Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

FUNGSI Pertemuan Ke-5. Tujuan Instruksional Khusus  Memahami konsep fungsi pada himpunan  Memahami macam-macam fungsi  Memahami tentang invers dan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "FUNGSI Pertemuan Ke-5. Tujuan Instruksional Khusus  Memahami konsep fungsi pada himpunan  Memahami macam-macam fungsi  Memahami tentang invers dan."— Transcript presentasi:

1 FUNGSI Pertemuan Ke-5

2 Tujuan Instruksional Khusus  Memahami konsep fungsi pada himpunan  Memahami macam-macam fungsi  Memahami tentang invers dan komposisi fungsi

3 A disebut domain B disebut codomain {b,t} disebut range axax b v t f AB Definisi: f : A  B  A dan B adalah himpunan. Fungsi f memasangkan tepat satu nilai di B kepada setiap elemen A. Notasinya f(a) = b, di mana b adalah nilai unique (satu-satunya) yang dipasangkan kepada a

4 Syarat Fungsi f : A  B  Pada A : Tiap elemen pada A harus ada pasangan di B Tidak boleh ada cabang  Pada B : Elemen pada B boleh tidak ada pasangan Boleh ada cabang

5 Contoh  F={(1,u),(2,v),(3,w)}  Dari A={1,2,3} dan B={u,v,w}

6 Contoh  F={(1,u),(2,v),(3,w)}  Dari A={1,2,3,4} dan B={u,v,w}   f bukan fungsi, karena ada elemen pada A yang tidak ada pasangannya

7 Contoh  F={(1,u), (1,v)(2,v),(3,w)}  Dari A={1,2,3} dan B={u,v,w}   f bukan fungsi, karena ada elemen pada A yang bercabang

8 Contoh  F={(1,u),(2,u),(3,v)}  Dari A={1,2,3} dan B={u,v,w}   f adalah fungsi

9 Terminologi: f: A  B  Fungsi f memetakan (maps) A ke B  A = domain dari fungsi f, B = codomain dari fungsi f  f(a) = b, b disebut image (bayangan) dari a, a disebut pre-image dari b  Himpunan bagian dari B yang berisi semua bayangan disebut range dari fungsi f

10 Contoh  Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x2 A = Z = { … -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } = domain B = Z = codomain, { 0, 1, 2, 3, … } = range  Fungsi f adalah fungsi floor A = R = { bilangan nyata } = domain B = Z = { bilangan bulat } = codomain, range

11  Let us take a look at the function f:PC with  P = {Linda, Max, Kathy, Peter}  C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow}  f(Linda) = Moscow  f(Max) = Boston  f(Kathy) = Hong Kong  f(Peter) = New York  Here, the range of f is C. Contoh Mencari Range

12  Let us re-specify f as follows:  f(Linda) = Moscow  f(Max) = Boston  f(Kathy) = Hong Kong  f(Peter) = Boston  Is f still a function? yes {Moscow, Boston, Hong Kong} What is its range? Contoh mencari range

13 Cara menggambarkan fungsi  Other ways to represent f: xf(x) LindaMoscow MaxBoston Kathy Hong Kong PeterBoston LindaMax Kathy PeterBoston New York Hong Kong Moscow

14 Definisi  f1 : A  R, f2 : A  R (f1 + f2) (x) = f1(x) + f2(x) (f1 f2) (x) = f1(x) f2(x)  f : A  R S = himpunan bagian dari A f(S) = { f(s) | s  S }

15 Contoh  Contoh 1: f 1 : R  R; f 2 : R  R f 1 (x) = x 2 ; f 2 (x) = x - x 2 (f 1 + f 2 )(x) = f 1 (x) + f 2 (x) = (x 2 ) + (x - x 2 ) = x (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x)f 2 (x) = (x 2 )(x - x 2 ) = x 3 - x 4  Contoh 2: A = { a, b, c, d, e }; S = { b, c, d } B = { 1, 2, 3, 4} f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 4, f(d) = 1, f(e) =1 f(S) = { 1, 4 }

16 Contoh  Let us look at the following well-known function:  f(Linda) = Moscow  f(Max) = Boston  f(Kathy) = Hong Kong  f(Peter) = Boston  What is the image of S = {Linda, Max} ?  f(S) = {Moscow, Boston}  What is the image of S = {Max, Peter} ?  f(S) = {Boston}

17 Jenis fungsi: f: A  B  One-to-one, injective Adalah element pada A mempunyai 1 pasangan pada B f fungsi injective  x y [ f(x) = f(y)  x = y ] Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A Contoh:  Tentukan fungsi f dari {a,b,c,d} ke {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)= 1, dan f(d)=3 adalah fungsi one-to-one ? a 1 b c d

18 Jenis fungsi: f: A  B  Onto, surjective Adalah semua element pada B ada pasangannya, tidak masalah jika ada cabang pada B f fungsi surjective  y x [ f(x) = y ] Universe (x) = domain = A; universe (y) = codomain (f) = B a 1 b c d 3 2

19 Jenis fungsi: f: A  B  One-to-one correspondence, bijective Adalah jika fungsi tersebut mempunyai sifat :  One to one dan  surjektive f fungsi bijective jika f injective dan surjective a 1 b c d 4 3 2

20 Contoh  Is f injective?  No.  Is f surjective?  No.  Is f bijective?  No.LindaMax Kathy PeterBoston New York Hong Kong Moscow

21 Contoh  Is f injective?  No.  Is f surjective?  Yes.  Is f bijective?  No.LindaMax Kathy PeterBoston New York Hong Kong Moscow Paul

22 Contoh  Is f injective?  Yes.  Is f surjective?  No.  Is f bijective?  No.LindaMax Kathy PeterBoston New York Hong Kong Moscow Lübeck

23 Contoh  Is f injective?  No! f is not even a function!LindaMax Kathy PeterBoston New York Hong Kong Moscow Lübeck

24 Contoh  Is f injective?  Yes.  Is f surjective?  Yes.  Is f bijective?  Yes. Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Lübeck Helena

25 Jenis fungsi: f: A  B  Strictly increasing x y [ ( x  y )  ( f(x)  f(y) ) ] Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A  Strictly decreasing x y [ ( x  y )  ( f(x)  f(y) ) ] Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A  Fungsi identitas f : A  A f(x) = x

26 a b f –1 A B f Fungsi invers  f : A  B di mana f(a) = b  f –1 : B  A di mana f –1 (b) = a  Catatan: f dan f –1 harus bijective

27 Inversion Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Lübeck Helenaf f-1

28 Inversion Example: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Lübeck f(Helena) = New York Clearly, f is bijective. The inverse function f-1 is given by: f-1(Moscow) = Linda f-1(Boston) = Max f-1(Hong Kong) = Kathy f-1(Lübeck) = Peter f-1(New York) = Helena Inversion is only possible for bijections (= invertible functions)

29 Contoh  F={(1,u),(2,v),(3,w)} maka  F -1 = {(u,1), (v,2), (w,3)}  Dari A={1,2,3} dan B={u,v,w}

30 Inversion Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Lübeck Helenaf f-1  f -1 :CP is no function, because it is not defined for all elements of C and assigns two images to the pre- image New York.

31 g f f  g a g(a) f(g(a)) Komposisi dua fungsi f dan g  Catatan: fungsi yang paling kanan dioperasikan paling awal, selanjutnya fungsi di samping kirinya, demikian seterusnya. (f  g) (a) = f(g(a))

32 af(a) =b x f(x) undefined u f(u) = v Total Function Partial Function Function

33 Tugas


Download ppt "FUNGSI Pertemuan Ke-5. Tujuan Instruksional Khusus  Memahami konsep fungsi pada himpunan  Memahami macam-macam fungsi  Memahami tentang invers dan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google