Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

SUB GRUP Definisi. Suatu sub himpunan tak kosong H dari Grup G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi perkalian dalam G, H membentuk Grup.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "SUB GRUP Definisi. Suatu sub himpunan tak kosong H dari Grup G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi perkalian dalam G, H membentuk Grup."— Transcript presentasi:

1 SUB GRUP Definisi. Suatu sub himpunan tak kosong H dari Grup G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi perkalian dalam G, H membentuk Grup.

2 LEMMA Suatu sub himpunan tak kosong H dari grup G adalah sub grup dari G jika dan hanya jika 1. Jika a, b  H maka ab  H 2. Jika a  H maka  H

3 LEMMA Jika H adalah sub himpunan tak kosong hingga dari grup G dan H tertutup terhadap operasi perkalian, maka H adalah Sub Grup dari G.

4 CONTOH 1. Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, H sub himpunan yang terdiri dari kelipatan 5. Tunjukan bahwa H sub grup dari G. 2. Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. H(n) sub himpunan dari G yang terdiri kelipatan n. H(n) sub grup untuk setiap n. Apa yang dapat dikatakan dengan H(n)  H(m)?

5 CONTOH 3. Misalkan S sembarang himpunan, A(S) himpunan dari pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada dari S pada S. Jika x 0  S, misalkan H(x 0 )={  A(S):  (x 0 )=x 0 }. H(x 0 ) adalah sub grup dari A(S). Jika x 1  x 0  S kita definisikan dengan cara yang sama H(x 1 ), H(x 0 )  H(x 1 ) sub grup dari A(S) 4. Misalkan G grup, a  G. Misalkan (a)={a i :i bilangan bulat}. (a) adalah sub grup dari G 5. Misalkan G grup bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian, dan misalkan H sub himpunan dari bilangan rasional positif. Maka H sub grup dari G

6 CONTOH 6. Misalkan G grup dari matriks bilangan real 2x2, dengan ad-bc  0 dibawah operasi perkalian matriks. Misalkan maka H adalah sub grup dari G. 7. Misalkan H Grup seperti pada contoh 6, dan maka K sub grup dari H. 7. Misalkan G grup dari semua bilangan kompleks tak nol a+bi (a,b bilangan real tidak keduanya nol) dibawah operasi perkalian, dan misalkan H={a+bi  G:a 2 + b 2 =1}. Tunjukan bahwa H sub grup dari G

7 DEFINISI Misalkan G grup, H sub grup dari G; untuk a,b  G kita katakan a kongruen b mod H, ditulis a  b mod H jika ab -1  H

8 LEMMA Relasi a  b mod H adalah relasi ekivalen

9 DEFINISI Jika H adalah sub grup dari G, a  G, maka Ha={ha:h  H}. Ha disebut koset kanan dari H dalam G.

10 LEMMA 1. Untuk setiap a  G, Ha={x  G:a  x mod H}. 2. Terdapat korespondensi satu-satu diantara dua koset kanan dari H dalam G. 3. Jika G adalah Grup Hingga dan H sub grup dari G, maka  (H) adalah membagi  (G).

11 DEFINISI 1. Jika H adalah sub grup dari G, maka index dari H dalam G adalah banyak koset kanan yang berbeda dari H dalam G. (notasi i G (H)) 2. Jika G grup dan a  G, maka order (atau periode) dari a adalah bilangan positif terkecil m sedemikian sehingga a m =e.

12 AKIBAT 1. Jika G adalah grup hingga dan a  G, maka  (a)  (G). 2. Jika G adalah grup hingga dan a  G, maka a  (G) =e 3. Jika n bilangan bulat positif dan a adalah relatif prim ke n, maka a  (n)  1 mod n 4. Jika p bilangan prima dan a sembarang bilangan bulat, maka a p  a mod p. 5. Jika G grup hingga yang mempunyai orde suatu bilangan prima, maka G adalah grup siklis.

13 A COUNTING PRINCIPLE 1. Misalakan H, K subgrup dari G. HK adalah subgrup dari G jika dan hanya jika HK=KH 2. Jika H, K adalah subgrup dari grup komutatif, maka HK adalah subgrup dari G. 3. Jika H dan K subgrup hingga dari G dengan orde  (H) dan  (K) masing- masing, maka 4. Jika H dan K adalah subgrup dari G dan  (H)>,  (K)>, maka

14 SUBGRUP NORMAL DAN GRUP HASIL BAGI DEFINISI Subgrup N dari G dikatakan subgrup normal dari G jika untuk setiap g  G dan n  N, gng -1  N

15 LEMMA 1. N adalah sub grup normal dari G jika dan hanya jika gNg -1 =N untuk setiap g  G. 2. Subgrup N dari G adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika setiap koset kiri dari N dalam G adalah koset kanan dari N dalam G. 3. Suatu subgrup N dari G adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika perkalian dari dua koset kanan dari N dalam G adalah juga koset kanan dari N dalam G

16 TEOREMA Jika G adalah grup, N subgrup normal dari G, Maka G/N adalah juga grup. Grup seperti ini disebut grup hasil bagi atau grup faktor

17 LEMMA Jika G adalah grup hingga dan N adalah subgrup Normal dari G, maka  (G/N)=  (G)/  (N).


Download ppt "SUB GRUP Definisi. Suatu sub himpunan tak kosong H dari Grup G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi perkalian dalam G, H membentuk Grup."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google