Review Teori Probabilitas Rekayasa Trafik Sukiswo sukiswok@yahoo.com sukiswo@elektro.ft.undip.ac.id Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Outline Arti Probabilitas Counting Method Random Variable Discrete RV Continuous RV Multiple RVs Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Arti Probabilitas Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Apakah Probabilitas Arti probabilitas Situasi tdk dp secara eksak direplikasi Tetapi tdk chaotic (memp suatu pola) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Probabilitas Definisi Logika probabilitas Aksioma Fakta tanpa bukti/proof Teorema Diturunkan dari Definisi, Aksioma, atau Teorema lainnya Rekayasa Trafik, Sukiswo

Matematik Probabilitas Teori set Operasi set Set properties Rekayasa Trafik, Sukiswo

Set Properties Penting Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Eksperimen Apakah suatu eksperimen? Metoda utk mencari sejumlah fakta/konklusi Berikan suatu contoh? Utk film “Matrix Reloaded”, apakah fun? Berdiri di depan bioskop Tanya audiences, fun atau tdk? Komposisi dari suatu eksperimen Prosedure Observasi Mengapa eksperimen diperlukan? Ketidakpastian Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Eksperimen Concern mengenai film “Matrix Reloaded” Apakah sebaiknya saya tanya laki-laki dewasa, perempuan dewasa atau remaja? Pengalaman dari audiences Pengetahuan dari audiences Complicated experiment  perlu Model Eksperiment nyata: terlalu rumit Tangkap hanya bagian penting Contoh Model: Perlakukan semua audiences sama Jawaban hanya akan suka/tdk suka Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Eksperimen Contoh: Lempar suatu coin 3 kali, observasi deretan heads/tails Lempar suatu coin 3 kali, observasi jumlah heads Rekayasa Trafik, Sukiswo

Definisi dalam Probabilitas Outcome Sembarang observasi yg mungkin Sample Space Finest-grain: masing-masing outcome berbeda Mutually exclusive: jika satu outcome muncul, lainnya tdk akan Collectively exhaustive: tiap outcome harus dlm sample space Event Set dari outcomes (harus tahu semua outcomes) Event ⊂ Sample Space Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh-Contoh Event Outcomes: bilangan = 1,2,3,4,5,6 Sample space: S = {1,2,3,…,6} Event examples: E1 = {bilangan < 3} = {1,2} E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5} Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Set vs Probabilitas Rekayasa Trafik, Sukiswo

Probabilitas dari Event P[ ] Dari eksperimen: Lempar dadu Outcomes: bilangan = 1,2,3,4,5,6 Sample space: S = {1,2,3,…,6} Event examples: E1 = {bilangan < 3} = {1,2} E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5} Rekayasa Trafik, Sukiswo

Aksioma-Aksioma Probabilitas Aksioma 1: Utk sembarang event A, P[A] ≥ 0 Aksioma 2: P[S] = 1 Aksioma 3: Utk events A1, A2,…, An yg mutual exclusive events Rekayasa Trafik, Sukiswo

Contoh Teorema-Teorema Teorema: Jika A dan B disjoint maka Teorema: Jika B = B1  B2  B3  …  Bn dan Bi  Bj =  maka Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Equally Likely Teorema: Utk suatu eksperimen dg sample space S={s1,…, sn} Jika tiap outcome adalah equally likely, Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsekuensi Dari Aksioma-Aksioma Teorema: P[∅] = 0 P[Ac] = 1 - P[A] Utk sembarang A dan B (tdk harus disjoint) P[A ∪ B] = P[A] + P[B] – P[A∩B] Jika A ⊂ B , maka P[A] ≤ P[B] Rekayasa Trafik, Sukiswo

Suatu Teorema yg Berguna Mis B1, B2,…,Bn event- Event yg mutual exclusive Dimana gabungannya (union) Sama dg sample space S partisi dari S Utk sembarang event A Teorema Rekayasa Trafik, Sukiswo

Conditional Probability Dlm praktek, mungkin tdk mungkin utk menemukan outcome yg persis dari suatu eksperimen Namun, jika kita tahu bhw Event B telah terjadi (outcome dari Event A adalah dlm set B) Probabilitas dari A jika B muncul dp dinyatakan Masih belum tahu P[A] Rekayasa Trafik, Sukiswo

Conditional Probability Notasi: P[A|B] Probabilitas dari A diberikan B Condition probability dari event A diberikan kemunculan dari event B Definisi: Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Penjelasan Lanjut Rekayasa Trafik, Sukiswo

Law of Total Probability Mis B1, B2,…,Bn event-event mutual exclusive dimana union sama dg sample space S P[Bi] > 0 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Bayes’ Theorem Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo 2 Independent Events Rekayasa Trafik, Sukiswo

Independent Interpretation Rekayasa Trafik, Sukiswo

Independent vs Disjoint Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo 3 Independent Events Rekayasa Trafik, Sukiswo

Most Common Application Asumsi bhw events dari eksperiments terpisah adalah independent Contoh: Asumsi bhw outcome dari suatu toss coin toss independent dari outcomes dari semua toss coin sebelum dan sesudahnya P[H] = P[T] = ½ P[HTH] = P[H]P[T]P[H] = 1/2*1/2*1/2 = 1/8 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Eksperimen Sekuensial Eksperimen: secara sekuensial subexperiments  subexperiments Tiap subexp. bisa tergantung pd yg sebelumya Direpresentasikan dg suatu Tree Diagram Model Conditional Prob.  Sequential Experiment Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh Sekuensial Koordinasi waktu 2 lampu lalu lintas P[lampuke-2 berwarna sama dg yg pertama] = 0.8 Asumsi lampu ke-1 memp kemungkinan sama utk hijau atau merah Cari P[lampu ke-2 adalah hijau] ? Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh Sekuensial Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh Sekuensial P[lampu ke-2 adalah hijau] ? Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Counting Method Rekayasa Trafik, Sukiswo

Prinsip Counting Method Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo K-permutations Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pilih dengan Replacement Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo K-combination Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Independent Trials Laksanakan pengulangan percobaan (trials) p = probabilitas sukses (1-p) = probabilitas gagal Tiap percobaan adalah independent Sk,n = event bahwa k sukses dlm n percobaan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Independent Trial: Contoh 3 percobaan dg 2 sukses 000 001 010 011 100 101 110 111 Berapa banyak cara utk memilih 2 dari 3 Berapa probabilitas sukses utk tiap cara? p2 * (1-p) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Independent Trial: Contoh Contoh: pd ronde pertama dari makanan, probabilitas suatu piring akan lulus test adalah 0.8 Dari 10 kandidat, berapa probabilitas bhw x kandidat akan lolos? P[x = 8]? Solusi: A = {suatu piring lolos test}, P[A] = 0.8 Testing suatu piring adalah suatu independent trial Rekayasa Trafik, Sukiswo

Independent Trials: Reliabilitas Mis probabilitas suatu komputer bekerja = p Series: P[A] = P[A1A2] = p2 Paralel: P[B] = ? P[B] = 1 – P[Bc] = 1 – P[B1cB2c] = 1 – (1 – p)2 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Random Variabel Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Random Variable Suatu varibel yg menggambarkan outcome dari suatu aktivitas random seperti rolling a die Mendefinisikan sebuah pemetaan dari outcome menjadi suatu nilai (value) Has a range of values over which it can vary and a probability distribution with which it takes on these values Discrete random variable – can take on a finite or countable set of values, e.g., number of customers in system Continuous random variable – can take on values over a continuous interval, e.g., waiting time Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Random Variable Eksperimen (Model Fisik)  Komposisi dari prosedur & observasi  Dari observasi, kita dapat outcomes  Dari semua outcomes, kita mendapatkan model probabilitas (matematis) disebut “Sample space”  Dari model, kita dapat P[A], A  S Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Random Variable Dari suatu model probabilitas Mis.: 2 lampu lalu lintas, observasi urutan dari lampu S = {R1R2,R1G2,G1R2,G1G2} Jika dialokasikan suatu bilangan pd tiap outcome pd S, tiap bilangan yg kita observasi disebut “Random Variable” Observasi jumlah lampu merah SX = {0,1,2} Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Random Variable Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo 2 Tipe Random Variable Discrete Random Variable Contoh: X = # jumlah shuttle-cocks yg digunakan pd suatu pertandingan badminton Continuous Random Variable Z = # menit dari lama panggilan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Discrete Random Variabel Rekayasa Trafik, Sukiswo

Discrete Random Variable Definisi: X adalah suatu discrete random variable jika rentang/range dari X dp dihitung/ countable Sx = {x1,x2,…} X adalah suatu finite random variable jika semua nilai dg probabilitas tdk nol ada dlm set terbatas Sx = {x1,x2,…,xn} Rekayasa Trafik, Sukiswo

Mengapa Kita Memerlukan suatu RV Utk suatu model probabilitas (eksperimen), outcome pd S dp dlm berbagai bentuk sembarang Jika kita implementasikan suatu Random Variable, kita dp kalkulasi rata-rata! Dlm Probabilitas, rata-rata disebut “expected value” dari suatu random variable Rekayasa Trafik, Sukiswo

Probability Mass Function Utk suatu model probabilitas (discrete), P[A] = [0,1] Utk suatu discrete random variable, model probabilitas disebut suatu “Probability Mass Function (PMF)” Rekayasa Trafik, Sukiswo

Probability Mass Function Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh PMF Contoh: 2 lampu lalu lintas, observasi urutan lampu S = { R1R2 , R1G2 , G1R2 , G1G2} Cari PMF dari T, jumlah dari lampu merah Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh PMF T adalah suatu random variable dari # lampu merah  Cari PT(t)  PT(t) = P[T = t]  Pertama-tama, cari probabilitas utk tiap t  Tiap outcome adalah equally likely 1/4 P[T=0] = P[{G1G2}] = 1/4 P[T=1] = P[{R1G2 , G1R2 }] = 2/4 = 1/2 P[T=2] = P[{R1R2}] = 1/4 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh PMF Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Teorema PMF Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Discrete RV Yg Berguna Discrete Uniform Random Variable Bernoulli Random Variable Geometric Random Variable Binomial Random Variable Pascal Random Variable Poisson Random Variable Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Discrete RV Yg Berguna Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Discrete RV Yg Berguna Rekayasa Trafik, Sukiswo

Cumulative Distribution Function (CDF) Memuat informasi lengkap mengenai model probabilitas dari random variable Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Teorema CDF Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh CDF Utk suatu binomial RV, # durian jatuh dlm 5 test dg p = 0.2 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh CDF Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Rata-Rata Study RV  rata-rata Berapakah rata-rata dari suatu RV? Satu bilangan tunggal yg dp menggambarkan RV Suatu contoh dari statistik Apakah Statistik? Bilangan yg mengumpulkan semua informasi yg dibawah perhatian kita Rata-rata: mean, mode, dan median Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Rata-Rata Mean: Sum / #terms Mode: Nilai yg paling sering PX(xmod) ≥ PX(x) x Median: Pertengahan dari set data P[X < xmed] = P[X > xmed] Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Mean  Expected Value Menambahkan semua pengukuran/ #terms Contoh: E[T] = ? = 0(1/4) + 2(3/4) = 3/2 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Expected Value Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Discrete RV yg Berguna Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Discrete RV yg Berguna Rekayasa Trafik, Sukiswo

Variance & Standard Deviation Kita tahu rata-rata, E[X], kenapa kita perlu Variance & Standard Deviation? Seberapa jauh dari rata-rata? T = X – µx E[T] = E[X – µx] = 0 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Variance Ukuran yg berguna adalah E[|T|] E[T2] = E[(X – µx)2]  Variance Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Standard Deviation σX andingkan dg µx Ex. σX = 15, Score +6 dari mean  OK. Pertengahan kelas Ex. σX = 3,Score +6 dari mean  Sangat baik dlm grup Top class Rekayasa Trafik, Sukiswo

Derived Random Variable Rekayasa Trafik, Sukiswo

Mengapa Kita Perlu Derived Random Variable Dari harga sampel dari random variable, harga-harga ini utk menghitung quantities lain Contoh: cari bentuk harga suatu decibel dari signal-to-noise ratio Y = g(X) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh-1 Random Variable X = # hal dlm satu fax PX(x) = jumlah hal dlm tiap fax Charging plan Hal ke-1 = 100 Rupiah Hal ke-2 = 90 Rupiah … Hal ke-5 = 60 Rupiah Hal 6 – 10 = 500 Rupiah Cari charge dlm Rupiah utk mengirim satu fax Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh-1 Random Variable Y = charge dlm Rupiah utk mengirim satu fax Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo PMF dari Y P[Y=y] = Σ dari semua outcomes X = x dimana Y = y Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Conditional PMF Rekayasa Trafik, Sukiswo

Continuous Random Variabel Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Random Variable Rekayasa Trafik, Sukiswo

Continuous Sample Space Utk Discrete: Set bilangan countable SX = {-1,0,1,3,4} SX = {-1,0,9,0,0,5,1,1,8,2.25,2.9,3} Utk continuous: Set bilangan uncountable SX = Interval antara 2 limit SX = (x1,x2) = (-1,3) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Probabilitas dari Suatu Continuous RV Mengukur T, waktu download ST= {t | 0 < t < 12} Tebak waktu download adalah (0, 10] menit Tebak waktu download adalah [5, 8] menit Tebak waktu download adalah [5, 5.5] menit Kemungkinan tebakan kita benar makin kecil Tebak waktu download adalah tepat 5.25 menit Probabilitas utk tiap outcome individual adalah nol. Probabilitas yg jadi perhatian adalah suatu interval Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo CDF Utk Discrete: Probability Mass Function PMF, PX(X) Utk Continuous: Tdk mungkin utk mendefinisikan PMF Cumulative Distribution Function (CDF) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Teorema CDF Rekayasa Trafik, Sukiswo

Probability Density Function Rekayasa Trafik, Sukiswo

Probability Density Function Slope dari CDF pd suatu region dekat x  Probabilitas dari random variable X dekat x  Prob. Pd suatu region keci (∆) = slope * ∆ Slope dari CDF  PDF Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Teorema PDF Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Expected Values Rekayasa Trafik, Sukiswo

Expected Value & Varaiance Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Continuous RV Berguna Uniform Exponential Gaussian Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Uniform Continuous RV Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Uniform Continuous RV Rekayasa Trafik, Sukiswo

Exponential Continuous RV Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh Exponential Rekayasa Trafik, Sukiswo

Exponential Continuous RV Rekayasa Trafik, Sukiswo

Gaussian Random Variables Rekayasa Trafik, Sukiswo

Gaussian Random Variables Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Mixed Random Variable Discrete RV  PMF & Summation Continuous RV  PDF & Integral Kombinasi dari Discrete dan Continuous RV  Unit impulse function  Dp menggunakan formulas sama utk menyatakan kedua RVs Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo PMF  PDF Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo PMF  PDF Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Summary Probability and Random Variable Discrete Random Variable Uniform/Bernoulli/Geometric/… PMF & CDF Expected Value Variance & Standard Deviation Continuous Random Variable PDF Uniform/Exponential/Gaussian  Multiple Random Variables  Stochastic Process Rekayasa Trafik, Sukiswo