Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN. 6.1 RUANG BERDIMENSI n EUCLIDEAN Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan (ordered n tuple) adalah.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN. 6.1 RUANG BERDIMENSI n EUCLIDEAN Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan (ordered n tuple) adalah."— Transcript presentasi:

1 BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

2 6.1 RUANG BERDIMENSI n EUCLIDEAN Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan (ordered n tuple) adalah suatu urutan dari n bilangan ril (a 1, a 2,..., a n ). Himpunan semua tupel n berurutan disebut ruang berdimensi n (n-space) dan dinyatakan sebagai R n. Tripel berurutan (a 1, a 2, a 3 ) dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai suatu titik atau suatu vektor z y x  (a 1, a 2, a 3 ) z y x

3 Definisi Dua vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) pada R n disebut sama (equal) jika u 1 = v 1, u 2 = v 2, …, u n = v n Jumlah (sum) u + v didefinisikan sebagai u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, …, u n + v n ) Jika k adalah suatu skalar, maka kelipatan skalar (scalar multiple) ku didefinisikan sebagai ku = (ku 1, ku 2,..., ku n )

4 6.1.1 Sifat-sifat Operasi Vektor pada Ruang Berdimensi n Teorema Jika u = (u 1, u 2,..., u n ), v = (v 1, v 2,..., v n ), dan w = (w 1, w 2,..., w n ) adalah vektor-vektor pada R n serta k dan l adalah skalar, maka a) u + v = v + u b) u + (v + w) = (u + v) + w c) u + 0 = 0 + u d) u + (–u) = 0 e) k(lu) = (kl)u f) k( u + v) = ku + k v g) (k + l) u = ku + lu h) 1u = u

5 Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah vektor-vektor sembarang, maka hasil kali dalam Euclidean (Euclidean Inner Product) u. v didefinisikan sebagai, u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n Contoh 6.1 Hasil kali dalam Euclidean dari vektor-vektor u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0) pada R 4 adalah u. v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18

6 Sifat-sifat Hasil Kali Dalam Euclidean Teorema Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah suatu skalar, maka: a) u. v = v. u b) (u + v). w = uw + vw c) u + 0 = 0 + u d) u + (–u) = 0 e) (ku). v = k(u. v) f) k( u + v) = ku + k v g) (k + l) u = ku + lu h) 1u = u

7 6.1.2 Norma dan Jarak pada Ruang Berdimensi n Euclidean Jika u = (u 1, u 2,..., u n ), maka norma vektor u (ditulis dengan lambang ||u|| pada R n adalah Jarak Euclidean (Euclidean Distance) antara titik u = (u 1, u 2,..., u n ) dan titik v = (v 1, v 2,..., v n ) pada R n didefinisikan sebagai,

8 Contoh 6.2 Jika u = (-1, 3, -2, 7) dan v = (0, 7, 2, 2), maka pada R 4

9 Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz pada R n Teorema Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah vektor-vektor pada R n, maka: |u. v|  ||u|| ||v|| Dalam bentuk komponen dapat ditulis menjadi | u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n |  ( u u u 3 2 ) 1/2 ( v v v 3 2 ) 1/2

10 Sifat-sifat Panjang pada R n Teorema Jika u dan v adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah suatu skalar, maka: a) ||u||  0 b) ||u|| = 0 jika dan hanya jika u = 0 c) ||ku|| = |k| ||u|| d)||u + v||  ||u|| + ||v|| (ketidaksamaan segitiga)

11 Sifat-sifat Jarak pada R n Teorema Jika u, v dan w adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah suatu skalar, maka: a) d(u, v)  0 b) d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v c) d(u, v) = d(v, u) = ||ku|| = |k| ||u|| d)d(u, v)  d(u, w) + d(w, v) (ketidaksamaan segitiga) Teorema Jika u dan v adalah vektor-vektor pada R n dengan hasil kali dalam Euclidean, maka: u. v = 1/4 || u + v || 2 – 1/4 ||u – v|| 2

12 6.1.2 Ortogonalitas (ketegaklurusan) Definisi Dua vektor u dan v pada R n disebut ortogonal jika u. v = 0 Contoh 6.3 Jika u = (-2, 3, 1, 4) dan v = (1, 2, 0, -1), maka ruang Euclidean R 4 adalah ortogonal karena u. v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0 Teorema Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada R n dengan hasil kali dalam Euclidean, maka || u + v || 2 = ||u|| 2 + ||v|| 2 (teorema Phytagoras)

13 Rumus matriks untuk hasil kali titik Jika u dan v dinyatakan dalam notasi matriks kolom berikut, Sehingga, u. v = v T u = u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n

14 Contoh 6.4 = (5)(–1) + (–4)(3) + (7)(5) + (0)(7) = 18

15 Jika A adalah matriks n x n maka berlaku, Au. v = v T (Au) = (v T A) u = (A T v) T u = u. A T v u. Av = (Av) T u = (v T A T ) u = v T (A T u) = A T u. v Contoh 6.5 Diketahui

16 Buktikan bahwa Au. v = u. A T v Bukti Au. v = (7)(–2) + (10)(0) + (5)(5) = 11 u. A T v = (–1)(–7) + (2)(4) + (4)(–1) = 11 Terbukti Au. v = u. A T v

17 Latihan

18 6.2 Transformasi Linier dari R n ke R m Fungsi dari R n ke R


Download ppt "BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN. 6.1 RUANG BERDIMENSI n EUCLIDEAN Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan (ordered n tuple) adalah."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google