Nonparametrik: Data Runtun Bab 14 Nonparametrik: Data Runtun

NONPARAMETRIK: DATA RUNTUN ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 NONPARAMETRIK: DATA RUNTUN A. Pendahuluan 1. Data Statistika Selain menggunakan data frekuensi, tanda, dan peringkat, statistika nonparametrik juga menggunakan runtun Runtun mencakup peralihan dua unsur pada barisan data (dikotomi) Pengujian terutama dilakukan untuk keacakan data atau kesamaan data melalui data runtun

2. Data Runtun pada Barisan Contoh 1 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ 2. Data Runtun pada Barisan Contoh 1 Misalkan pada sejumlah lemparan koin (M = muka, dan B = belakang), kita menemukan barisan data MMMBBMMBBBBMBMBBMMM Pada barisan data ini tampak peralihan dari M ke B atau dari B ke M MMM BB MM BBBB M B M BB MMM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Banyaknya peralihan ini (di sini 9 kali) dikenal sebagai runtun (r) Barisan data di atas terdiri atas 9 runtun atau r = 9

Letak barisan data ini dapat diperjelas melalui BB SS B S BBB SS B SSS ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 2 Terdapat barisan data yang terdiri atas dua unsur (B = betul dan S = salah) sebagai berikut BBSSBSBBBSSBSSS Letak barisan data ini dapat diperjelas melalui BB SS B S BBB SS B SSS sehingga tampak bahwa runtun r = 8 Contoh 3 Barisan data adalah L = lelaki dan P = perempuan LLLLLLLLLLPPPPPPPPPP r =

LPLPLPLPLPLPLPLPLPLP Runtun r = Contoh 5 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 4 Antrian yang terdiri atas L = lelaki dan P = perempuan adalah sebagai berikut LPLPLPLPLPLPLPLPLPLP Runtun r = Contoh 5 Tentukan runtun r untuk barisan data berikut MMMMMMBBBBMMMMBBBBBB LLLGGLGGGLLLGGGGGLLGLL LPLPLLLPPLPLPLPLLLPLPLPLLPPPLPLPLP LLPLLPLLLLPLPLL TTTEEEETEEETTTTEETEETTTEETTTEEETEE TTEEEETEEEETTEEEE

3. Data Runtun di Atas dan Bawah Median Contoh 6 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ 3. Data Runtun di Atas dan Bawah Median Contoh 6 Pada barisan bilangan, kita dapat menentukan median, misalnya 5 2 2 1 6 5 3 3 1 6 5 2 1 4 4 Median bilangan ini adalah 3,27 Selanjutnya bilangan di atas median dinyatakan sebagai + , di bawah median dinyatakan sebagai , dan sama dengan median dinyatakan sebagai 0 Dengan ketentuan ini, barisan bilangan ini membentuk runtun berupa + dan  +   ++   ++  ++ sehingga r = 7 Beberapa buku menyatakan bahwa 0 sebaiknya diabaikan saja (+++0++ = 1 runtun)

Median adalah 25 sehingga runtun di atas dan di bawah median adalah ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 7 Pada barisan bilangan 24 28 21 27 29 26 22 25 23 Median adalah 25 sehingga runtun di atas dan di bawah median adalah  +  + + +  0  Sehingga r = 5 Contoh 8 Tentukan runtun di atas dan di bawah median untuk barisan bilangan 82 73 68 72 78 75 92 84 76 85 77 85 79 84 88

------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 9 Hitung runtun di atas dan di bawah median untuk barisan bilangan sebagai berikut (a) 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 (ini adalah pecahan desimal pada ) (b) 04433 80674 24520 18222 10610 95794 37515 48611 62866 33963 (sengaja diberi spasi agar mudah dibaca; diambil dari tabel bilangan acak) (c) 61 21 89 31 81 65 67 34 64 45 97 97 29 20 98 20 22 3 61 42 92 98 14 59 69 19 36 83 71 80 17 72 28 23 91 15 14 42 49 75 58 73 57 20 77 9 24 73 67 48 32 68 65 18 12 14 65 80 23 80 52 28 91 84 26 30 66 42 43 28 23 6 96 5 94 27 83 70 18 16 10 84 94 79 50 23 9 34 22 66 81 78 76 60 14 95 25 47 47 36

4. Pengujian Hipotesis Keacakan ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ 4. Pengujian Hipotesis Keacakan Hipotesis keacakan dapat diuji melalui runtun, runtun pada barisan serta runtun di atas dan di bawah median Jika runtun terlalu sedikit maka data tidak acak karena seperti diatur Jika runtun terlalu banyak maka data juga tidak acak karena seperti diatur Data adalah acak jika runtun tidak terlalu sedikit dan tidak terlalu banyak Uji hipotesis dilakukan melalui pendekatan ke distribusi probabilitas normal dengan melihat berapa jauh runtun r dari rerata (terlalu jauh dari rerata berarti tidak acak) Untuk sampel kecil uji hipotesis menggunakan tabel khusus

1. Uji Hipotesis pada Sampel Besar ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ B. Uji Hipotesis Keacakan 1. Uji Hipotesis pada Sampel Besar Sampel dianggap besar jika ada n > 20 Runtun di antara data X dan Y Distribusi probabilitas pensampelan adalah distribusi probabilitas normal Rerata dan kekeliruan baku r dan r adalah

Pada suatu sampel antrian L dan P terdapat nL = 30 nP = 20 r = 35 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 10 Pada suatu sampel antrian L dan P terdapat nL = 30 nP = 20 r = 35 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel ini berasal dari populasi acak Hipotesis H0 : Antrian acak H1 : Antrian tidak acak Sampel Statistik sampel menunjukkan nL = 30 nP = 20 r = 35

Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas pensampelan adalah distribusi probabilitas normal dengan rerata dan kekeliruan baku Statistik uji

Pengujian pada dua ujung Nilai kritis Ujung bawah z(0,025) =  1,96 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,05 Pengujian pada dua ujung Nilai kritis Ujung bawah z(0,025) =  1,96 Ujung atas z(0,975) = 1,96 Tolak H0 jika z <  1,96 atau z > 1,96 Terima H0 jika  1,96  z  1,96 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0

------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 11 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel acak pada Contoh 5 (c) berasal dari populasi barisan acak Contoh 12 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel acak pada Contoh 5 (d) berasal dari populasi barisan acak Contoh 13 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel acak pada Contoh 9(a) berasal dari populasi bilangan acak

------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 14 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel acak pada Contoh 9(b) berasal dari populasi bilangan acak Contoh 15 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel acak pada Contoh 9(c) berasal dari populasi bilangan acak

2. Uji Hipotesis pada Sampel Kecil ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ 2. Uji Hipotesis pada Sampel Kecil Sampel kecil adalah sampel dengan n  20 Prinsip pengujian hipotesis adalah sama dengan uji hipotesis pada sampel besar Jika r terlalu sedikit maka data tidak acak karena data seperti diatur Jika r terlalu banyak maka data juga tida acak karena data seperti diatur Data adalah acak jika r tidak terlalu sedikit dan tidak terlalu banyak Pada sampel kecil, batas r sedikit dan r banyak disusun dalam satu tabel Nilai kritis pada taraf signifikansi 0,05 untuk runtun tercantum pada tabel berikut

Tabel Nilai Kritis untuk Runtun ( = 0,05) ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Nilai Kritis untuk Runtun ( = 0,05) Nilai terbesar di antara n1 dan n2 n kecil 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 10 10 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 6 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 7 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16 16 8 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 17 17 17 9 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 15 16 16 16 17 17 18 18 18 18 18 18 10 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 16 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20

Nilai terbesar di antara n1 dan n2 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Nilai terbesar di antara n1 dan n2 n kecil 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 17 18 19 19 19 20 20 20 21 21 12 7 8 8 8 9 9 9 10 10 19 19 20 20 21 21 21 22 22 13 8 9 9 9 10 10 10 10 20 20 21 21 22 22 23 23 14 9 9 10 10 10 11 11 21 22 22 23 23 23 24 15 10 10 11 11 11 12 22 23 23 24 24 25 16 11 11 11 12 12 23 24 25 25 25 17 11 12 12 13 25 25 26 26 18 12 13 13 26 26 27 19 13 13 27 27 20 14 28

H0 : Lemparan koin adalah acak H1 : Lemparan koin tidak acak Sampel ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 16 Pada lemparan koin (M = muka dan B = belakang) sampel acak menghasilkan barisan dengan nM = 10 nB = 10 r = 4 Pada taraf signifikansi  = 0,05, uji apakah sampel ini berasal dari populasi acak Hipotesis H0 : Lemparan koin adalah acak H1 : Lemparan koin tidak acak Sampel nM = 10 nB = 10 r = 4

Distribusi Probabilitas Pensampelan Sampel kecil dengan n terbesar = 10. Pengujian dilakukan melalui tabel nilai kritis Kriteria pengujian Dari tabel nilai kritis untuk  = 0,05 diperoleh bahwa hipotesis H0 diterima pada 6  r  16 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05, tolak H0

------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 17 Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 1 Contoh 18 Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 2 Contoh 19 Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 3 Contoh 20 Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 4 Contoh 21 Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 5(a)

------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 22 Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 5(b) Contoh 23 Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 6 Contoh 24 Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 7 Contoh 25 Pada taraf signifikansi 0,05 uji keacakan untuk sampel acak pada Contoh 8

C. Uji Wald-Wolfowitz untuk Kesamaan Fungsi Distribusi Dua Populasi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ C. Uji Wald-Wolfowitz untuk Kesamaan Fungsi Distribusi Dua Populasi 1. Ketentuan Runtun Dua sampel, misalkan X dan Y, digabung dan disusun ke dalam peringkat Di dalam peringkat, urutan X dan Y yang bergantian membentuk runtun Apabila terdapat peringkat sama, ada buku yang menganjurkan agar data itu diabaikan Tetapi ada buku yang menganjurkan untuk melakukan undian dalam penentuan urutan Dan ada buku yang menganjurkan untuk melihat runtun rendah dan runtun tinggi

Sampel X dan Y menunjukkan data sebagai berikut ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ 2. Penentuan Runtun Contoh 26 Sampel X dan Y menunjukkan data sebagai berikut X 20 37 55 50 64 41 Y 75 21 72 71 85 43 34 65 90 35 Data X dan Y digabung sementara identitas tiap X dan Y tetap dikenal Gabungan data ini disusun ke dalam peringkat naik Urutan X dan Y pada peringkat itu membentuk runtun Daripadanya diperoleh nX, nY, dan r

Peringkat data gabungan X dan Y Asal Data Peringkat X 20 1 Y 21 2 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Peringkat data gabungan X dan Y Asal Data Peringkat X 20 1 Y 21 2 Y 34 3 Y 35 4 nX = 6 X 37 5 X 41 6 nY = 10 Y 43 7 X 50 8 r = 6 X 55 9 X 64 10 Y 65 11 Y 71 12 Y 72 13 Y 75 14 Y 85 15 Y 90 16

Hitung runtun pada sampel berikut ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 27 Hitung runtun pada sampel berikut X 68 67 58 62 60 67 Y 60 59 72 73 56 53 43 50 65 56 56 56 57 36 Contoh 28 X 83 91 94 89 89 96 91 92 90 Y 78 82 81 77 79 81 80 81 Contoh 29 X 74 72 77 76 76 73 75 73 74 75 Y 75 77 78 79 77 73 78 79 78 80

Hitung runtun pada sampel berikut ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 30 Hitung runtun pada sampel berikut X 86 69 72 65 113 65 118 45 141 104 41 50 Y 55 40 22 58 16 7 9 16 26 36 20 15 Contoh 31 X 39,1 41,2 45,2 46,2 48,4 48,7 55,0 40,6 52,1 47,2 Y 35,2 39,2 40,9 38,1 34,4 29,1 41,8 24,3 32,4 32,6 Contoh 32 X 20 55 29 24 75 56 31 45 Y 23 8 24 15 8 6 15 15 21 23 16 15 24 15 21 15 18 14 22 15 14

Hitung runtun pada sampel berikut ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 33 Hitung runtun pada sampel berikut X 227 55 184 174 176 234 147 194 252 194 88 248 149 247 161 206 16 99 171 89 Y 209 271 63 19 14 151 184 127 165 235 53 151 171 147 228 101 292 99 271 179 Contoh 34 X 14,8 7,2 5,6 6,3 9,0 4,2 10,6 12,5 12,9 16,1 11,4 2,7 Y 12,7 14,2 12,6 2,1 17,7 11,8 16,9 7,9 16,0 10,6 5,6 5,6 7,6 11,3 8,3 6,7 3,6 1,0 2,4 6,4 9,1 6,7 18,6 3,2 6,2 6,1 15,3 10,6 1,8 5,9 9,9 10,6 14,8 5,0 2,6 4,0

Uji hipotesis ditujukan untuk kesamaan fungsi distribusi dua populasi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ 3. Pengujian Hipotesis Uji hipotesis ditujukan untuk kesamaan fungsi distribusi dua populasi Jika satu fungsi distribusi lebih besar dari fungsi distribusi lainnya, maka yang besar akan terkumpul di peringkat tinggi dan yang kecil terkumpul di peringkat rendah; runtun menjadi sedikit Pada sampel besar, n > 20 distribusi pensampelan mendekati distribusi probabilitas normal dengan rerata dan kekeliruan baku seperti pada runtun satu sampel Pada sampel kecil n  20, nilai kritis pengujian hipotesis menggunakan tabel khusus seperti pada runtun satu sampel

4. Uji Hipotesis pada Sampel Besar ------------------------------------------------------------------------------ Bab 34 ------------------------------------------------------------------------------ 4. Uji Hipotesis pada Sampel Besar Sampel besar bila n terbesar > 20 Distribusi probabilitas pensampelan mendekati distribusi probabilitas normal Rerata r dan kekeliruan baku r adalah

Sampel setelah dihitung runtunnya adalah sebagai berikut ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 35 Pada taraf signifikansi 0,05 diuji apakah sampel berasal dari populasi yang sama fungsi distribusinya Sampel setelah dihitung runtunnya adalah sebagai berikut nX = 8 nY = 21 r = 6 Hipotesis H0 : Populasi X dan Y adalah sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama Sampel nX = 8 nY = 21 r = 6

Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas pensampelan adalah distribusi probabilitas normal dengan rerata dan kekeliruan baku Statistik uji

Pengujian pada dua ujung Nilai kritis Ujung bawah z(0,025) =  1,96 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,05 Pengujian pada dua ujung Nilai kritis Ujung bawah z(0,025) =  1,96 Ujung atas z(0,975) = 1,96 Tolak H0 jika z <  1,96 atau z > 1,96 Terima H0 jika  1,96  z  1,96 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0

------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 36 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis apakah sampel berasal dari populasi yang sama fungsi distrbusinya untuk Contoh 32 Contoh 37 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis apakah sampel berasal dari populasi yang sama fungsi distrbusinya untuk Contoh 33 Contoh 38 Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis apakah sampel berasal dari populasi yang sama fungsi distrbusinya untuk Contoh 34

5. Uji Hipotesis pada Sampel Kecil Sampel kecil adalah n terbesar  20 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ 5. Uji Hipotesis pada Sampel Kecil Sampel kecil adalah n terbesar  20 Kriteria pengujian menggunakan tabel nilai kritis seperti pada runtun satu sampel Contoh 39 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel berasal dari populasi yang sama fungsi distribusinya, apabila sampel acak adalah nX = 6 nY = 10 r = 6 Hipotesis H0 : Populasi X dan Y adalah sama H1 : Populasi X dan Y tidak sama

Distribusi probabilitas pensampelan Sempel nX = 6 nY = 10 r = 6 Distribusi probabilitas pensampelan Sampel kecil, menggunakan tabel khusus Kriteria pengujian Dari tabel nilai kritis pada  = 0,05, diperoleh bahwa hipotesis H0 diterima pada 4  r  13 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 40 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi adalah sama fungsi distribusinya apabila sampel acak adalah seperti pada Conton 26 Contoh 41 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi adalah sama fungsi distribusinya apabila sampel acak adalah seperti pada Conton 27 Contoh 42 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi adalah sama fungsi distribusinya apabila sampel acak adalah seperti pada Conton 28

------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 43 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi adalah sama fungsi distribusinya apabila sampel acak adalah seperti pada Conton 29 Contoh 44 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi adalah sama fungsi distribusinya apabila sampel acak adalah seperti pada Conton 30 Contoh 45 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi adalah sama fungsi distribusinya apabila sampel acak adalah seperti pada Conton 31

6. Uji Hipotesis pada Sampel Tidak Terlalu Besar ------------------------------------------------------------------------------ Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ 6. Uji Hipotesis pada Sampel Tidak Terlalu Besar Jika n terbesar > 20 maka pengujian hipotesis dilakukan pada distribusi probabilitas normal Statistik uji adalah Tetapi kalau n tidak terlalu besar di atas 20, maka statistik uji dapat dikoreksi menjadi

----------------------------------------------------------------------- Bab 14 ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 46 Kita gunakan rumus ini untuk contoh 35 dan dalam hal ini Statistik uji Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0