Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan). 8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A –1 = A T disebut.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan). 8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A –1 = A T disebut."— Transcript presentasi:

1 BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan)

2 8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A –1 = A T disebut sebagai matriks ortogonal. Dari definisi kita dapat menyimpulkan bahwa suatu matrik persegi dikatakan ortogonal jika dan hanya jika AA T = A T A = I

3 Contoh 8.12 Buktikan bahwa matriks ortogonal Bukti

4 Karena A T A = I, maka terbukti bahwa matriks A adalah matriks ortogonal

5 Teorema Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen untuk sebuah matriks A, n x n. a) A adalah matriks ortogonal b)Vektor-vektor baris matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R n yang memiliki hasilkali dalam Euclidean. c) Vektor-vektor kolom A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R n yang memiliki hasilkali dalam Euclidean.

6 Contoh 8.13 Tunjukkan bahwa adalah ortogonal dengan menunjukkan: a) vektor-vektor baris matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R 2 b)vektor-vektor kolom matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R 2 Penyelesaian

7 Karena 〈r 1, r 2 〉 = 0 dan ||r 1 || = ||r 2 || = 1, berarti vektor- vektor baris dari matriks A membentuk suatu himpunan ortonormal. a)

8 b) Karena 〈c 1, c 2 〉 = 0 dan ||c 1 || = ||c 2 || = 1, berarti vektor- vektor kolom dari matriks A membentuk suatu himpunan ortonormal.

9 Teorema a) Invers dari sebuah matriks matriks ortogonal adalah sebuah matriks ortogonal b)Hasilkali matriks-matriks ortogonal akan menghasilkan sebuah matriks ortogonal c)Jika A ortogonal, maka det (A) = 1 atau det (A) = –1

10 Contoh 8.14 Telah ditunjukkan pada contoh 8.13 bahwa adalah ortogonal, sehingga berdasarkan teorema 8.4.2c, det (A) = 1 atau det (A) = –1

11 8.4.1 Matriks Koordinat Dari teorema sebelumnya, jika S = {v 1, v 2, …, v n } adalah sebuah basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v didalam V dapat dinyatakan secara unik sebagai sebuah kombinasi linier dari vektor-vektor basis, v = k 1 v 1 + k 2 v 2 + … + k n v n Skalar k 1, k 2, …, k n adalah koordinat-koordinat v relatif terhadap S dan vektor (v) S = (k 1, k 2, …, k n ) adalah vektor koordinat dari v relatif terhadap S.

12 Jika (v) S ditulis dalam bentuk matriks n x 1, Selanjutnya [v] S didefinisikan sebagai matriks koordinat dari vektor v relatif terhadap S Contoh 8.15 Tentukan matriks koordinat v relatif terhadap S = {v 1, v 2, v 3 } jika v = (2, –1, 3); v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (2, 2, 0), v 3 = (3, 3, 3,) Penyelesaian

13 v = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 (2, –1, 3) = k 1 (1, 0, 0) + k 2 (2, 2, 0) + k 3 (3, 3, 3) k 1 + 2k 2 + 3k 3 = 2 0k 1 + 2k 2 + 3k 3 = –1 0k 1 + 0k 2 + 3k 3 = 3

14 8.4.2 Perubahan Basis Jika ada perubahan basis sebuah ruang vektor V dari basis lama B ke basis baru B, maka matriks koordinat v lama, yaitu [v] B berubah menjadi koordinat baru [v] B. Misal B = {u 1, u 2 } adalah basis lama dan B = {u 1, u 2 } adalah basis baru untuk R 2. Matriks-matriks koordinat untuk vektor-vektor basis yang baru relatif terhadap basis yang lama adalah, dan Untuk medapatkan nilai a, b, c, dan d selesaikan persamaan berikut. u 1 = au 1 + bu 2 u 2 = cu 1 + du 2

15 Hubungan matriks koordinat lama [v] B dengan matriks koordinat baru [v] B dari sebuah vektor v yang sama adalah, Selanjutnya didapat matriks transisi dari basis baru B ke basis lama B, [ [u 1 ] B [u2]B[u2]B … [un]B[un]B ] P = [v] B = P[v] B

16 Contoh 8.16 Diketahui basis B = {u 1, u 2 } dan basis B = {u 1, u 2 } untuk R 2. Jika u 1 = (1, 0); u 2 = (0, 1); u 1 = (1, 1); u 2 = (2, 1), tentukan: a) matriks transisi dari B ke B b) Tentukan [v] B, jika Penyelesaian

17 a) u 1 = au 1 + bu 2  (1, 1) = a(1, 0) + b(0, 1) 1 = 1a + 0b  a = 1 1 = 0a + 1b  b = 1 u 2 = cu 1 + du 2  (2, 1) = c(1, 0) + d(0, 1) 2 = 1c + 0d  c = 2 1 = 0c + 1d  d = 1 Matriks transisi dari B ke B b)

18 Contoh 8.17 Diketahui basis B = {u 1, u 2 } dan basis B = {u 1, u 2 } untuk R 2. Jika u 1 = (1, 0); u 2 = (0, 1); u 1 = (1, 1); u 2 = (2, 1), tentukan matriks transisi dari B ke B Penyelesaian u 1 = au 1 + bu 2  (1, 0) = a(1, 1) + b(2, 1) 1 = 1a + 2b 0 = 1a + 1b Didapat a = –1 dan b = 1

19 u 2 = cu 1 + du 2  (0, 1) = c(1, 1) + d(2, 1) 0 = 1c + 2d 1 = 1c + 1d Didapat c = 2 dan d = –1 Matriks transisi dari B ke B

20 Teorema Jika P adalah matriks transisi dari sebuah basis B ke sebuah basis B untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, maka: a) P dapat dibalik (invertible) b)P -1 adalah matriks transisi dari dari B ke B Kesimpulan: Jika matriks transisi dari basis baru B ke sebuah basis lama B adalah P, maka matriks transisi dari basis lama B ke basis baru B adalah P -1 Jadi matriks transisi contoh 8.17 dapat langsung dicari dengan cara melakukan proses invers pada matriks P

21 8.4.3 Perubahan Basis Ortonormal Teorema Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal lainnya untuk sebuah ruang hasilkali dalam, maka P adalah sebuah matriks ortogonal. Jadi P -1 = P T

22 Latihan 1. Buktikan bahwa matriks berikut adalah matriks ortogonal 2. Tentukan matriks koordinat untuk v relatif terhadap S = {v 1, v 2, v 3 } jika v = (1, 2, –3); v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (2, 0, 2), v 3 = (1, 1, 1)


Download ppt "BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan). 8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A –1 = A T disebut."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google