Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Review Aljabar Linear Matrix Operations Transpose Inverses & Orthogonality Eigenvalues & RankReviewReview Idempotent Matrix & Trace 1.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Review Aljabar Linear Matrix Operations Transpose Inverses & Orthogonality Eigenvalues & RankReviewReview Idempotent Matrix & Trace 1."— Transcript presentasi:

1 Review Aljabar Linear Matrix Operations Transpose Inverses & Orthogonality Eigenvalues & RankReviewReview Idempotent Matrix & Trace 1

2 Matrix Operation 2

3 Pengertian Matriks Matriks: kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi yang disusun menurut baris dan kolom Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut elemen atau anggota matriks Contoh: 3

4 Beberapa Operasi Matriks  Misal X dan Y adalah matriks berdimensi n x k, anggota matriks X dan Y adalah x ij dan y ij ; i= 1,2,..,n; j= 1,2,..,k X + Y : matriks beranggota x ij + y ij X - Y : matriks beranggota x ij - y ij cX : matriks beranggota cx ij  Misal X dan Y: matriks berdimensi n x k dan k x m, maka perkalian XY: 4

5 Sifat-sifat Operasi Matriks  Jika X dan Y: matriks n x k, maka X+Y = Y+X  Jika X dan Y: matriks n x k, maka X+(Y+Z) = (X+Y)+Z  Jika X dan Y conformable, maka X(YZ) = (XY)Z  Jika X matriks n x k, Y dan Z matriks k x m, maka X(Y+Z) = (XY+XZ)  Jika X matriks n x k, Y dan Z matriks m x n, maka (Y+Z)X = (YX+ZX)  Jika X(n x k), Y(k x m), dan c angka riil, maka X(cY) = c(XY)  Jika a dan b angka riil, X(n x k), maka (a+b)X = aX + bX  Jika X dan Y: matriks n x k, maka c(X+Y) = cY + cX  Jika X matriks n x k, 0 matriks nol, maka X+0 = 0+X = X  Jika X matriks n x k, Y negatif matriks X, maka X+Y = 0 5

6 Partisi Matriks Bila: Maka: XY=? 6

7 Transpose 7

8 Pengertian Transpose Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom diubah menjadi baris Contoh: 8

9 Sifat-sifat Transpose  Jika X(n x k), dan c angka riil, maka (cX) T = cX T  Jika X dan Y: matriks n x k, maka (X ± Y) T = X T ± Y T  Jika X(n x k), maka (X T ) T = X  Jika X matriks n x k, dan Y matriks k x m, maka (XY) T = Y T X T  Jika X suatu matriks simetris jika dan hanya jika X T = X 9 Contoh:

10 Inverses & Orthogonality 10

11 Pengertian Invers (Matriks Balikan) Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A apabila: A B = B A = I atau B = A -1 dan A = B -1 Contoh: 11 Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dapat dikatakan sebagai matriks tunggal (singular)

12 Sifat-sifat Invers Jika matriks X nonsingular, maka X -1 juga nonsingular dan (X -1 ) -1 = X 12 Jika X dan Y nonsingular (k x k), maka XY juga nonsingular dan (XY) -1 = Y -1 X -1 Jika X nonsingular, maka X T juga nonsingular dan (X T ) -1 = (X -1 ) T

13 Penghitungan Invers suatu Matriks Ordo 2x2 13 Ordo 3x3

14 Penghitungan Invers suatu Matriks 14 Ordo 3x3

15 Penghitungan Determinant suatu Matriks Determinan: suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar 15 Ordo 2x2

16 Penghitungan Determinant suatu Matriks 16 Ordo 3x3 Metode Penentuan Determinant: 1. Dengan Minor dan Kofaktor 2. Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama 3. Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama 4. Metode Sarrus 5. Determinant matriks segitiga atas

17 Penghitungan Determinant suatu Matriks Dengan Minor dan Kofaktor

18 Penghitungan Determinant suatu Matriks Dengan Minor dan Kofaktor

19 Penghitungan Determinant suatu Matriks Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama

20 Penghitungan Determinant suatu Matriks Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

21 Penghitungan Determinant suatu Matriks Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

22 Penghitungan Determinant suatu Matriks Metode Sarrus

23 Penghitungan Determinant suatu Matriks Determinant matriks segitiga atas (multi ordo)

24 Orthogonality Matrix 24 Implikasi: 1. Setiap matriks ortogonal adalah square Jika X matriks(k x k) sedemikian bahwa X T X = I, maka matriks A dikatakan orthogonal 2. Karena X T X = I, maka X -1 = X T Vektor x dan y (nx1) ortogonal jika dan hanya jika:

25 Eigenvalues & Rank 25

26 Pengertian Eigenvalues Jika A matriks (k x k) dan x vektor nonzero (k x 1) yang memenuhi persamaan Ax = λx, dimana λ adalah skalar. Maka λ adalah suatu eigenvalues dari A yang terkait dengan eigenvactor x Penentuan besaran eigenvalues: 26 Ax = λx(A – λI)x = 0atauX = (A – λI) -1 0= 0 Karena x nonzero, maka A – λI harus singular dan, determinant harus = 0. Sehingga eigenvalues suatu matriks dapat dihitung dengan rumus:

27 Pengertian Eigenvalues 27 Contoh: mengimplikasikan ada dua eigenvalue : = -6 dan =4

28 Eigenvalues dan Eigenvector Untuk matrix A dengan eigenvalue, maka suatu vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax = x, disebut eigenvector (characteristic vector) dari A yang berhubungan dengan.

29 Eigenvalues dan Eigenvector Dari contoh sebelumnya: Untuk x 1 =1 maka x 2 = –2. eigenvalues = -6 dan = 4, eigenvector dari A yang berhubungan dengan = -6 adalah:

30 Eigenvalues dan Eigenvector Eigenvectors biasanya dinormalkan sehingga panjangnya 1, yaitu: Sehingga pemilihan sembarang x 1 =1 di atas tidak berpengaruh terhadap eigenvector yang berhubungan dengan = -6. Untuk contoh sebelumnya diperoleh:

31 Eigenvalues dan Eigenvector Untuk eigenvalue = 4, diperoleh: Dengan sembarang pemilihan x 1 =1, menghasilkan solusi x 2 =1/2.

32 Eigenvalues and Eigenvectors Normalisasi sehingga panjangnya 1 menghasilkan:

33 Latihan Tentukan eigenvalues dan eigenvector dari matriks berikut:

34 Pengertian Rank Rank dari matriks X (dinyatakan dengan r(X): banyaknya vektor linier independen terbesar yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari A. Sifat: Misal X(n x k) dengan rank k dimana n ≥ k (full rank), maka r(X) = r(X’) = r(X’X) = k 2. Matriks X(k x k) nonsingular jika dan hanya jika r(X) = k 3. Jika matriks X(n x k), matriks P(n x n) dan Q(k x k) nonsingular, maka r(X) = r(PX) = r(XQ) 4. Rank dari suatu diagonal matriks = jumlah kolom nonzero 5. Rank dari XY atau r(XY) ≤ r(X) dan r(XY) ≤ r(Y)

35 Pengertian Rank Contoh: Karena a 3 = ½ a 1 + ½ a 2, serta a 1 dan a 2 linear independent maka rank dari A adalah 2 Jika A (nxp) dengan n  p dan rank A = p maka A disebut matriks ber-rank penuh (full rank )

36 Idempotent Matrix & Trace 36

37 Pengertian Idempotent Matrix Matriks A dikatakan idempotent matriks jika A 2 = A. Contoh: 37 Misal X(n x k) matriks full rank. Ingin dibuktikan bahwa matriks H(n x n) = X(X'X) -1 X' adalah idempotent matriks H 2 = [X(X'X) -1 X' ] [X(X'X) -1 X' ] = X(X'X) -1 (X' X)(X'X) -1 X' karena (X'X)(X'X) -1 = 1, maka: H 2 = X(X'X) -1 X' = H

38 Pengertian Trace Trace dari matriks A(k x k), dinyatakan sebagai tr(X): jumlah seluruh nilai pada diagonal utama. Formula: 38 Contoh:

39 Sifat Trace 1. Misal c suatu angka riil, maka tr(cX) = ctr(X) tr(X ± Y) = tr(X) ± tr(Y) 3. Jika X(n x p) dan Y(p x n), maka tr(XY) = tr(YX) Contoh (3):


Download ppt "Review Aljabar Linear Matrix Operations Transpose Inverses & Orthogonality Eigenvalues & RankReviewReview Idempotent Matrix & Trace 1."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google