Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB X TRANSFORMASI LINIER. 10.2 Kernel dan Jangkauan (Range) Definisi Jika T : V  W adalah sebuah transformasi linier, maka himpunan vektor-vektor pada.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB X TRANSFORMASI LINIER. 10.2 Kernel dan Jangkauan (Range) Definisi Jika T : V  W adalah sebuah transformasi linier, maka himpunan vektor-vektor pada."— Transcript presentasi:

1 BAB X TRANSFORMASI LINIER

2 10.2 Kernel dan Jangkauan (Range) Definisi Jika T : V  W adalah sebuah transformasi linier, maka himpunan vektor-vektor pada V yang dipetakan oleh T ke 0 disebut Kernel dari T (kernel of T ) dan dinotasikan dengan ker(T). Himpuan semua vektor pada W yang merupakan bayangan dari T dari setidaknya satu buah vektor pada V disebut jangkauan (range) dari T dan dinotasikan dengan R(T).

3 Contoh Tentukan kernel dan range (T) jika Penyelesaian

4

5

6 x 5 = 0 x 3 = –3x 4 + 2x 5 = –3x 4 x 1 = –1/2x 2 –2x 3 –4x 4 = –1/2x 2 + 2x 4 – 4x 5 = –1/2x 2 + 2x 4 Tentukan x 2 = 2s x 4 = t Sehingga x 3 = –3t x 1 = –s + 2t

7 10.3 Transformasi Linier Satu ke Satu Definisi Sebuah transformasi linier T : V  W disebut sata ke satu (one to one) apabila T memetakan vektor-vektor yang berbeda pada V ke vektor-vektor yang berbeda pada W.

8 Contoh Misal T : P n  P n+1 adalah transformasi linier T(p) = T(p(x)) = x p(x). Jika p = p(x) = c 0 + c 1 x + … + c n x n dan q = q(x) = d 0 + d 1 x + … + d n x n, adalah polinomial-polinomial yang berbeda, maka perbedaan itu terletak pada setidaknya pada satu koeffisien. Sehingga, T(p) = xp(x) = c 0 x + c 1 x 2 + … + c n x n+1 T(q) = xq(x) = d 0 x + d 1 x 2 + … + d n x n+1, juga dipastikan memiliki perbedaan setidaknya pada satu koeffisien. Karena T memetakan polinomial p dan q yang berbeda ke polinomial T(p) dan T(q) yang juga berbeda, maka T adalah satu ke satu.

9 Contoh Transformasi Linier yang Bukan Satu ke Satu Misal D : C 1 (– ,  )  F (– ,  ) adalah transformasi differensiasi yang memetakan sebuah fungsi f = f(x) ke fungsi turunan pertamanya; yaitu, D(f) = f (x) Misal f = x 2 dan q = x 2 + 1, maka D(x 2 ) = 2x dan D(x 2 + 1) = 2x Karena D memetakan dua fungsi yang berbeda ke fungsi turunan yang sama, maka transformasi linier D : C 1 (– ,  )  F (– ,  ) bukan satu ke satu.

10 Teorema 10.4 Pernyataan-pernyataan yang Ekivalen Jika T : V  W adalah sebuah transformasi linier, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen. (a) T adalah satu ke satu (b) Kernel dari T hanya mengandung vektor nol; yaitu ker(T) = {0} (c) nulitas (T) = 0

11 Contoh Penerapan teorema 10.4 Pada setiap bagian dibawah ini, tentukan apakah transformasi linier yang diberikan adalah satu ke satu dengan cara menentukan kernelnya atau nulitasnya dan menerapkan teorema (a) T : ℝ 2  ℝ 2 merotasikan setiap vektor sebesar sudut  (b) T : ℝ 3  ℝ 3 adalah proyeksi ortogonal pada bidang xy (c) T : ℝ 6  ℝ 4 adalah perkalian dengan matriks

12 Penyelesaian (a) ker(T) = {0} (b) ker(T) mengandung vektor-vektor tak-nol, maka T bukan satu ke satu. (c) Bentuk matriks A menjadi matriks diperluas berikut. Dengan melakukan OBE didapat,

13 Dari hasil OBE, x 1 = 2x 2 + 4x 4 + 5x 5 – 3x 6 Jika x 2 = s, x 3 = t, x 4 = u, x 5 = v, x 6 = w, maka x 1 = 2s + 4u + 5v – 3w nulitas (T) = dimensi kernel (T) = 4 Karena nulitas (T)  0, maka T bukan satu ke satu

14 Contoh Transformasi yang bukan satu ke satu Misal T A : ℝ 4  ℝ 4 adalah perkalian dengan Tentukan, apakah T A satu ke satu Penyelesaian Karena det A = 0, maka T A bukan satu ke satu

15 Latihan 1.Pada setiap bagian berikut, tentukan ker(T), dan tentukan juga apakah transformasi linier T yang diberikan adalah satu ke satu. (a) T : ℝ 2  ℝ 2, dimana T(x, y) = (y, x) (b) T : ℝ 2  ℝ 2, dimana T(x, y) = (0, 2x + 3y) (c) T : ℝ 2  ℝ 2, dimana T(x, y) = (x + y, x – y) (d) T : ℝ 3  ℝ 2, dimana T(x, y, z) = (x + y + z, x – y – z)

16 2. Pada setiap bagian di bawah ini, misalkan T : ℝ 2  ℝ 2 adalah perkalian dengan A. Tentukan apakah T memiliki sebuah inverse. Jika ya, tentukan

17 3. Pada setiap bagian di bawah ini, misalkan T : ℝ 3  ℝ 3 adalah perkalian dengan A. Tentukan apakah T memiliki sebuah inverse. Jika ya, tentukan

18

19


Download ppt "BAB X TRANSFORMASI LINIER. 10.2 Kernel dan Jangkauan (Range) Definisi Jika T : V  W adalah sebuah transformasi linier, maka himpunan vektor-vektor pada."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google