rata-rata 0 dan varians σ 2 I. Penduga least square b=(X΄X) -1 X΄y merupakan the best linear unbiased estimator untuk β. Bukti: Misal b* merupakan the best linear unbiased estimator untuk β: b*=[(X΄X) -1 X΄+B]y, B: matrik bil riik (k+1)xn

17 E(b*)=[(X΄X) -1 X΄+B]E[y] =[(X΄X) -1 X΄+B]Xβ =[I+BX] β Jika b* merupakan BLUE untuk β, maka E(b*)= β β =[I+BX] β sehingga [I+BX]=I, ini artinya BX=0

18 Var(b*)= Var[(X΄X) -1 X΄+B]y =[(X΄X) -1 X΄+B]σ 2 I[(X΄X) -1 X΄+B]΄ =σ 2 [(X΄X) -1 X΄+B] [X(X΄X) -1 +B΄] =σ 2 [(X΄X) -1 X΄X(X΄X) -1 +(X΄X) -1 X΄B+BX(X΄X) -1 +BB΄] diketahui bahwa BX=0, maka X΄B=0, sehingga Var(b*) = σ 2 [(X΄X) -1 +BB΄] =(X΄X) -1 σ 2 +BB΄σ 2 =Var(b)+BB΄σ 2 Elemen ke i pada diagonal utama BB ΄ adalah

19 Pendugaan Fungsi Linier dari βi Fungsi linier dari βi dapat dituliskan sebagai t΄β dengan t΄ merupakan vektor bilangan riil 1x(k+1). Esimator t΄β adalah t΄b, dengan b adalah the least square estimator untuk β. Theorema 3.4. Jika y=Xβ+ε dengan X adalah matriks nx(k+1) rank penuh, β adalah vektor dari paramater (k+1)x1, ε adalah vektor random nx1 dengan rata-rata 0 dan varians σ 2 I. Misal t΄ adalah vektor bilangan riil 1x(k+1). The best linear unbiased estimator untuk t ΄β adalah t΄b, b adalah the least square estimator untuk β.

20 Variance Estimation


Download ppt "RANK FULL MODEL (ESTIMATION) Model linier dalam teori statistik secara umum mempunyai bentuk: y=β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +…+β k X k +ε Y=response Xi=regressors."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google