BAB 8 RUANG PERKALIAN DALAM.

Presentasi berjudul: "BAB 8 RUANG PERKALIAN DALAM."— Transcript presentasi:

1 BAB 8 RUANG PERKALIAN DALAM

2 POKOK BAHASAN HASIL KALI DALAM PANJANG DAN SUDUT DALAM PERKALIAN DALAM
BASIS ORTONORMAL PROSES GRAM-SCHMIDT

3 HASIL KALI DALAM Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada sebuah ruang vektor V adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real <u,v> dengan setiap pasang vektor u dan v di dalam V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor u, v, dan w di dalam V dan untuk semua skalar k. <u,v> = <v,u> (aksioma simetri) <u + v, w> = <u,w> + <v,w> (aksioma aditivitas) <ku,v> = k <u,v> (aksioma homogenitas) <v,v> ≥ 0 dan <v,v> = 0 jika dan hanya jika v = 0 (aksioma positivitas)

4 <u,v> adalah hasil kali dalam antara u dan v
Contoh: u=(2,5) dan v=(5,4) <u,v> = u . v = 2(5)+5(4) = 30 2. u=(2,5,3) dan v=(1,5,4) <u,v> = u . v = 2(1)+5(5)+3(4) = 39 3. u=(2,5,3,-4) dan v=(1,5,4,-6) <u,v> = u . v = 2(1)+5(5)+3(4)+(-4)(-6)= 63

5 PANJANG DAN SUDUT DALAM PERKALIAN DALAM
Ortogonal Dua vektor u dan v ortogonal, jika <u,v>=0 atau sudut antara u dan v adalah π/2

6 BASIS ORTONORMAL Sebuah himpunan dari vektor-vektor di dalam sebuah ruang perkalian dalam dinamakan sebuah himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berbeda di dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai panjang 1 dinamakan ortonormal. Contoh

7 PROSES GRAM-SCHMIDT Teorema
Tiap-tiap ruang perkalian dalam berdimensi berhingga yang tak nol mempunyai sebuah basis ortonormal. Proses Gram-Schmidt dari teorema maka dapat dibuat pembentukan langkah demi langkah untuk mengubah sebuah basis sebarang ke dalam sebuah basis ortonormal dinamakan proses Gram-Schmidt