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第十章 曲线回归. 本章介绍可以直线化的曲线回归的类型,以 生长型曲线为例说明曲线的直线化配合, 曲线回归方程的拟合度.

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1 第十章 曲线回归

2 本章介绍可以直线化的曲线回归的类型,以 生长型曲线为例说明曲线的直线化配合, 曲线回归方程的拟合度

3 第一节 曲线回归的意义

4 直线回归的局限 1 、两变量之间的关系不完全是直线关系 2 、简单相关不显著并不表示两变量间无相关 3 、两变量间更普遍的关系是曲线关系 4 、直线回归仅是曲线回归的一种特殊形式 5 、直线回归是曲线回归中的一部分

5 曲线配合的一般步骤: 1 、确定回归关系的类型:线性 非线性(曲线形状) 2 、确定回归关系的参数、相关指数、估计标准误 3 、对所得回归方程作显著性检验 曲线方程可分为两种: 可直线化的曲线方程 不可直线化的曲线方程(多项式) 因此,首先应确定两变量的曲线关系是哪一种

6 第二节 曲线类型及其方程

7 本章仅讨论可以直线化的曲线方程 —— 函数型曲线方程 (一)幂函数 直线化:两边取对数: 令: 则有: 对 求 A 和 b , 并得 即可得: a 、 b ,建立方程 (双对数转换,即对 x 、 y 均求对数后输入)

8 (二)指数函数 或 直线化:两边取对数: 令: 则有 对 求 A 并得 即可得 a 、 b ,建立方程 (单对数变换,即对 y 求对数后与 x 一起输入)

9 (三)双曲线函数 令: 则 对 x 求 X 即可得 中的 a 、 b (倒数变换,即取 x 的倒数,与 y 一起输入) 此外还有一些曲线方程: 下面是几种可以转换为直线方程的曲线函数图形:

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11 曲线回归的计算器计算方法: 计算器将出现如下画面: mode3 Lin Log Exp >< Pwr Inv Quad 1 2 3

12 ( Lin ) 线性回归: ( Log )对数回归: ( Exp )指数回归: ( Pwr )幂函数回归: ( inv ) 双曲线回归: ( Quad )抛物线回归: > >2 >3

13 (四) S 型曲线 陆生、水生动物的种群增长、微生物种群增长、细 胞的生(增)长等都是这一模式 因此, S 型曲线又称为生长型曲线、 logistic 曲线, 其变换形式有以下几种:

14 类似的生长型曲线还有 Gompertz 曲线: 其变换形式: Bertalanffy 曲线:

15 在这些曲线方程中,无一例外的都有 3 个需要计算的 统计量: k 、 a 、 b 所 K 是当 x 趋向于 +∞ 时 y 所能达到的最大值,往往是 未知的,因此也是需要进行计算的 这是生长曲线与其他可以直线化的曲线方程不同的 地方 这些曲线方程中的 x 往往是时间单位,因此一般可 用 t 表示,而 y 往往是群体的增长量,或群体增 长倍数,所以也可以用 N 表示 我们这里仅对典型的 S 型曲线方程进行直线化,其 他变换类型的方程直线化可以仿此进行

16 测得某微生物在一定温度下随时间变化的平均增长量 数据如下: 时 间 t 增长倍数 N 从下面的散点图我们可以看出,可配合 S 型曲线:

17 我们采用生长曲线的一般形式 进行配合 变换,两边取对数,得: 并令: 从数据表中取三个等距的点代入上式(一般总取始 点、中点、末点): ( 1 , 1.3 )、( 5 , 6.8 )、( 9 , 9.5 )

18 解这一三元一次方程组,消去 a 、 b ,得: 则 这是一个通式,任何配置 S 型曲线的数据资料均可 使用这一公式求得 k 值 将上式中的 代入 式,得 即为 k 的解 将 k=9.78 代入 可得和 t 相对应的各个 Y 值

19 将这些 Y 值写在数据表下方对应处,用最小二乘配置法 配置直线 时 间 t 增长倍数 N

20 得一级数据: 或将时间 t 和 Y 值输入计算器直接进行计算

21 则 将 k 、 a 、 b 代入方程,即得: 或:

22 在这一类例子中,时间往往是有效单位时间,如一 周、一月、一年、一个时间段等,如需换算成具 体时间如天、小时、分等,则需将其换算值代入 t 值即可 另外,在一般的通式中,我们往往以 x 、 y 作为自变 量和依变量的符号,但在具体问题中,有时为了 更形象、更直观地说明问题,可以用其他不同的 字母(往往是相应的英文名词的首写字母)来代 替

23 如长度用 L 、时间用 t 、增重倍数用 N 、体重用 W 等 用统计软件进行计算时,可直接将原始数据输入数 据库,调用相应的程序运算即可

24 第三节 曲线配合的拟合度

25 曲线配合完成,其方程是否理想,同一批数据采用 不同的曲线方程进行拟合,其效果如何,哪一种 方程更好,可以用曲线方程的拟合度来衡量 曲线方程的拟合度就是相关指数 R 2 离回归平方和 Q (实测值与预测值之差的平方和, 即剩余回归平方和)在总平方和中所占的比例越 小,说明方程的效果越好,因此可以用剩余回归 平方和在总平方和中的比例来表示曲线配合的好 坏:

26 在曲线回归方程中,我们必须实际求得每一个 ,然 后求出 ,而不能象简单回归一样可以用有关 公式求出 在上例中: t N

27 R 2 的平方根 R 称为相关系数,为了和简单相关系数 r 有所区别,曲线回归方程和多元回归方程的相关 系数称为复相关系数,写为 R 拟合度得到后,同样需要进行显著性检验,检验的 方法还是查 r 表 本例中,变量个数为 m = 2 ,自由度 df = 7 ,因此

28 同一批数据如果拟合了多条曲线回归方程,应当将 每一条曲线方程的相关系数相比较,原则上哪一 个曲线方程的相关系数大,哪一个曲线方程就是 最好的,当然还应当结合专业知识来进行判断 ( * )

29 end


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