Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli

Presentasi berjudul: "Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli"— Transcript presentasi:

1 Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli
STRUKTUR ALJABAR Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli

2 Himpunan Pemetaan Bilangan Bulat Operasi Biner
Pendahuluan Himpunan Pemetaan Bilangan Bulat Operasi Biner

3 Grup Definisi Grup dan contoh grup Sub Grup
Sub grup Normal dan Grup hasil bagi Homorfisma Automorfisma Grup Permutasi

4 Ring (Gelanggang), Daerah Integral dan Lapangan
Definisi dari gelanggang Daerah integral Lapangan

5 REFERENSI I.N. Herstein, Topics in Algebra, secon edition, 1975.
Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert, Elements of Modern Aljebra, fifth edition, 2000, publiser Gary Ostedt. Buku-buku lain yang berkaitan dengan materi yang akan dibahas

6 HIMPUNAN Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek dalam himpunan dinamakan anggota himpunan. Untuk membentuk himpunan dapat digunakan metode Roster yaitu dengan cara menyebut atau mendaftar semua anggota dan metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya.

7 HIMPUNAN Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B dan dinotasikan dengan Himpunan A=B jika dan hanya jika dan

8 HIMPUNAN Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A. Komplemen dari himpunan A adalah semua anggota dari semesta yang bukan anggota A, dan dinotasikan

9 HIMPUNAN Gabungan dari dua buah himpunan A dan B, ditulis adalah
Irisan dari dua himpunan A dan B, ditulis dengan , adalah himpunan Diberikan sembarang dua buah himpunan A dan B, maka A-B adalah himpunan

10 HIMPUNAN Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing apaa bila
Misalkan diberikan dua buah himpunan A dan B, maka himpunan AxB adalah didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B. Pasangan (c,d)=(e,f) jika dan hanya jika c = e dan d = f.

11 RELASI EKIVALEN Relasi biner  pada Himpunan A dikatakan relasi ekivalen pada A, jika untuk setiap a, b, c dalam A memenuhi : 1. a a (reflesif) 2. jika a b maka b c (simetri) 3. jika a  b dan b  c maka a  c (transitif)

12 RELASI EKIVALEN Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan ab untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut suatu relasi ekivalen pada S. Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah bilangan bulat genap. Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah kelipatan dari n. Misalkan A, B himpunan dan f:AB suatu fungsi. Jika didefinisikan pada A dengan x y jika f(x)=f(y)

13 DEFINISI CLASS EKIVALEN
Jika A suatu himpunan dan jika  suatu relasi ekivalen pada A, maka class ekivalen dari a anggota A adalah himpunan semua x anggota A dimana a berelasi dengan x. Dan kita notasikan dengan cl(a).

14 class EKIVALEN Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan ab untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut suaatu relasi ekivalen pada S. Class ekivalen pada a adalah a sendiri. Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah bilangan bulat genap. Class ekivalen pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a + 2m, dimana m bilangan bulat. Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah kelipatan dari n. Class ekivalen pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a + kn, dimana k bilangan bulat.

15 TEOREMA Class ekivalen yang berbeda dari suatu relasi ekivalen pada A dapat menentukan suatu dekomposisi pada A melalui gabungan dari sub himpunan yang saling asing. Sebaliknya diberikan dekomposisi dari A melalui gabungan dari sub himpunan tak kosong yang saling asing kita dapat mendefinisikan suatu relasi ekivalen pada A dari sub himpunan-subhimpunan class ekivalen yang berbeda tersebut.

16 Partisi Suatu partisi (partition) dari himpunan X merupakan suatu keluarga himpunan bagian tidak kosong dari X yang saling asing dan gabungannya sama dengan X. Partisi merupakan hal yang penting dalam matematika dan terdapat hubungan antara relasi ekuivalensi dan partisi

17 Partisi

18 PEMETAAN DEFINISI Jika S dan T himpunan-himpunan tak kosong, maka pemetaan dari S ke T adalah sub himpunan M dari SxT sedemikian sehingga untuk setiap sS terdapat secara tunggal t T sedemikian sehingga pasangan terurut (s,t) M.

19 CONTOH PEMETAAN Misalkan S sembarang himpunan; definisikan :SS dengan (s) = s untuk setiap sS. Pemetaan  disebut pemetaan identitas dari S Misalkan S dan T sembarang himpunan; dan t0 suatu elemen dari T. Definisikan :ST dengan  :s  t0 untuk setiap s S. Misalkan S adalah himpunan bilangan rasional positif dan T=JxJ dimana J adalah himpunan bilangan bulat. Diberikan suatu bilangan rasional s, dimana s dapat ditulis dengan s = m/n dimana m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1. Definisikan :ST dengan (s) = (m,n).

20 CONTOH PEMETAAN 4. Misalkan J himpunan semua bilangan bulat dan S = ; misalkan T adalah himpunan dari bilangan rasional; definisikan :ST, dengan ((m,n))=m/n untuk setiap (m,n) dalam S. 5. Misalkan J himpunan bilangan bulat dan S = JxJ. Definisikan :SJ dengan (m,n)=m+n. 6. Misalkan S dan T sembarang himpunan; definisikan :SxTS dengan (a,b) = a untuk setiap (a,b)SxT.  ini disebut proyeksi dari SxT pada S. Dengan cara serupa definisikan proyeksi dari SxT pada T.

21 CONTOH PEMETAAN Misalkan S adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen x1, x2, x3. Definisikan :SS dengan (x1)=x2, (x2)=x3, (x3)=x1. Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat dan T adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen E dan 0. Definisikan :ST dengan (n)=E jika n bilangan genap dan (n)=0 jika n bilangan ganjil

22 CONTOH PEMETAAN Misalkan diberikan himpunan S, kita dapat mengkonstruksi himpunan baru S*, yaitu himpunan semua subhimpunan dari S. Misalkan S adalah himpunan dan T = S*; definisikan :ST dengan (s) = dalam S = S-{s}.

23 CONTOH PEMETAAN Misalkan S suatu himpunan dengan suatu relasi ekivalen, dan misalkan T adalah himpunan dari semua klas ekivalen dalam S. Definisikan :ST dengan (s) = cl(s).

24 DEFINISI Pemetaan  dari S kedalam T adalah dikatakan onto (pada) T, jika diberikan tT terdapat suatu sS sedemikian sehingga (s)=t. Pemetaan  dari S kedalam T adalah dikatakan pemetaan satu-satu jika untuk sembarang s1s2 maka (s1)(s2)

25 DEFINISI Pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada dari S ke T disebut korespondensi satu-satu.

26 DEFINISI Dua pemetaan ,  dari S kedalam T dikatakan sama, jika (s)= (s) untuk setiap s anggota S. Jika  : S  T dan : T U maka komposisi dari  dan  adalah pemetaan : SU yang didefinisikan dengan (s)=((s)) untuk setiap s anggota S

27 Contoh Misalkan S = {x1,x2,x3} dan T = S. Misalkan :SS yang didefinisikan dengan (x1) = x2, (x2) = x3, (x3) = x1 dan  :SS dengan (x1) = x1, (x2) = x3, (x3) = x2 Apakah   =  ?

28 Contoh 2. Misalkan S Himpunan bilangan bulat, T = SxS, andaikan :ST yang didefinisikan dengan (m) =(m-1,1). Misalkan U=S dan andaikan bahwa : TU yang didefinisikan dengan (m,n) = m+n. Sehingga :SS, demikian juga :TT. Apa yang dapat dikatakan antara  dan 

29 Contoh 3. Misalkan S Himpunan bilangan real, T himpunan bilangan bulat dan U={E,0}. Definisikan  :ST dengan (s) = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan s, dan : TU yang didefinisikan dengan (n) = E jika n genap dan (n) = 0 jika n ganjil. Sebagai catatan  tidak dapat didefinisikan.

30 Lemma Jika : ST, :T U dan :UV, maka ()= ()
Misalkan : ST, :T U; maka:   adalah pada jika  dan  pada.   adalah satu-satu jika  dan  satu-satu.

31 Lemma Pemetaan : ST, :S U adalah korespondensi satu-satu diantara S dan T jika terdapat pemetaan :TS sedemikian sehingga  dan  adalah pemetaan identitas pada S dan T Masing-masing.

32 Definisi Jika S suatu himpunan tak kosong maka A(S) adalah himpunan semua pemetaan satu-satu dan pada dari S pada dirinya sendiri.

33 Teorema Jika , ,  adalah elemen A(S), maka : 1.  adalah di A(S)
2. ()= () 3. Terdapat suatu elemen (pemetaan identitas) di A(S) sedemikian sehingga 4. Terdapat elemen anggaota A(S) sedemikian

34 Lemma Jika S mempunyai lebih dari dua unsur, maka kita dapat menemukan dua unsur ,  dalam A(S) sedemikian sehingga   

35