Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

ALJABAR LINIER. Deskripsi : Mata Kuliah ini mempelajari tentang matriks dengan sifat-sifat serta operasinya, vektor beserta sifat dan operasinya, aplikasi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "ALJABAR LINIER. Deskripsi : Mata Kuliah ini mempelajari tentang matriks dengan sifat-sifat serta operasinya, vektor beserta sifat dan operasinya, aplikasi."— Transcript presentasi:

1 ALJABAR LINIER

2 Deskripsi : Mata Kuliah ini mempelajari tentang matriks dengan sifat-sifat serta operasinya, vektor beserta sifat dan operasinya, aplikasi matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linier, serta aplikasi matriks dalam bentuk kuadrat, bentuk bilinier dan bentuk hermit

3 ALJABAR LINIER Tujuan instruksional umum : mahasiswa mengerti dan memahami tentang matriks dan vektor serta operasi terhadapnya serta dapat mengaplikasikan dalam persoalan- persoalan sehari-hari Buku acuan : Anton, Howard, “Aljabar Linier Elementer”, Edisi 8 Jilid 1, Erlangga, Jakarta 1997

4 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS - Untuk memudahkan menentukan lokasi tempat duduk, dapat dibuat denah berdasarkan baris dan kolom - Banyaknya lulusan STIS berdasarkan jurusan jenis kelamin dapat dibuat tabel JK\JurusanKomputasiEkonomiSosial Laki-laki Perempuan

5 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Dengan menghilangkan judul baris dan kolomnya, penulisan data tersebut dapat diringkas menjadi: Definisi : Sebuah matriks adalah susunan kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom (dengan menggunakan kurung biasa atau siku).

6 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Sebuah matriks dapat diberi nama menggunakan huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya. Misalnya nama matriks di atas adalah matriks A. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan elemen/entri dalam matriks A.

7 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Matriks A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom, oleh karena itu disebut berordo 2x3. Baris pertama Baris kedua Kolom Pertama Kolom kedua Kolom ketiga

8 MATRIKS Definisi Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom m baris n kolom di katakan matriks A berukuran m x n

9 Baris ke-i dari A adalah : Kolom ke-j dari A adalah : Matriks A dapat juga ditulis : A = [a ij ] Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a 11, a 22, …, a nn disebut dengan diagonal utama

10 Jenis – jenis Matriks 1. Matriks Diagonal  Matriks b.s. dengan elemen diluar diagonal utama adalah nol, yaitu a ij = 0 untuk i  j 2. Matriks Skalar  Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah sama, yaitu a ij = c untuk i = j dan a ij = 0 untuk i  j 3. Matriks Segitiga Atas  Matriks b.s. dengan elemen dibawah diagonal utama adalah nol

11 Jenis – Jenis Matriks 4. Matriks Segitiga Bawah  Matriks b.s. dengan elemen diatas diagonal utama adalah nol 5. Matriks Identitas  Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah 1, yaitu a ij = 1 untuk i = j dan a ij = 0 untuk i  j 6. Matriks Nol  Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

12 Operasi Matriks Persamaan Dua Matriks Penjumlahan Matriks Perkalian Skalar dan Matriks Transpose Matriks Perkalian Matriks

13 Persamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A = [a ij ] dan B = [b ij ] dikatakan sama jika : a ij = b ij, 1  i  m, 1  j  n yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama. Contoh : Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

14 Penjumlahan Matriks Definisi Jika A = [a ij ] dan B = [b ij ] adalah matriks ukuran m x n, maka jumlah A dan B adalah matriks C = [c ij ] ukuran m x n dengan c ij = a ij + b ij Contoh Diberikan Matriks A dan B adalah maka

15 Perkalian Skalar & Matriks Definisi Jika A = [a ij ] ukuran m x n dan r adalah sebarang skalar real, maka perkalian skalar rA adalah matriks B = [b ij ] ukuran m x n dengan b ij = r a ij Contoh Jika r = -3 dan maka

16 Transpose Matriks Definisi Jika A = [a ij ] adalah matriks ukuran m x n, maka transpose dari A adalah matriks A t = [a ij t ] ukuran n x m dengan a ij t = a ji Contoh maka

17 Transpose Matriks Matriks Simetrik Matriks A yang berukuran nxn disebut matriks simetrik jika dan hanya jika a ij = a ji untuk semua I dan j. Teorema-teorema di bawah ini berhubungan dengan transpose matriks. 1. (A T ) T = A 2. (A+B) T = A T + B T

18 Transpose Matriks 4. (kA) T = k(A T ) 5. (AB) T = B T A T 6. (A r ) T = (A T )r 7. Jika A adalah matriks bujursangkar, maka A + A T adalah matriks simetrik 8. Untuk sembarang matriks A, maka AA T dan A T A adalah matriks simetri

19 Perkalian Matriks Definisi Jika A = [a ij ] ukuran m x p dan B = [b ij ] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [c ij ] ukuran m x n dimana c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a ip b pj Ilustrasi row i (A)col j (B) = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a ip b pj = c ij row i (A) Col j (B)

20 Latihan Soal 1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut: Jika mungkin, maka hitunglah a. ABd. CB + Dg. BA + FD b. BAe. AB + DFh. A(BD) c. A(C + E)f. (D + F)A

21 2. Sebuah perusahaan membuat dua macam product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y. Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi khusus juga dihasilkan dalam proses pembuatan product tersebut. Jumlah polutan – polutan yang dihasilkan tersebut diberikan (dalam kg) dalam bentuk matriks berikut : Sulfur dioxide Nitric oxide Materi khusus Product P Product Q

22 Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – polutan tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk itu per kg adalah (dalam dollar) diberikan dalam matriks B berikut : apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ? Tanaman XTanaman Y Sulfur dioxide Nitric oxide Materi khusus

23 TEOREMA DALAM PERKALIAN MATRIKS 1.(AB)C = A(BC) untuk matriks A berukuran mxn, Matriks B berukuran nxp dan matriks C berukuran pxq 2.t(AB) = (tA)B = A(tB) 3.A(-B) = (-A)B = -(AB) 4.(A+B)C = AC + BC untuk matriks A dan B yang berukuran mxn dan matriks C berukuran nxp 5.D(A+B) = DA + DB untuk matriks A dan B yg berukuran mxn dan matriks D yg berukuran pxm

24 TEOREMA DALAM PERKALIAN MATRIKS 6.A r = A A A A …. A r kali 7.A r A s = A rs 8.(A r ) s = A rs

25 Teorema :  A + B = B + A  A + (B + C) = (A+B) + C  A(BC) = (AB)C  A(B+C) = AB + AC  (B+C)A = BA + CA  A(B-C) = AB – AC  (B-C)A = BA – CA  k(B+C) = kB + kC  k(B-C) = kB– kC  (k+l)A = kA + lA  (k-l)A = kA - lA  (kl)A = k(lA)  k(AB) = (kA)B = A(kB)


Download ppt "ALJABAR LINIER. Deskripsi : Mata Kuliah ini mempelajari tentang matriks dengan sifat-sifat serta operasinya, vektor beserta sifat dan operasinya, aplikasi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google