Interpolasi oleh Polinom

Presentasi berjudul: "Interpolasi oleh Polinom"— Transcript presentasi:

1 Interpolasi oleh Polinom
Analisa Numerik Interpolasi oleh Polinom

2 Pendahuluan Alat dasar pendekatan (aproksimasi) pada hampir semua bidang anum : polinom. Dalam solusi persamaan, aproksimasi fungsi, integral, & derivative, solusi persamaan integral & persamaan diferensial. Sifat polinom : Strukturnya sederhana, Mudah dioperasikan (+, -, *, /, dsb.) Pembentukan polinom Diberikan n+1titik yg. berbeda x0, x1, ..., xn pd. sb. x. Pada interval I=[a, b], f(x) terdefinisi & berharga riil di I. Tujuan : akan dibentuk polinom Pn(x) berderajat n yg. menginterpolasi f(x) pada x0, ..., xn & memenuhi Pn(xi) = f(xi), i = 0, ..., n Dapat dibuktikan hanya ada 1 Pn(x) (tetapi bentuk penulisannya bisa berbeda-beda.

3 Bentuk-Bentuk Polinom
Bentuk Power Paling buruk untuk ketelitian (lihat contoh 2.1). Bentuk Power tergeser (Shifted Power) [Newton] Bentuk Newton (bentuk umum dari no. 2) butuh n+n(n+1)/2 penjumlahan dan n(n+1)/2 perkalian.

4 Bentuk-Bentuk Polinom
Bentuk Newton Nested hanya perlu 2n penjumlahan & n perkalian. Bentuk Lagrange perlu 2n+1 penjumlahan , 2(n+1) perkalian. Hanya mudah untuk membuktikan bahwa Pn(x) unik. Bentuk Newton dengan Tabel Beda-Terbagi (divided difference)

5 Bentuk-Bentuk Polinom
Bentuk lain Contoh tabel : xi f[]=f() f[,] f[,,] f[,,,] f[,,,,] x0 f[x0] f[x0,x1] x1 f[x1] f[x0,x1,x2] f[x1,x2] f[x0,x1,x2,x3] x2 f[x2] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3,x4] f[x2,x3] f[x1,x2,x3,x4] x3 f[x3] f[x2,x3,x4] f[x3,x4] x4 f[x4]

6 Contoh Pemakaian Cari K(3.5) dng. memakai polinom berderajat 2 dng.
Bentuk Langrange. Bentuk Newton.

7 Contoh Pemakaian x K[]=K() K[,] K[,,] x0 1 1.5709 0.0006 x1 4 1.5727
0.0012 x2 6 1.5751

8 Algoritma Kalkulasi Koef. Newton  d = koefNew(x, d).
Input : x0, x1, ..., xn f(x0), f(x1), ..., f(xn) disimpan dlm. di, i = 0, ..., n Output : di sebagai f[xi, ..., xn], i = 0, ..., n Alg. : for k = 1, ..., n do for i = 0, ..., n-k do di = (di+1-di)/(xi+k-xi) Perhitungan v = Pn(z)  v = evalNew(z, d). Input : di sebagai f[xi, ..., xn], i = 0, ..., n x1, ..., xn Output : v sebagai Pn(z) Alg : v = f[x0, ..., xn] for i = 1, ..., n do v = f[xi, ..., xn] + z(xi)v