Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

4. RELASI. 4.1 Relasi Secara ringkas dapat dijelaskan bahwa relasi adalah hubungan antar himpunan-himpunan. Relasi yang menghubungan 2 buah himpunan disebut.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "4. RELASI. 4.1 Relasi Secara ringkas dapat dijelaskan bahwa relasi adalah hubungan antar himpunan-himpunan. Relasi yang menghubungan 2 buah himpunan disebut."— Transcript presentasi:

1 4. RELASI

2 4.1 Relasi Secara ringkas dapat dijelaskan bahwa relasi adalah hubungan antar himpunan-himpunan. Relasi yang menghubungan 2 buah himpunan disebut relasi biner. Relasi yang menghubungkan n buah himpunan disebut relasi n-ary Misal mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut adalah relasi biner.

3 Gambar 4.1 Relasi antara mahasiswa dan matakuliah yang sedang ditempuh Albert Barry Charles Derry Internet Sist. Operasi Algoritma Selain menggunakan gambar 4.1, relasi juga dapat ditunjukkan dengan menggunakan tabel, seperti pada Tabel 1.1 berikut.

4 Nama Mahasiswa Mata kuliah Albert Internet Albert Sistem Operasi BarryInternet BarrySistem Operasi Barry Algoritma CharlesInternet CharlesSistem Operasi Charles Algoritma DerryAlgoritma Tabel 4.1 Mahasiswa Albert Barry Charles Derry Internet Sist. Oprs. Algoritma

5 Jika kita perhatikan Gambar 4.1 maupun Tabel 4.1, maka dapat diketahui bahwa mahasiswa yang bernama: Albert sedang menempuh mata kuliah Internet, dan Sistem Operasi; Barry menempuh matakuliah Internet, Sitem Operasi, dan Algoritma; Charles menempuh matakuliah Internet, Sistem Operasi, dan Algoritma. Sedangkan Derry menempuh matakuliah Algoritma.

6 Internet Sistem Operasi Algoritma Gambar 4.2 Matriks relasi antara mahasiswa dan mata kuliah yang sedang ditempuh Selain dari Gambar 4.1 dan Tabel 4.1, relasi dapat juga ditunjukkan dalam bentuk matriks berikut.

7 Pada matriks diatas, kolom menunjukkan mata kuliah yang tersedia, yaitu Internet, Sistem Operasi, dan Algoritma. Baris pada matriks menunjukkan mahasiswa mulai dari Albert sampai dengan Derry. Kolom menunjukkan matakuliah yang tersedia. Nilai 1 menunjukkan bahwa mata kuliah tersebut sedang ditempuh oleh mahasiswa tertentu. Sebaliknya nilai 0 berarti tidak sedang ditempuh.

8 Gambar 4.1 dan 4.2 juga dapat disajikan dalam bentuk himpunan, seperti yang ditunjukkan berikut ini. Jika A adalah himpunan mahasiswa pada Gambar 4.1, maka A = {Albert, Barry, Charles, Derry} Jika B adalah himpunan mata kuliah pada Gambar 4.1, maka B = {Internet, Sistem Operasi, Algoritma} Jika R adalah relasi yang menyatakan mahasiswa yang menempuh matakuliah, seperti pada Gambar 4.1, maka: R = {(Albert, Internet), (Albert, Sistem Operasi), (Barry,Internet), (Barry,Sistem Operasi), (Barry, Algoritma), (Charles, Internet), (Charles, Sistem Operasi), (Charles, Algoritma), (Derry, Algoritma)}

9 Berdasarkan contoh diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa relasi adalah himpunan pasangan terurut (ordered pairs). Elemen pertama pada pasangan terurut, dalam hal ini nama-nama mahasiswa, disebut daerah asal (domain), sedangkan elemen kedua, nama-nama mata kuliah, disebut daerah hasil (range). Relasi antara dua buah himpunan disebut relasi biner. Untuk penyederhanaan, selanjutnya relasi biner disebut relasi saja.

10 Hasil dari A x B menghasilkan himpunan pasangan terurut dengan jumlah anggota adalah Dalam bentuk notasi, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian dari perkalian kartesian A dan B, ditulis sebagai R  A x B. atau dapat ditulis sebagai A x B = Jika suatu relasi R didefinisikan pada himpunan yang sama, misal A, maka R  A x A

11 Jika anggota relasi R adalah (a, b), maka kita menuliskan “a R b” yang artinya “a” dihubungkan dengan “b” oleh relasi R. Contoh 4.1 Diketahui A = { 1, 4, 6, 8} dan B = {2, 5, 6, 9} Tulis pasangan terurut (a,b)  R sedemikian, sehingga a < b. Penyelesaian R = {(1,2), (1,5), (1,6), (1,9), (4,5), (4,6), (4,9), (6,9), (8,9)}

12 4.2 Penyajian Relasi Selain menggunakan cara pemetaan (Gambar 4.1) dan matriks (Gambar 4.2), relasi dapat juga disajikan dengan graf seperti contoh berikut. Misal A = {2, 3, 4, 6, 8, 9}. Gambarkan grafik dari pasangan terurut (a, b) dari relasi R pada A jika dan hanya jika a habis membagi b. Penyelesaian: R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4, 8), (6, 6), (8, 8), (9, 9)} Untuk menunjukkan pasangan terurut (a,b), maka dibuat sebuah busur dari a ke b dan dikatakan a adalah simpul asal (initial vertex). Sedangkan b adalah simpul tujuan (terminal vertex)

13 Gambar 4.3 Graf Relasi  2  9  6  3  4  8 R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4, 8), (6, 6), (8, 8), (9, 9)}

14 4.3 Relasi Inversi Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Inversi dari relasi R, dilambangkan dengan R -1, adalah relasi dri himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan sebagai, R -1 = {(b,a)|(a,b)  R} Contoh 4.2

15 Penyelesaian P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15} R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)} R -1 = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)} Contoh 4.3 Tentukan R -1 pada contoh 4.2 dalam bentuk matriks Penyelesaian

16 Jika M adalah matriks yang merepresentasikan R dalam bentuk matriks, maka Jika N adalah matriks yang merepresentasikan R -1 dalam bentuk matriks, maka N = M T M = N = M T =

17 4.4 Kombinasi Relasi Kombinasi relasi dapat dilakukan dengan menggunakan prinsip operasi himpunan, seperti operasi gabungan, irisan, selisih (difference) dan beda simetrik (symmetric difference). Contoh 4.4 Misal A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b, c, d } Jika R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,c), (3,d)} dan S = {(1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,b), (3,c)} adalah relasi dari A ke B, tentukan: a) R  Sd) S – R b) R  Se) R  S c) R – S

18 Penyelesaian: R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,c), (3,d)} S = {(1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,b), (3,c)} a) R  S = {(1,a), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d)} b) R  S = {(2,b), (2,c), (3,c)} c) R – S = {(1,a), (1,c), (3,a), (3,d)} d) S – R = {(1,d), (2,a), (3,b)} e) R  S = {(1,a), (1,c), (1,d), (2,a), (3,a), (3,b), (3,d)}

19 Selain operasi gabungan dan irisan yang telah dibahas dengan cara-cara diatas, operasi gabungan dan irisan juga dapat dilakukan dengan menggunakan operasi matriks. Misal terdapat relasi R dan S. Dalam bentuk matriks relasi tersebut disimbolkan dengan M R dan M S. Komponen dari matriks M R dan M S adalah 0 dan 1. Jika M R dan M S adalah matriks yang berukuran m x n, maka gabungan R dan S, ditulis M R  M S, adalah matriks M 1. Sedangkan irisan R dan S, ditulis M R  M S adalah M 2. Kedua matriks M 1 dan M 2 berukuran m x n.

20 Contoh 4.5 Misal A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b, c } Jika R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)} dan S = {(1,a), (2,a), (2,b), 2,c), (3,b), ( 3,c)} adalah relasi dari A ke B, tentukan: a)Matriks yang menyatakan R ∪ S b)Matriks yang menyatakan R ∩ S

21 Penyelesaian: Matriks yang menyatakan R adalah M R Matriks yang menyatakan S adalah M S Matriks yang menyatakan R ∪ S adalah M R ∪ S Matriks yang menyatakan R ∩ S adalah M R∩S

22 a)M R ∪ S = M R  M S = ⋁ b) M R ∪ S = M R ⋀ M S = ⋀

23 4.5 Komposisi Relasi Mengkomposisi dua buah relasi atau lebih adalah cara lain untuk mengkombinasikan relasi. Misal terdapat dua buah relasi, yaitu R dan S. Jika R adalah relasi dari himpunan A ke B dan S adalah relasi dari himpunan B ke C, maka komposisi R dan S, ditulis SoR merupakan suatu relasi yang didefinisikan sebagai: S o R = {(a,c)  a  A, c  C dan terdapat b  B untuk setiap (a,b)  R dan (b,c)  S}

24 Contoh 4.6 Diketahui: A ={1, 3, 4, 7} ; B = {2, 3, 4} ; C = {a, b, c} R = {(1,2), (1,3), (3,4), (4,2), (4,3), (7,3), (7,4)} S = {(2,a), (2,c), (3,b), (4,a), (4,c)} R adalah relasi dari A ke B S adalah relasi dari B ke C Tentukan komposisi dari R dan S! Penyelesaian

25 Relasi R o S dalam bentuk diagram pemetaan ditunjukkan pada Gambar berikut.  1  3  4  7  2  3  4 A B C  a  b  c ► ► ► ► ► ► ► ► ► ► ► ► R o S = {(1,a), (1,c), (1, b), (3,a), (3,c), (4,a), (4,c), (4,b), (7,b), (7,a), (7,c)}

26 Komposisi dua buah relasi juga dapat ditentukan dengan cara perkalian Boolean. Misal terdapat relasi R dan S. Dalam bentuk matriks relasi tersebut disimbolkan dengan M R dan M S. Komponen dari matriks M R dan M S adalah 0 dan 1. Komposisi R o S ditentukan dengan perkalian Boolean M R dan M S, disimbolkan dengan M R ☉ M S. Sedangkan komposisi S o R ditentukan dengan cara perkalian Boolean M S dan M R, disimbolkan dengan M S ☉ M R.

27 Definisi Perkalian Boolean, disimbolkan dengan ☉, dari matriks A = [a ij ] yang berukuran m x n dan matriks B = [b jk ] yang berukuran n x p akan menghasilkan matriks C = [c ik ] yang berukuran m x p. Contoh 4.7 Misal R = {(1,2), (1,3), (2,2), (3,1)} dan S = {(2,a), (2,c), (3,b)}. Tentukan S o R dengan cara perkalian Boolean!

28 Penyelesaian: Langkah pertama adalah menentukan bentuk matriks M R dan M S. Ingat, elemen pertama pada masing-masing relasi merupakan baris dari matriks. Sedangkan elemen kedua merupakan kolom dari matriks. Matriks M R dan M S ditunjukkan pada matriks berikut. Komposit R dan S adalah

29 Simbol R n digunakan untuk mendefinisikan komposisi relasi dengan dirinya sendiri sebanyak n kali, yaitu R n = R o R o R o... o R (sebanyak n kali) dan M R n = M R (n) Oleh karena R n+1 = R n o R, maka M R n+1 = M R (n). M R

30 Contoh 4.8 Misal R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3} Tentukan R 2 Penyelesaian = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)} o Bila diselesaikan dengan menggunakan matriks, maka matriks yang merepresentasikan R adalah M R =

31 Sehingga M R n = M R (2) = M R. M R Latihan: Relasi R dan S pada himpunan A yang disajikan dalam bentuk matriks mempunyai bentuk sebagai berikut. Tentukan bentuk matriks yang menyajikan: a)R ∪ S b) R ∩ S c) R o S

32 4.6 Sifat-sifat Relasi Sifat-sifat relasi yang akan dibahas pada materi ini adalah sifat-sifat relasi biner yang didefinisikan pada satu himpunan A Refleksif Relasi R pada himpunan A bersifat refleksif jika terdapat a R a atau (a,a)  R untuk setiap a  A. Relasi “Lebih besar dari atau sama dengan” termasuk relasi refleksif.

33 Contoh 4.9 Tulis relasi R dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5} yang didefinisikan oleh (x,y)  R jika x 2  y Penyelesaian : R = {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)}

34     Gambar 4.4 Relasi refleksif

35 Simetri (Setangkup) Relasi R pada himpunan A bersifat simetri, jika terdapat a R b maka b R a untuk setiap a dan b  A. Contoh 4.10 Perhatikan relasi dari {1,2,3,4} berikut. R 1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R 2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} R 3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R 4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R 5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

36 Penyelesaian: R 1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} Tidak simetri karena terdapat pasangan terurut (3,4) dan (4,1) tapi tidak terdapat pasangan terurut (4,3) dan (1,4) R 2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} Simetri karena terdapat pasangan terurut (1,2) dan terdapat juga pasangan terurut (2,1) R 3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} Simetri karena terdapat pasangan terurut (1,2) dan (1,4) dan terdapat juga pasangan terurut (2,1) dan (4,1)

37 R 4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} Tidak simetri karena terdapat pasangan terurut (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), tapi tidak terdapat terurut (2,1), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4) R 5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4),(3,3), (3,4), (4,4)} Tidak simetri karena terdapat pasangan terurut (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), tapi tidak terdapat terurut (2,1), (3,1), (4,1), (3,2), (4,2), (4,3)

38 Anti-Simetri (tolak setangkup) Relasi R pada himpunan A bersifat anti-simetri jika a R b dan b R a, maka a = b untuk setiap a dan b  A. Contoh 4.11 Perhatikan relasi dari {1,2,3,4} berikut. R 1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R 2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} R 3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R 4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R 5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

39 R 1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} Tidak anti-simetri (tidak tolak setangkup) karena terdapat pasangan (1,2) dan (2,1) R 2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} Tidak anti-simetri (tidak tolak setangkup) karena terdapat pasangan (1,2) dan (2,1) R 3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} Tidak anti-simetri (tidak tolak setangkup) karena terdapat pasangan (1,2) dan (2,1) serta (1,4) dan (4,1)

40 R 4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} Anti-simetri (tolak setangkup) karena tidak terdapat (1,2), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4) R 5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} Anti-simetri (tolak setangkup) karena tidak terdapat (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)

41 Transitif Relasi R pada himpunan A bersifat transitif atau menghantar jika a R b dan b R c, maka a R c untuk setiap a, b dan c  A. Contoh 4.12 Perhatikan relasi dari {1,2,3,4} berikut. R 1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R 2 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}

42 R 1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} (1,1) dan (1,2)  (1,2) (1,2) dan (2,1)  (1,1) (1,2) dan (2,2)  (1,2) (3,4) dan (4,1)  (3,1) (3,4) dan (4,4)  (3,4) (4,1) dan (1,1)  (4,1) (4,1) dan (1,2)  (4,2) (4,4) dan (4,1)  (4,1) Karena pasangan bilangan terurut (3,1) dan (4,2) tidak terdapat dalam relasi, maka R 1 adalah relasi yang tidak transitif.

43 R 2 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} (3,2) dan (2,1)  (3,1) (4,2) dan (2,1)  (4,1) (4,3) dan (3,1)  (4,1) (4,3) dan (3,2)  (4,2) Karena pasangan bilangan terurut (3,1), (4,1), dan (4,2) terdapat dalam relasi, maka R 1 adalah relasi yang bersifat transitif.

44 4.7 Relasi kesetaraan Suatu relasi dikatakan sebagai relasi kesetaraan (equicalence relation) jika relasi tersebut bersifat refleksif, setangkup, dan menghantar Contoh 4.13 Misalkan R = {(0,0), (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), ( 3,3)} adalah relasi pada himpunan A = {0, 1, 2, 3}. Periksa, apakah R bersifat kesetaraan atau tidak. Penyelesaian: Syarat kesetaraan adalah refleksi, setangkup, dan menghantar.

45 R bersifat refleksif karena terdapat elemen (0,0), (1,1), (2,2), ( 3,3) R bersifat setangkup karena terdapat elemen (1,2) dan (2,1) R bersifat menghantar karena untuk: (1,1) dan (1,2)  R, terdapat (1,2)  R (1,2) dan (2,1)  R, terdapat (1,1)  R (2,1) dan (1,2)  R, terdapat (2,2)  R (2,2) dan (2,1)  R, terdapat (2,1)  R Karena memenuhi sifat refleksi, setangkup, dan menghantar, maka dikatakan relasi R bersifat kesetaraan.

46 4.8 Relasi Pengurutan Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan sebagai relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation) jika relasi tersebut bersifat refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar. Relasi R bersama dengan himpunan S disebut Himpunan terurut secara parsial (Partially Ordered Set atau Poset) Contoh 4.14 Misalkan R = {(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), ( 3,3), (4,2), (4,4)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}.

47 R bersifat refleksif karena terdapat elemen (1,1), (2,2), ( 3,3), (4,4) R bersifat tolak-setangkup karena terdapat elemen (2,1)  R dan (1,2)  R (3,1)  R dan (1,3)  R (3,2)  R dan (2,3)  R (4,2)  R dan (2,4)  R Penyelesaian: Syarat relasi pengurutan parsial adalah refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar. Periksa, apakah R sebagai relasi pengurutan parsial atau bukan.

48 R bersifat menghantar karena untuk: (2,1) dan (1,1)  R, terdapat (2,1)  R (2,2) dan (2,1)  R, terdapat (2,1)  R (3,1) dan (1,1)  R, terdapat (3,1)  R (3,2) dan (2,1)  R, terdapat (3,1)  R (3,3) dan (3,1)  R, terdapat (3,1)  R (3,3) dan (3,2)  R, terdapat (3,2)  R (4,2) dan (2,1)  R, terdapat (4,1)  R (4,2) dan (2,2)  R, terdapat (4,2)  R (4,4) dan (4,2)  R, terdapat (4,2)  R Karena memenuhi sifat refleksi, tolak-setangkup, dan menghantar, maka dikatakan relasi R bersifat relasi pengurutan parsial

49 4.9 Klosur Relasi Klosur Refleksif Jika terdapat himpunan A, maka terdapat relasi  = {(a,a) | a  A}. Misal R adalah relasi pada himpunan A, maka Klosur refleksif dari R adalah R   Contoh 4.15 Misalkan R = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan klosur refleksif dari R Penyelesaian

50 R = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)}  = {(1,1), (2,2), (3,3)} Klosur refleksif dari R adalah, R   = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)}  {(1,1), (2,2), (3,3)} = {(1,1), (2,2), (3,1), (3,2), ( 3,3)}

51 4.9.2 Klosur Setangkup Jika R adalah relasi pada himpunan A, maka R = {(a,b)| a, b  A} dan R -1 = {(b,a) | (a,b)  A} Klosur setangkup dari R adalah R  R -1 Contoh 4.16 Misalkan R = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan klosur setangkup dari R Penyelesaian

52 R = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)} R -1 = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,3)} Klosur setangkup dari R adalah, R  R -1 = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)}  {(1,1), (1,3), (2,3), (3,3)} = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3), (1,3), (2,3), (3,3)} Klosur Menghantar Klosur menghantar dari relasi R adalah

53 Jika adalah matriks yang merepresentasikan relasi R pada sebuah himpunan dengan n elemen, maka matriks klosur menghantar R * adalah, Contoh 4.17 Misalkan R = {(1,1), (1,3), (2,2), ( 3,1), (3,2)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan klosur menghantar dari R Penyelesaian

54 Matriks yang merepresentasikan R adalah Matriks klosur menghantar dari R adalah

55 Jadi R * = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}

56 4.10 Relasi n-ary Relasi n-ary adalah relasi yang menghubungkan lebih dari dua himpunan. Relasi n-ary mempunyai terapan dalam bidang basis data. Misal terdapat himpuan A 1, A 2,..., A n. Relasi n-ary R dari himpunan-himpunan tsb adalah himpunan bagian dari A 1 x A 2 x... x A n, dapat ditulis sebagai R  A 1 x A 2 x... x A n Himpunan A 1, A 2,..., A n disebut daerah asal atau domain, sedangkan n disebut derajat.

57 4.11 Basis Data Relasional Salah satu model basis data adalah model basis data relasional yang didasarkan pada konsep relasi n-ary. Pada Basis Data Relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Sebuah relasi (biasanya disajikan dalam bentuk tabel) terdiri dari:

58 a) Field atau Attribute Merupakan bagian dari record yang menunjukkan suatu item data yang sejenis, Misalnya : field nama, file NIM dan lain sebagainya. Setiap field harus mempunyai nama dan tipe data tertentu. Isi dari field di sebut Data Value. Dalam table database, field ini disebut juga kolom. b)Record atau Tupple Tuple/Record adalah kumpulan data value dari attributee yang berkaitan sehingga dapat menjelaskan sebuah entity secara lengkap.

59 NPMNama Prog. Studi IPK sks tempuh AmirSI3, BaduTI3, ChairilTK2, DedyMI3, EffendiKA2,5090 MAHASISWA Record atau tupel Field atau atributRelasi

60 Relasi Mahasiswa terdiri dari 5 tupel. Masing-masing tupel terdiri dari 6 atribut. Relasi Mahasiswa terdiri dari 5 ( 6-tupel). Relasi Mahasiswa terdiri dari 5 record. Masing-masing record terdiri dari 6 field.

61 4.11 Operasi Aljabar Relasional Operasi Aljabar Relasional Operasi Unary Operasi Himpunan Operasi Join Operasi Pembagian Seleksi Proyeksi Irisan Selisih Gabungan Perkalian Kartesius Equijoin Natural join Semijoin Outer join

62 Operasi Seleksi (Selection Operation)   predikat (R) Operasi seleksi adalah operasi yang memilih baris/record/tuple tertentu pada sebuah relasi Contoh 4.18 Dari relasi mahasiswa, tampilkan seluruh mahasiswa yang mempunyai IPK lebih besar dari 3,00 Penyelesaian:  IPK > 3,00 (MAHASISWA)

63 NPMNamaProg. StudiIPKsks tempuh AmirSI3, BaduTI3, DedyMI3,7595 NPMNamaProg. StudiIPKsks tempuh AmirSI3, BaduTI3, ChairilTK2, DedyMI3, EffendiKA2,5090 MAHASISWA

64 Operasi proyeksi adalah operasi yang memilih atribut/field tertentu pada sebuah relasi Contoh 4.19 Dari relasi mahasiswa, tampilkan IPK seluruh mahasiswa dan atribut Nama, Program Studi dan IPK Penyelesaian: Operasi Proyeksi (Projection ) 

65 NamaProg. StudiIPK AmirSI3,60 BaduTI3,50 ChairilTK2,75 DedyMI3,75 EffendiKA2,50 NPMNamaProg. StudiIPKsks tempuh AmirSI3, BaduTI3, ChairilTK2, DedyMI3, EffendiKA2,5090 MAHASISWA

66 Gabungan (Union) Jika terdapat relasi R 1 dan R 2, maka R 1 gabungan R 2, ditulis R 1  R 2. Syarat yang harus dipenuhi oleh R 1 dan R 2 adalah “union compatible”, yaitu mempunyai jumlah atribut sama dan atribut ke i harus mempunyai domain yang sama. Contoh 4.20 Dari relasi R 1 dan R 2 berikut, tentukan R 1  R 2 Penyelesaian

67 R1R1 NamaUmur Jenis Kelamin Ali22L Barry20L Chaidir24L R2R2 NamaUmur Jenis Kelamin Dave21L Ella21P Barry20L R1  R2R1  R2 NamaUmurJenis Kelamin Ali22L Barry20L Chaidir24L Dave21L Ella21P R1  R2R1  R2

68 Selain menggabungkan dua buah relasi secara keseluruhan, kita juga dapat melakukan operasi gabungan terhadap dua atribut yang sama yang berasal dari dua buah relasi. Sebelum operasi gabungan, kita lakukan operasi proyeksi untuk memilih atribut mana yang akan digabungkan. Contoh 4.21 Dari relasi Dosen dan Mahasiswa berikut, tentukan asal daerah dimana dosen atau mahasiswa berasal Penyelesaian

69 Dosen NamaPendidikanUmurAsal Daerah AliS232Palembang BarryS240Bangka ChaidirS334Jakarta Mahasiswa Namasks tempuhAsal daerah Dave130Bandung Ella120Jakarta Barry90Palembang

70  asal_daerah (Dosen)   asal_daerah (Mahasiswa) Asal Daerah Palembang Bangka Jakarta Bandung

71 Irisan (Intersection) Jika terdapat relasi R 1 dan R 2, maka R 1 irisan R 2, ditulis R 1  R 2. Syarat yang harus dipenuhi oleh R 1 dan R 2 adalah “union compatible”, yaitu mempunyai jumlah atribut sama dan atribut ke i harus mempunyai domain yang sama. Contoh 4.22 Dari relasi R 1 dan R 2 berikut, tentukan R 1  R 2 Penyelesaian

72 R1R1 NamaUmur Jenis Kelamin Ali22L Barry20L Chaidir24L R2R2 NamaUmur Jenis Kelamin Dave21L Ella21P Barry20L R1  R2R1  R2 NamaUmurJenis Kelamin Barry20L R1  R2R1  R2

73 Selain melakukan irisan dua buah relasi secara keseluruhan, kita juga dapat melakukan operasi irisan terhadap dua atribut yang sama yang berasal dari dua buah relasi. Sebelum operasi irisan, kita lakukan operasi proyeksi untuk memilih atribut mana yang akan diiriskan. Contoh 4.23 Dari relasi Dosen dan Mahasiswa berikut, tentukan asal daerah dimana dosen dan mahasiswa berasal Penyelesaian

74 Dosen NamaPendidikanUmurAsal Daerah AliS232Palembang BarryS240Bangka ChaidirS334Jakarta Mahasiswa Namasks tempuhAsal daerah Dave130Bandung Ella120Jakarta Barry90Palembang

75  asal_daerah (Dosen)   asal_daerah (Mahasiswa) Asal Daerah Palembang Jakarta

76 Selisih himpuan (Set Difference) Jika terdapat relasi R 1 dan R 2, maka R 1 – R 2 adalah relasi yang terdiri dari seluruh tupel yang ada di R 1 tapi tidak terdapat di R 2. Syarat yang harus dipenuhi oleh R 1 dan R 2 adalah “union compatible”, yaitu mempunyai jumlah atribut sama dan atribut ke i harus mempunyai domain yang sama. Contoh 4.23 Dari relasi R 1 dan R 2 berikut, tentukan R 1 – R 2 Penyelesaian

77 R1R1 NamaUmur Jenis Kelamin Ali22L Barry20L Chaidir24L R2R2 NamaUmur Jenis Kelamin Dave21L Ella21P Barry20L R 1 – R 2 NamaUmurJenis Kelamin Ali22L Chaidir24L R 1 – R 2 R 2 – R 1 NamaUmurJenis Kelamin Dave21L Ella21P

78 Selain melakukan operasi selih dua buah relasi secara keseluruhan, kita juga dapat melakukan operasi selisih terhadap dua atribut yang sama yang berasal dari dua buah relasi. Sebelum melakukan operasi selisih, kita lakukan operasi proyeksi untuk memilih atribut mana yang akan ditentukan selisihnya. Contoh 4.23 Dari relasi Dosen dan Mahasiswa, tentukan: a)asal daerah dimana terdapat dosen tapi tidak terdapat mahasiswa b) asal daerah dimana terdapat mahasiswa tapi tidak terdapat dosen Penyelesaian

79 Dosen NamaPendidikanUmurAsal Daerah AliS232Palembang BarryS240Bangka ChaidirS334Jakarta Mahasiswa Namasks tempuhAsal daerah Dave130Bandung Ella120Jakarta Barry90Palembang

80  asal_daerah (Dosen)   asal_daerah (Mahasiswa) Asal Daerah Palembang Jakarta a) Dosen - Mahasiswa NamaPendidikanUmurAsal Daerah BarryS240Bangka b) Mahasiswa - Dosen Namasks tempuhAsal daerah Dave130Bandung


Download ppt "4. RELASI. 4.1 Relasi Secara ringkas dapat dijelaskan bahwa relasi adalah hubungan antar himpunan-himpunan. Relasi yang menghubungan 2 buah himpunan disebut."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google