Teori Antrian Antrian M/M/1 Hendrawan

Outline Motivasi Introduksi sistem antrian –Elemen sistem antrian –Notasi sistem antrian Background –Proses kedatangan dan keberangkatan Little’s law Antrian M/M/1 –Penurunan dan Hasil –Aplikasi utk analisa multiplexing

Dasar Antrian Pelanggan (customer) tiba untuk pelayanan, dan jika semua pelayan (server) sibuk, pelanggan diantrikan dan dilayani kemudian Parameter: Kecepatan kedatangan (arrival rate), kecepatan pelayanan (service rate), jumlah pelayan (server) Pengukuran: waktu tunggu, waktu pelayanan, waktu di dalam sistem, utilisasi server, jumlah pelanggan dalam antrian, jumlah pelanggan dlm sistem,...

Dasar Antrian Single queue system biasa digunakan utk merepresentasikan shared resource networks Network of queues biasa digunakan utk merepresentasikan tipe jaringan yg lain –Process networks –Switching networks

Resource Sharing Networks Time-shared computers (Programs: CPU/DISK/IO) Statistical Multiplexer/Concentrator Packet-based (Packets: links) Channel-based (Calls: channels) Multiple-access & random access networks (Packets: shared medium)

Resource Sharing Networks Ukuran performansi –Waktu tunggu –Probabilitas blocking Pertanyaan –Bagaimana relasi antara jumlah user, pola penggunaan, jumlah resource dan performansi? –Apakah resource dimanfaatkan secara adil (fair)?

Process Networks Multi-stage switch Distributed simulation system Manufacturing process

Process Networks Ukuran performansi –Waktu penyelesaian (delay) –Throughput (penyelesaian persatuan waktu) Pertanyaan –Bagaimana performansi dipengaruhi oleh pola penggunaan berbeda? –Proses mana yg menjadi “bottlenecks” yg membatasi performansi? –Apakaha input berbeda diperlakukan secara adil dalam hal performansi?

Switching Networks Jaringan telepon (telepon: circuit switches) Jaringan signaling telepon (switches; STP) Jaringan Paket X.25 (komputer: packet switches) Internet (komputer: router)

Switching Networks Ukuran performansi –Delay (end point to end point) –Throughput –Utilization –Blocking probability –Loss Pertanyaan –Topologi jaringan yg terbaik? –Bagaimana me-routekan? –Bagaimana menjamin kualitas pelayanan (QOS)?

Apa yang Bisa Dipelajari? Faktor Jumlah pelanggan Pola penggunaan (workload) Karakteristik service Jumlah resource Performansi Waktu tunggu Blocking Loss

Elemen-Elemen Antrian

Model Dasar Pelanggan dari suatu populasi tiba pada sistem dg waktu kedatangan random adalah rate kedatangan pelanggan Sistem antrian mempunyai c server identik Pelanggan ke-j meminta pelayanan dan akan memerlukan s j unit waktu pelayanan dari satu server Jika semua server sibuk, pelanggan yg datang bergabung dlm antrian sampai tersedia server

Model Dasar Disiplin pelayanan menspesifikasikan urutan dimana pelanggan dipilih dari antrian –Contoh: FIFO, LIFO, priority, random, … Waktu tunggu t Qj adalah waktu diperlukan pelanggan ke-j antara memasuki sistem dan memasuki pelayanan Total delay dari sistem  j = t Qj + s j n = jumlah pelanggan dlm sistem –suatu random variable n q = jumlah pelanggan dlm antrian –suatu random variable

Notasi Antrian a/b/m/K a = tipe proses kedatangan –M (Markov) menunjukan kedatangan Poisson, shg waktu antar kedatangan iid exponential random variables b = service time distribution –M (Markov) menunjukan distribusi eksponensial –D (Determistic) menunjukan service time konstan –G (General) menunjukan iid service times mengikuti suatu general distribution

Notasi Antrian a/b/m/K m = jumlah server K = jumlah maksimum pelanggan yg dibolehkan dlm sistem

Background: Proses Poisson Kedatangan terjadi dg rate Probabilitas [secara eksak satu pelanggan tiba dlm interval [t, t+  t]] =  t Probabilitas [tidak ada kedatangan dlm interval [t, t+  t]] = 1 -  t Dg membuat  t mendekati nol, kita mendapatkan proses Poisson

Distribusi Kedatangan Pn(t) = P[Jumlah kedatangan sampai saat t = n]

Jumlah Kedatangan Mis. E[n] adalah mean dari jumlah kedatangan dlm perioda interval t –Mean –Variance

Kelayakan Apakah proses Poisson cukup layak digunakan? Secara umum proses Poisson adalah model yg baik jika terdapat sejumlah user yg besar (sumber paket) sehingga –Users serupa –Users independen

Kelayakan Misalkan kita menggabungkan n proses Poisson Tiap proses mempunyai rate /n, shg rate gabungan (aggregate) = Waktu antar kedatangan , utk tiap proses mempunyai distribusi F(s) = P{   s} dan independen Proses penggabungan mendekati proses Poisson dg rate dg n  

Waktu Antar Kedatangan Mis. T = waktu antar kedatangan dlm proses Poisson –T adalah random variables –Utk proses Poisson, waktu antar kedatangan adalah exponentially distributed random variables –Fungsi distribusi dan densitas utk distribusi eksponensial

Memoryless Property Distribusi eksponensial adalah memoryless –Apa yg terjadi setelah waktu t adalah independen thd apa yg terjadi sebelum t –Pengetahuan masa lalu tidak membantu memprediksi masa depan Untuk waktu service –Waktu tambahan yg diperlukan utk menyelesaikan service pelanggan yg sedang berlangsung independen thd kapan service dimulai

Memoryless Property Utk waktu antar kedatangan –Waktu utk kedatangan berikutnya independen thd kapan kedatangan terakhir terjadi Distribusi eksponensial adalah satu-satunya distribusi kontinyu mempunyai sifat memoryless Distribusi diskrit yg mempunyai sifat memoryless adalah distribusi geometric

Markov Property Memoryless property memungkinkan menggunakan Markov Chain untuk menganalisa antrian M/M/1 Diberikan independensi dari waktu antara kedatangan dan waktu service, jumlah pelanggan dlm sistem kedepan hanya tergantung pd N(t), jumlah pelanggan dlm sistem pada saat t

Markov Property Proses random adalah proses Markov jika masa depan proses diberikan saat ini independen thd masa lalu Markov chain adalah proses Markov dg discrete state space

Markov Property Jika kita tahu sistem ada dlm state a pd saat t k, probabilitas transisi ke state lainnya pd saat t k+1 dp ditentukan –tidak perla tambahan informasi masa lalu

Little’s Law Jumlah pelanggan rata-rata dlm sistem (antrian) sama dg rate kedatangan dikalikan waktu rata-rata dlm sistem (antrian)

Little’s Law Misalkan –Rate kedatangan ( ) –Jumlah dlm sistem, n(t), jumlah dlm antrian n Q (t), jumlah dlm pelayanan n S (t) –Waktu dlm sistem , waktu dlm antrian  Q, waktu dlm pelayanan s Relasi parameter-parameter dg Little’s Law –Jumlah dlm sistem : E[n] =.E[  ] –Jumlah dlm antrian : E[n Q ] =.E[  Q ] –Jumlah dlm service :  = E[n S ] =.E[s]

Utilisasi Utilisasi dari sistem single server Utilisasi dari sistem c-server

In-Class Exercise Pelanggan memasuki toko dg rate rata-rata 32 pelanggan per jam. Rata-rata pelanggan menghabiskan waktu 12 menit di dlm toko. Berapa banyak pelanggan yg kita harapkan kita jumpai di dlm toko dlm sembarang waktu?

Saluran Transmisi

Parameter – adalah rate kedatangan –N Q adalah jumlah rata-rata paket menunggu dlm antrain (belum ditransmisikan) –W adalah rata-rata waktu tunggu dlm antrian (tidak termasuk waktu transmisi) Little’s law memberikan N Q =.W Jika X adalah waktu transmisi rata-rata, Teorema Little memberikan utilisasi  (rata-rata jumlah transmisi paket)  =.X

Saluran Transmisi Perhatikan kasus dimana 1/ adalah rata-rata waktu antar kedatangan jika  > 1, maka ekspektasi waktu service lebih besar drpd ekspetasi waktu antar kedatangan, yaitu pelanggan datang lebih cepat drpd yg dp dilayani –Antrian akan overflow atau meningkat sangat panjang –  > 1, menghasilkan situasi yg tidak stabil

Network of Transmission Lines

Paket tiba pada n node berbeda utk transmisi dg rate 1, 2, …, m N adalah jumlah paket total dlm jaringan Little’s law memberikan delay rata-rata per paket

Network of Transmission Lines Perlu dicatat bahwa rata-rata delay per-paket adalah independen dari distribusi panjang paket dan metoda utk me-routing-kan paket Juga utk node i, N i = i Ti

Antrian M/M/1 Antrian tunggal (single queue) Server tunggal (single server) Pelanggan (paket) tiba sesuai dg proses Poisson dg rate per-detik Distribusi waktu pelayanan adalah eksponensial dg mean 1/  detik Buffer tak terbatas

Markov Chain Karena memoryless property dari r.v. eksponensial, jumlah pelanggan dlm sistem saat t, N(t), dp diekspresikan sbg continuous-time Markov chain

Probabilty Flux Probabilitas flux transisi adalah perkalian probabilitas state dimana transisi dimulai dan rate transisi –Indikasi rata-rata brp kali per-detik event sesuai dg korespondesni transisi terjadi Dlm kondisi steady-state, rata-rata brp kali/det suatu state dimasuki adalah sama dg rata-rata brp kali/det suatu state ditinggalkan –Menuju pd global balance equations

Global Balance Total rate transisi keluar dari state n sama dg total rate transisi ke state n –Dynamic equilibrium

Global Balance Equations Global balance equation utk antrian M/M/1 Jika ada N state, ada N persamaan, termasuk relasi berikut

Local Balance Utk Markov Chain, rate transisi dari state A ke state B sama dg rate transisi dari B ke A Sbg contoh, rate transisi dari n-1 ke n sama dg rate transisi dari n ke n-1

Local Balance Equations Persamaan local balance utk anrian M/M/1

Menyelesaikan Local Balance Equations Pers local balance menghasilkan n-1 rekursi berikut

Menyelesaikan Local Balance Equations Normalisasi dicapai melalui ‘conservation of probability’

Menyelesaikan Local Balance Equations Dg  = /  dan menggunakan identitas berikut Maka

Hasil Jika  = /  < 1, kita dp Utilisasi Mean dari jumlah pelanggan, n

Hasil Dg Little’s law, dp dicari waktu rata-rata dlm sistem Dan waktu rata-rata dlm antrian

Hasil Dg Little’s Law lagi, jumlah rata-rata pelanggan dlm antrian

Hasil Grafik Antrian M/M/1 Ekspektasi jumlah pelanggan dlm sistem Jumlah pelanggan dlm sistem sbg fungsi utilisasi

In-Class Exercise Suatu konsentrator menerima message dari satu grup terminal dan mentransmisikannya melalui suatu saluran transmisi tunggal. Misalkan message tiba sesuai proses Poisson dg rate satu message setiap 4 ms, dan waktu transmisi message mengikuti distribusi eksponensial dg mean 3 ms. (a) Cari rata-rata jumlah message dlm sistem dan total delay rata-rata (b) Berapa persentase peningkatan rate kedatangan shg menghasilkan dua kali total delay rata-rata

Traffic Multiplexing Perhatikan suatu link komunikasi –Kapasitas transmisi tetap (C), rate dimana bit dp ditransmisikan (bit/sec) –Bbrp aliran trafik dp share capacity –Skim sharing dp mempengaruhi performansi Bentuk-Bentuk Multiplexing –Statistical multiplexing –Kanal terpisah Time Division Multiplexing (TDM) Frequency Division Multiplexing (FDM)

Statistical Multiplexing Paket-paket dari semua aliran trafik digabungkan ke dlm satu antrian tunggal dan ditransmisikan secara FCFS T SM = L/C diperlukan utk mentransmisikan L-bit paket

Time Division Multiplexing Waktu dibagi dlm m slot, dan masing-masing dari m aliran trafik diberikan satu slot –Bangun m kanal, masing-masing dg kapasitas C/m –L-bit paket memerlukan T TDM = Lm/C sec utk transmit jika paket panjang dibandingkan dg panjang satu slot –L-bit paket memerlukan T TDM = L/C sec utk transmit jika slot sebesar panjang paket, tetapi harus menunggu (m-1) slot antar transmisi

Time Division Multiplexing

Frequency-Division Multiplexing FDM Kanal bandwidth W dibagi kedlm m kanal dan masing-masing dari m aliran trafik diberikan satu kanal –Bangun m kanal, masing-masing dg bandwidth W/m, atau kapasitas C/m (abaikan ‘guard band’ antar kanal) –L-bit paket memrlukan TFDM = Lm/C sec utk transmit

Performansi Multiplexing Stat Mux mempunyai delay rata-rata lebih kecil drpd TDM atau FDM –Kapasitas kanal terbuang dg TDM (wasted time slots) dan FDM (wasted bandwidth) jika aliran trafik idle –Waktu transmisi lebih besar utk TDM dan FDM Keuntungan TDM dari FDM –Stat mux mempunyai delay rata-rata lebih kecil tetapi variasi delay lebih besar –TDM dan FDM mengeleminasi keperluan utk mengidentifikasi aliran trafik asosiasi dg tiap paket

Performansi Multiplexing Kita dp menggunakan hasil antrian M/M/1 utk menganalisa Statistical Multiplexing (SM) vs Time Division Multiplexing (TDM) atau Frquency Division Multiplexing (FDM) Asumsi: –m aliran paket Poisson, masing-masing dg rate kedatangan /m, ditransmisikan melalui kanal komunikasi tunggal –Panjang paket utk semua aliran memp distribusi eksponensial dg waktu transmisi rata-rata 1/ 

Performansi Multiplexing SM mengkombinasikan m aliran dari paket-paket dan mentransmisikannya dlm satu aliran tunggal TDM dan FDM menjaga aliran tetap terpisah

Performansi Multiplexing Utk SM Utk TDM (atau FDM) Rata-rata paket menghabiskan m kali lebih lama dalam antrian dan service dg TDM atau FDM dibandingkan dg SM –Namun kita tidak mempertimbangkan variansi