Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y."— Transcript presentasi:

1 Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y

2 Time Schedule Tuesday 1.30 – 3.20 pmP 621.A Theory Thursday1.30 – 3.20 pm Responsive Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

3 Expectations Attend class regularly  presence min 75% Come on time Do your own work, exam Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

4 Grading Policy Assignments 10% Test/ Quiz 20% Midterm exam 35% Final exam 35% Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

5 Textbook Boyce, W.E., Diprima, R.C., 1986, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons Inc., New York. Kreyszig, E., 1993, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc., New York. Anton, H., 1991, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons Inc., Singapore. Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

6 Basic Course Outline Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua Integral Rangkap Midterm Transformasi Laplace Deret Fourier Final Aljabar Matrik Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

7 Pengertian Persamaan Diferensial Adalah persamaan yang mengandung turunan suatu fungsi yang belum diketahui, yang disebut y(x) dan persamaan tersebut yang harus dicari. Persamaan diferensial dibedakan menjadi 2, yaitu: 1. Persamaan diferensial (PD) biasa 2. Persamaan diferensial (PD) parsial Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

8 PD Biasa Adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan suatu fungsi y yang belum diketahui; persamaan tersebut mungkin juga melibatkan y itu sendiri, fungsi peubah x dan konstanta. Contoh: y’ = cos x y” + 4y = 0 x 2 y”’y’ +2e x y” = (x 2 + 2)y 2 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

9 PD Parsial Adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan parsial suatu fungsi dua atau lebih peubah bebas. Contoh: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

10 PD Linier PD linier tingkat 1 PD linier tingkat 2 PD linier tingkat 2 homogen (if r(x)=0) PD linier tingkat 2 non homogen (if r(x)≠0; r(x) = f(x)) (1) (2) (3) (4) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

11 Jika suku pertama pada persamaan ke(2), misal f(x)y”, maka kita harus membagi dengan f(x) untuk memperoleh bentuk baku persamaan (2), dengan y” sebagai suku pertama. p, q dan r adalah sembarang fungsi dari x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

12 PD Linier Homogen Tingkat 2 Jika p & q konstanta dan nyata Maka, (5) Subtitusi (5) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

13 Persamaan karakteristik Persamaan kuadrat di atas mempunyai akar persamaan yang berbeda, tergantung pada nilai diskriminan p 2 -4q: Kasus I : Dua akar nyata & berlainan, if p 2 -4q > 0 Kasus II : Dua akar nyata dan kembar, if p 2 -4q = 0 Kasus III : Dua akar kompleks/ imajiner, if p 2 -4q < 0 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

14 Example Dua akar nyata & berlainan y” + y’ – 2y =0 k 2 + k – 2 = 0 (k-1)(k+2)=0 k = 1 dan k = -2 y 1 = e x dan y 2 = e -2x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

15 Dua akar nyata dan kembar y” - 2y’ + y =0 k 2 - 2k + 1 = 0 (k-1)(k-1)=0 k = 1 dan k = 1 y 1 = e x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

16 Dua akar kompleks/ imajiner y” + y =0 k = 0 k = i (= √-1) dan -i y 1 = e ix dan y 2 = e -ix Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

17 Dua akar nyata dan berlainan k 1 and k 2 The general solution is k 1 ≠ k 2 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

18 Example 1: y”-5y’+6y = 0substitute k 2 – 5k + 6 = 0 k 1 = 2 or k 2 = 3 y”-5y’+6y = 0 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

19 y”-5y’+6y = 0 (4c 1 e 2x + 9c 2 e 3x ) – 5(2c 1 e 2x + 3c 2 e 3x ) + 6(c 1 e 2x + c 2 e 3x ) = 0 (4 – )c 1 e 2x + (9 – )c 2 e 3x = Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

20 Example 2: y”-6y’- 7y = 0substitute k 2 – 6k - 7 = 0 (k+1)(k-7) = 0 k 1 = -1 or k 2 = 7 y”-6y’- 7y = 0 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

21 y”-6y’+ 7y = 0 (c 1 e -x + 49c 2 e 7x ) – 6(-c 1 e -x + 7c 2 e 7x ) - 7(c 1 e -x + c 2 e 7x ) = 0 ( )c 1 e -x + (49 – )c 2 e 7x = Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

22 Example 3: y”+ y’- 2y = 0, y(0)=4, y’(0)=-5 k 2 + k - 2 = 0 (k+2)(k-1) = 0 k 1 = -2 dan k 2 = 1 y (x) = c 1 e x + c 2 e -2x  y(0) = c 1 + c 2 = 4 y’(x) = c 1 e x - 2c 2 e -2x  y’(0) = c 1 - 2c 2 = -5 c 1 = 1; c 2 = 3  y = e x + 3 e-2x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

23 Dua akar kembar k 1 =k 2 The general solution is y = e mx (c 1 + c 2 x) k 1 = k 2 = m Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

24 Example 1: y”-6y’+9y = 0substitute k 2 – 6k + 9 = 0 (k – 3)(k-3) = 0 k 1 = k 2 = m = 3 y = e 3x (c 1 +c 2 x) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

25 Example 2: y”-4y’+4y = 0substitute k 2 – 4k + 4 = 0 (k – 2)(k - 2) = 0 k 1 = k 2 = m = 2 y = e 2x (c 1 +c 2 x) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

26 Example 3: y”+ y’+ 0,25y = 0, y(0)=3, y’(0)=-3,5 k 2 + k + 0,25 = 0 (k + 0,5) 2 = 0 k 1 = -0,5 dan k 2 = -0,5 y (x) = e -0,5x (c 1 + c 2 x)  y(0) = c 1 = 3 y’(x) = c 2 e -0,5x -0,5(c 1 + c 2 x)e -0,5x  y’(0) = c 2 – 0,5c 1 = -3,5 c 1 = 3; c 2 = -2  y = (3-2x)e -0,5x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

27 Dua akar kompleks/ imajiner The general solution is y = e ax (c 1 cos bx + c 2 sin bx) k 1,2 = a ± bi; i = √-1 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

28 Example 1: y” – 6y’ + 13y = 0 substitute k 2 – 6k + 13 = 0 = 3 ± 2i y = e 3x (c 1 cos 2x + c 2 sin 2x) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

29 Example 2: y” + 4y’ + 13y = 0 substitute k 2 + 4k + 13 = 0 = -2 ± 3i y = e -2x (c 1 cos 3x + c 2 sin 3x) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

30 Example 3: y”+ 0,4y’+ 9,04y = 0, y(0)=0, y’(0)= 3 k 2 + 0,4k + 9,04 = 0 k 1 = k 2 = -0,2±3i, b = 3 y = e -0,2x (c 1 cos 3x+ c 2 sin 3x)  y(0) = c 1 = 0 y = c 2 e -0,2x sin 3x y’(x) = c 2 (-0.2e -0,2x sin 3x + 3e -0,2x cos 3x)  y’(0) = 3c 2 = 3 c 1 = 0; c 2 = 1  y =e -0,2x sin 3x

31 Summary KasusAkar dari Persamaan dasar Persamaan umum I Nyata & berbeda k 1, k 2 e k1x, e k2x y = c 1 e k1x + c 2 e k2x II Kembar k 1 = k 2 = m e mx, xe mx y = e mx (c 1 + c 2 x) IIIKompleks/ imajiner k 1,2 = a ± bi e ax cos bx, e ax sin bx y = e ax (c 1 cos bx + c 2 sin bx)

32 Exercise y” – 6y’ + 8y = 0 y” + 8y’ + 16y = 0 2y” + y’ – y = 0 y” – y’ = 0 y” + y = 0; y(0) = 2; y’(0) = 3 y” – 5y’ + 6y = 0; y(0)=3; y’(0)=7 y” -4y’ + 4y = 0; y(0)=0; y’(0) = 3


Download ppt "Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google