BAB 12 PROBABILITAS.

Presentasi berjudul: "BAB 12 PROBABILITAS."— Transcript presentasi:

1 BAB 12 PROBABILITAS

2 Pengertian Probabilitas
Kata Probabilitas sering dipertukarkan dengan istilah lain seperti peluang dan kemungkinan. Secara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi.

3 Probabilitas dinyatakan dengan bilangan desimal atau pecahan
Contoh : 0,50, 0,25, 0,70 Nilai probabilitas berkisar antara 0 dan 1

4 Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi
Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1, semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

5 Pendekatan Perhitungan Probabilitas
Bersifat Obyektif Bersifat Subyektif Pendekatan Klasik Pendekatan Frekuensi Relatif

6 Pendekatan Klasik Didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama

7

8 Konsep Frekuensi Relatif
Pendekatan yang mutakhir ialah perhitungan yang didasarkan atas limit dari frekuensi relatif, besarnya nilai yang diambil oleh suatu variabel juga merupakan kejadian. Probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut.

9 X f fr X1 f1 X2 f2 Xk fk Jumlah

10 Contoh 12.4 Tabel 12.1 X 55 65 75 85 95 105 115 f 8 10 16 14 5 2

11 Nilai Banyaknya mahasiswa (1) (2) < 25 10 25 – 50 30 50 – 75 45 75
Contoh 12.5 Tabel 12.2 Nilai Banyaknya mahasiswa (1) (2) < 25 10 25 – 50 30 50 – 75 45 75 15 Jumlah 100

12

13 Contoh 12.6 Tabel 12.3 f fr X1 8 0,8 60 0,6 450 0,45 5.490 0,549 52.490 0,5249 X2 2 0,2 40 0,4 550 0,55 4.510 0,451 47.510 0,4751 n 10 1,0 100 1000 1,00 10.000 1,000 1,0000

14 Probabilitas Subyektif
Probabilitas Subyektif didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan. Jika tidak ada pengamatan masa lalu sebagai dasar, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subyektif.

15 Kejadian / peristiwa dan notasi Himpunan
Eksperimen melempar mata uang logam Rp 50 sebanyak 2 kali Hasil eksperimen salah satu dari 4 kemungkinan Hasil yang berbeda dari suatu eksperimen disebut titik sampel Himpunan dari seluruh kemungkinan hasil disebut ruang sampel

16 Tabel 12.4 Ruang sampel untuk eksperimen
Pelemparan 2 dadu 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 II I I = dadu pertama II = dadu kedua 23 = dadu pertama 2 dadu kedua 3

17 Mata uang logam Rp 50 dilempar sebanyak 3 kali
maka akan diperoleh ruang sampel 2 Kalau X = jumlah gambar burung ( B ) untuk 3 kali lemparan

18 X f fr 1 3 2

19 Tabel 12.6 Tabel 12.5 X fr 1 2 3 X f fr 1 3 2

20 Tabel 12.7 X f 2 1 1/36 (=0,028) 3 2/36 (=0,056) 4 3/36 (=0,083) 5 4/36 (=0,111) 6 5/36 (=0,139) 7 6/36 (=0,167) 8 9 10 11 12 36 1 (=1,00)

21

22 Dimana 1 dan 2 merupakan himpunan bagian

23 Misalnya A = mendapatkan 1B (satu burung),
berarti A terdiri dari 2 elemen yaitu Kejadian yang terdiri dari satu elemen dalam Ruang Sampel S, disebut kejadian elementer (elementary event)

24 Probabilitas memiliki batas mulai 0 sampai dengan 1 ( 0  P(Si)  1 )
Jika P(Si) = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi. Jika P(Si) = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi. Jika 0  P(Si)  1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

25 A. HIMPUNAN 1.Pengertian Himpunan.
Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. Setiap objek yang secara kolektif membentuk himpunan, disebut elemen atau unsur atau anggota himpunan.

26 2.Penulisan Himpunan Dalam Statistik, himpunan dikenal sebagai populasi. Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung kurawal { }, dan dinyatakan dengan huruf besar: A, B,... Anggota himpunan ditulis dengan lambang , bukan anggota himpunan dengan lambang .

27 Himpunan dapat ditulis dengan 2 cara :
Cara Pendaftaran  Diskrit Unsur himpunan ditulis satu persatu/didaftar Contoh : A={a,i,u,e,o} , B={1,2,3,4,5} Cara Pencirian  Kontinyu Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat / ciri-ciri himpunan tsb. Contoh : A={ X : x huruf hidup } B={ X : 1  x  5 }

28 3. Macam-macam Himpunan a.Himpunan Semesta
Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan atau menjadi objek pembicaraan. Dilambangkan S atau U. Contoh : S=U={a,b,c,…..} S=U={ X : x bilangan asli}

29 b.Himpunan Kosong. Himpunan yang tidak memiliki anggota. Dilambangkan { } atau . c.Himpunan Bagian. Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain. Dilambangkan . Dalam statistik himpunan bagian merupakan sampel.

30 Contoh : Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap unsur A merupakan unsur B, atau A termuat dalam B, atau B memuat A. Dilambangkan : A  B. Banyaknya himpunan bagian dari sebuah n unsur adalah 2n

31 Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau
Kejadian / event terdiri antara lain : 1. Kejadian komplementer 2. Interseksi (perpotongan) 3. union (gabungan) Komplemen Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan. Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau

32 S A A

33 Diagram Venn Komplemen

34 Operasi Irisan (interseksi)
Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.

35 Diagram Venn Operasi Irisan

36 Rp milik A dan juga milik B

37 5 10 A

38 Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.
Gabungan (Union) dua kejadian Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B. Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }

39 Diagram Venn Operasi Gabungan

40 B A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

41 S K A

42 S K A

43 Beberapa aturan dasar probabilitas
Secara umum ada 2 aturan : - aturan penjumlahan - aturan perkalian Aturan Penjumlahan Kejadian Saling Meniadakan. ( Mutually exclusive event) Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan.

44 Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
P (A atau B) = P (A) + P (B) atau P ( A  B) = P (A) + P (B)

45 Tabel 12.8 Berat Kejadian Jumlah padat Probabilitas Lebih ringan A 100 Standar B 3600 Lebih berat C 300 Jumlah 4000 1,000 P (A atau C) = P ( A  C) = P (A) + P (C) = 0, ,075 = 0,10

46 Diagram Venn A B C

47 S1 S2 Sk N1 N2 Nk

48 Kejadian tidak saling meniadakan.
Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas, apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Peristiwa tidak saling lepas disebut juga peristiwa bersama.

49 P (A atau B ) = P(A) + P(B) - P(A dan B)
Jika dua peristiwa A dan B tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (A atau B ) = P(A) + P(B) - P(A dan B) P ( A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) P(Taman Mini atau Ancol) = P(Taman Mini) + P(Ancol) – P(Taman Mini atau Ancol)

50 Tabel 12.9 Kartu Probabilitas Penjelasan Raja (King)
4 kartu raja dalam 1 set kartu Hati (Heart) 13 kartu heart dalam 1 set kartu Raja bergambar hati 1 kartu raja bergambar heart dalam 1 set kartu

51 Merencanakan untuk membeli
Tabel Merencanakan untuk membeli Benar2 telah membeli Total Ya Tidak 200 50 250 100 650 750 300 700 1000 P ( A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

52 Contoh 53 82 164 10 93 68 30 S K A

53 - Kejadian tak bebas (dependent event)
Aturan Perkalian - Kejadian tak bebas (dependent event) - Kejadian bebas (independent event)

54 Kejadian tak bebas (bersyarat)
Probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi.

55 mahasiswa putri lama = 800 = (c)
A = 2000 mahasiswa lama (a) S = , seluruh mahasiswa (N) mahasiswa putri lama = 800 = (c) B = 3500 mahasiswa putri (b)

56

57 Pada umumnya probabilitas bersyarat dirumuskan sbb:

58 Tabel 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

59 Bukan Doktor Sudah menikah Belum menikah Pria 3 12 Wanita 10 5 Doktor Sudah menikah Belum menikah Pria 40 10 Wanita

60 Probabilitas kejadian interseksi
Rumus Aturan Umum dari Perkalian Probabilitas

61 Jadi Terbukti Kalau kejadiannya A, B dan C (3 kejadian), maka :
Pembuktiannya : misalnya Jadi Terbukti

62 Tidak merencanakan membeli
Diagram pohon Benar telah membeli Merencanakan membeli Tidak membeli Seluruh responden Benar telah membeli Tidak merencanakan membeli Tidak membeli

63 Kejadian Bebas (Independent Event)
Apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. P (AB) = P(A) P(B) = P(B) P(A) (A dan B merupakan kejadian bebas)

64 Contoh S = N

65 Probabilitas marginal
Probabilitas terjadinya suatu Peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain.

66 Contoh S = 1000 H 200 T 150 E 400 ME MH 50 K 250 MK MT 25 M

67 Rumus Bayes S Ax A1 A2 Ai A1A A2A AiA AxA A

68 Kotak 1 = A1 2 M 1 M 1 P 2 P Kotak 2 = A2 Kotak 3 = A3

69

70 PERMUTASI & KOMBINASI

71 PERMUTASI & KOMBINASI Koran Majalah TVRI k x m = 4 x 2 = 8 RRI
m 1 Plastik Koran k 1 m 2 Karton Majalah m 3 Plastik k 2 m 4 Karton m 5 Plastik TVRI k 3 m 6 Karton k x m = 4 x 2 = 8 RRI m 7 Plastik k 4 m 8 Karton

72 mk = 23 = 8 Tahun pertama 2 1 Tahun kedua 3 1 2 4 Tahun ketiga 1 2 3 4
5 6 7 8

73 Contoh 12.25 Ke Denpasar ( 3 pilihan ) Ke Surabaya Caranya = 6
1 M 1 M M Dari Jakarta 1 2 G 2 M G M 3 B 3 M B 1 M 4 G M 2 2 G 5 G G G 3 B 6 G B

74 Permutasi Pengertian Permutasi
Suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu, dimana urutan itu penting Contoh : ABC BCA

75 Contoh : 3 Objek ABC, pengaturan objek tersebut adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi permutasi 3 objek menghasilkan 6 pengaturan dengan cara yang berbeda. A B C 3 2 1 6 5 4 Permutasi Rank

76 3 cara  A, B dan C Jadi banyaknya permutasi merupakan hasil kali 3 x 2 x 1 = 6 Kalau ada 4 calon, banyaknya permutasi adalah 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Banyaknya permutasi = m(m-1)(m-2)…..(1) m = banyaknya elemen

77 Rumus-rumus Permutasi
Permutasi dari m obyek tanpa pengembalian. a. Permutasi dari n objek seluruhnya. Permutasi m obyek diambil m setiap kali

78 b. Permutasi sebanyak x dari m obyek.
Permutasi m obyek diambil x setiap kali

79 Contoh Untuk m = x = 5

80 KOMBINASI Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut . ABC = ACB = BCA LUCY = UCYL

81 Rumus-rumus Kombinasi :
a. Kombinasi x dari m objek yang berbeda. Combinasi m obyek diambil x setiap kali

82 Contoh a. Jika N = 3 , n = 2, maka 3 sampel tsb. ialah : X1X2 ; X1X3 dan X2X3

83 Contoh c. P (2 merah dan 1 putih)

84 Contoh Jika m = 7 dan x = 4 maka :

85 Hubungan permutasi dengan kombinasi.
Hubungan permutasi dan kombinasi dinyatakan sebagai berikut :