Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

STRUKTUR ALJABAR Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "STRUKTUR ALJABAR Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli."— Transcript presentasi:

1 STRUKTUR ALJABAR Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli

2 Pendahuluan Himpunan Pemetaan Bilangan Bulat Operasi Biner

3 Grup Definisi Grup dan contoh grup Sub Grup Sub grup Normal dan Grup hasil bagi Homorfisma Automorfisma Grup Permutasi

4 Ring (Gelanggang), Daerah Integral dan Lapangan Definisi dari gelanggang Daerah integral Lapangan

5 REFERENSI 1.I.N. Herstein, Topics in Algebra, secon edition, Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert, Elements of Modern Aljebra, fifth edition, 2000, publiser Gary Ostedt. 3.Buku-buku lain yang berkaitan dengan materi yang akan dibahas

6 HIMPUNAN 1.Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek dalam himpunan dinamakan anggota himpunan. 2.Untuk membentuk himpunan dapat digunakan metode Roster yaitu dengan cara menyebut atau mendaftar semua anggota dan metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya.

7 HIMPUNAN 1.Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B dan dinotasikan dengan. 2.Himpunan A=B jika dan hanya jika dan

8 HIMPUNAN 1.Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A. 2.Komplemen dari himpunan A adalah semua anggota dari semesta yang bukan anggota A, dan dinotasikan

9 HIMPUNAN 1.Gabungan dari dua buah himpunan A dan B, ditulis adalah 2.Irisan dari dua himpunan A dan B, ditulis dengan, adalah himpunan 3.Diberikan sembarang dua buah himpunan A dan B, maka A-B adalah himpunan

10 HIMPUNAN 1.Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing apaa bila 2.Misalkan diberikan dua buah himpunan A dan B, maka himpunan AxB adalah didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B. Pasangan (c,d)=(e,f) jika dan hanya jika c = e dan d = f.

11 RELASI EKIVALEN Relasi biner  pada Himpunan A dikatakan relasi ekivalen pada A, jika untuk setiap a, b, c dalam A memenuhi : 1. a  a (reflesif) 2. jika a  b maka b  c (simetri) 3. jika a  b dan b  c maka a  c (transitif)

12 RELASI EKIVALEN 1.Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan a  b untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut suatu relasi ekivalen pada S. 2.Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan a,b elemen S, definisikan a  b jika a-b adalah bilangan bulat genap. 3.Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan a  b jika a-b adalah kelipatan dari n. 4.Misalkan A, B himpunan dan f:A  B suatu fungsi. Jika didefinisikan pada A dengan x  y jika f(x)=f(y)

13 DEFINISI CLASS EKIVALEN Jika A suatu himpunan dan jika  suatu relasi ekivalen pada A, maka class ekivalen dari a anggota A adalah himpunan semua x anggota A dimana a berelasi dengan x. Dan kita notasikan dengan cl(a).

14 class EKIVALEN 1.Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan a  b untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut suaatu relasi ekivalen pada S. Class ekivalen pada a adalah a sendiri. 2.Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan a,b elemen S, definisikan a  b jika a-b adalah bilangan bulat genap. Class ekivalen pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a + 2m, dimana m bilangan bulat. 3.Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan a  b jika a-b adalah kelipatan dari n. Class ekivalen pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a + kn, dimana k bilangan bulat.

15 TEOREMA Class ekivalen yang berbeda dari suatu relasi ekivalen pada A dapat menentukan suatu dekomposisi pada A melalui gabungan dari sub himpunan yang saling asing. Sebaliknya diberikan dekomposisi dari A melalui gabungan dari sub himpunan tak kosong yang saling asing kita dapat mendefinisikan suatu relasi ekivalen pada A dari sub himpunan-subhimpunan class ekivalen yang berbeda tersebut.

16 Partisi Suatu partisi (partition) dari himpunan X merupakan suatu keluarga himpunan bagian tidak kosong dari X yang saling asing dan gabungannya sama dengan X. Partisi merupakan hal yang penting dalam matematika dan terdapat hubungan antara relasi ekuivalensi dan partisi

17 Partisi

18 PEMETAAN DEFINISI Jika S dan T himpunan-himpunan tak kosong, maka pemetaan dari S ke T adalah sub himpunan M dari SxT sedemikian sehingga untuk setiap s  S terdapat secara tunggal t  T sedemikian sehingga pasangan terurut (s,t)  M.

19 CONTOH PEMETAAN 1.Misalkan S sembarang himpunan; definisikan  :S  S dengan  (s) = s untuk setiap s  S. Pemetaan  disebut pemetaan identitas dari S 2.Misalkan S dan T sembarang himpunan; dan t 0 suatu elemen dari T. Definisikan  :S  T dengan  :s  t 0 untuk setiap s  S. 3.Misalkan S adalah himpunan bilangan rasional positif dan T=JxJ dimana J adalah himpunan bilangan bulat. Diberikan suatu bilangan rasional s, dimana s dapat ditulis dengan s = m/n dimana m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1. Definisikan  :S  T dengan  (s) = (m,n).

20 CONTOH PEMETAAN 4. Misalkan J himpunan semua bilangan bulat dan S = ; misalkan T adalah himpunan dari bilangan rasional; definisikan  :S  T, dengan  ((m,n))=m/n untuk setiap (m,n) dalam S. 5. Misalkan J himpunan bilangan bulat dan S = JxJ. Definisikan  :S  J dengan  (m,n)=m+n. 6. Misalkan S dan T sembarang himpunan; definisikan  :SxT  S dengan  (a,b) = a untuk setiap (a,b)  SxT.  ini disebut proyeksi dari SxT pada S. Dengan cara serupa definisikan proyeksi dari SxT pada T.

21 CONTOH PEMETAAN 7.Misalkan S adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen x 1, x 2, x 3. Definisikan  :S  S dengan  (x 1 )= x 2,  (x 2 )= x 3,  (x 3 )= x 1. 8.Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat dan T adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen E dan 0. Definisikan  :S  T dengan  (n)=E jika n bilangan genap dan  (n)=0 jika n bilangan ganjil

22 CONTOH PEMETAAN Misalkan diberikan himpunan S, kita dapat mengkonstruksi himpunan baru S*, yaitu himpunan semua subhimpunan dari S. Misalkan S adalah himpunan dan T = S*; definisikan  :S  T dengan  (s) = dalam S = S- {s}.

23 CONTOH PEMETAAN Misalkan S suatu himpunan dengan suatu relasi ekivalen, dan misalkan T adalah himpunan dari semua klas ekivalen dalam S. Definisikan  :S  T dengan  (s) = cl(s).

24 DEFINISI 1.Pemetaan  dari S kedalam T adalah dikatakan onto (pada) T, jika diberikan t  T terdapat suatu s  S sedemikian sehingga  (s)=t. 2.Pemetaan  dari S kedalam T adalah dikatakan pemetaan satu-satu jika untuk sembarang s 1  s 2 maka  (s 1 )  (s 2 )

25 DEFINISI Pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada dari S ke T disebut korespondensi satu-satu.

26 DEFINISI 1.Dua pemetaan ,  dari S kedalam T dikatakan sama, jika  (s)=  (s) untuk setiap s anggota S. 2.Jika  : S  T dan  : T  U maka komposisi dari  dan  adalah pemetaan  : S  U yang didefinisikan dengan  (s)=  (  (s)) untuk setiap s anggota S

27 Contoh 1.Misalkan S = {x1,x2,x3} dan T = S. Misalkan  :S  S yang didefinisikan dengan  (x1) = x2,  (x2) = x3,  (x3) = x1 dan  :S  S dengan  (x1) = x1,  (x2) = x3,  (x3) = x2 Apakah   =  ?

28 Contoh 2. Misalkan S Himpunan bilangan bulat, T = SxS, andaikan  :S  T yang didefinisikan dengan  (m) =(m-1,1). Misalkan U=S dan andaikan bahwa  : T  U yang didefinisikan dengan  (m,n) = m+n. Sehingga  :S  S, demikian juga  :T  T. Apa yang dapat dikatakan antara  dan 

29 Contoh 3. Misalkan S Himpunan bilangan real, T himpunan bilangan bulat dan U={E,0}. Definisikan  :S  T dengan  (s) = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan s, dan  : T  U yang didefinisikan dengan  (n) = E jika n genap dan  (n) = 0 jika n ganjil. Sebagai catatan  tidak dapat didefinisikan.

30 Lemma 1.Jika  : S  T,  :T  U dan  :U  V, maka (  )  =  (  ) 2.Misalkan  : S  T,  :T  U; maka: a.   adalah pada jika  dan  pada. b.   adalah satu-satu jika  dan  satu-satu.

31 Lemma Pemetaan  : S  T,  :S  U adalah korespondensi satu- satu diantara S dan T jika terdapat pemetaan  :T  S sedemikian sehingga  dan  adalah pemetaan identitas pada S dan T Masing-masing.

32 Definisi Jika S suatu himpunan tak kosong maka A(S) adalah himpunan semua pemetaan satu-satu dan pada dari S pada dirinya sendiri.

33 Teorema Jika , ,  adalah elemen A(S), maka : 1.  adalah di A(S) 2. (  )  =  (  ) 3. Terdapat suatu elemen  (pemetaan identitas) di A(S) sedemikian sehingga 4. Terdapat elemen anggaota A(S) sedemikian

34 Lemma Jika S mempunyai lebih dari dua unsur, maka kita dapat menemukan dua unsur ,  dalam A(S) sedemikian sehingga   

35 press.com


Download ppt "STRUKTUR ALJABAR Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google