TEORI PELUANG Inne Novita M.Si

peluang Peluang semata-mata adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan atau kemungkinan terjadinya suatu peristiwa Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1 Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi

ISTILAH DALAM TEORI PELUANG Percobaan atau eksperimen adalah suatu proses yang menghasilkan data RuangSampel adalah himpunan yang memuat semua kemungkinan yang dapat terjadi dari suatu percobaan. Ruang sampel disimbolkan dengan “ S ”, yang merupakan himpunan semesta. Contoh a). Ruang sampel dari percobaan pelemparan sebuah uang logam sebanyak satu kali adalah S : { gambar, angka }. b). Ruang sampel dari percobaan pelemparan sebuah dadu sebanyak satu kali adalah S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

Kejadian/Peristiwa/Event adalah himpunan bagian dari ruang sampel Kejadian/Peristiwa/Event adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Suatu kejadian disimbolkan dengan huruf kapital (A, B, C, dll). Contoh A adalah kejadian munculnya muka gambar, maka A : { gambar }. B adalah kejadian munculnya mata dadu bernilai genap, maka B :{ 2, 4, 6 }. Titik Contoh/Titik sampel adalah banyaknya anggota yang ada dalam suatu ruang sampel. Titik sampel juga bisa menyatakan banyaknya anggota yang menyusun suatu kejadian.

Contoh Dari pelemparan sebuah dadu sebanyak satu kali, S : {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka titik sampel ada sebanyak 6 atau disimbolkan dengan N(S) = 6. A adalah kejadian munculnya mata dadu bernilai paling kecil 3, maka A : {3, 4, 5, 6}, maka banyaknya titik sampel yang menyokong kejadian A ada 4 atau N(A) = 4.

Kaidah pencacahan titik sampel Kaidah penggandaan Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam dan demikian seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam cara

Permutasi : Permutasi adalah susunan yang dibentuk oleh seluruh atau sebagian dari sekumpulan objek dengan memperhatikan urutan. Cara I Banyaknya permutasi dari n objek yang berbeda adalah n ! (baca n faktorial) adalah : n ! = n × (n-1) × (n-2) …. × (2) × (1)

Cara II Banyaknya permutasi akibat pengambilan r objek dari n objek yang berbeda adalah : kombinasi banyaknya cara mengambil r objek dari n objek tanpa memperhatikan urutannya.

Bila 2 buah dadu dilemparkan sekali berapa banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya? Berapa macam menu yang dapat disusun dari 4 macam sup, 3 jenis tumis, 5 jenis minuman, dan 3 jenis lauk Berapa macam cara dapat diperoleh untuk membentuk angka ratusan yang bernilai kurang dari 400 dari angka- angka 2,3,5,9,8 Ada berapa macam cara menjawab 9 pertanyaan benar- salah Ada berapa cara yang dapat disusun untuk menempatkan 7 orang pada 1 kamar hotel yang berkapasitas 3 orang dan 2 kamar hotel yang berkapasitas 2 0rang

Definisi peluang Jika setiap titik contoh memiliki peluang yang sama maka dengan N(A) : banyak titik contoh penyusun kejadian A N(S) : banyak titik contoh dalam ruang contoh S Contoh Berapa peluang memperoleh kartu as hitam, bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge ? Jawab : N(A) = banyak kartu as hitam = 2 (♠ dan ♣) N(S) = banyak kartu bridge = 52 P (A) = → ☺ Peluang terambilnya as hitam.  

Contoh Terdapat 10 orang kandidat karyawan yang terdiri dari 6 Sarjana Ekonomi (SE) dan 4 Sarjana Teknik (ST). Berapa peluang terpilih 3 karyawan yang terdiri dari 2 SE dan 1 ST? Jawab : Mis A= kejadian terpilihnya 3 karyawan yang terdiri dari 2 SE dan 1 ST? maka : N(A) = N(S) = P(A) =

Beberapa aturan peluang Jika P(A) meyatakan peluang kejadian A terjadi, maka 0 ≤ P(A) ≤1 Jika menyatakan bukan kejadian A maka Contoh : Jika peluang hari ini hujan adalah 0.65 maka peluang hari tidak hujan adalah 1-0.65 = 0.35

KAIDAH PENJUMLAHAN Jika A dan B adalah 2 kejadian sembarang maka : Jika A dan B adalah kejadian saling terpisah, maka: 2 kejadian dikatakan saling terpisah jika 2 kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan Contoh : Ketika melempar sekeping koin, kejadian 'mendapat angka' dan kejadian 'mendapat gambar' adalah saling terpisah, sebab keduanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan.

Misalnya, ketika memilah bola secara acak dari keranjang yang berisi 3 bola biru, 2 bola hijau, dan 5 bola merah, peluang mendapat bola biru atau merah adalah P(Biru atau Merah) = P(Biru) + P(Merah) P(Biru atau Merah) = 3/10 + 5/10 P(Biru atau Merah) = 8/10 = 0.8 Contoh penjumlahan 2 kejadian yang tidak saling terpisah Misalnya, ketika mengambil kartu dari satu set kartu permainan (52 kartu), peluang mendapat kartu merah atau raja adalah Jawab : perhatikan bahwa Sebuah kartu bisa merah, raja, atau keduanya (yaitu raja merah). Jadi kita harus mengurangi peluang kartu itu adalah raja merah, karena peluang itu sudah termasuk ketika kita menghitung peluang untuk kartu merah dan peluang untuk kartu raja. sehingga penjumlahan 2 kejadian di atas adalah

P(Merah atau Raja) = P(Merah) + P(Raja) - P(Merah ∩ Raja)

PELUANG BERSYARAT DEFINISI: Peluang bersyarat B, bila A diketahui dilambangkan dengan P(B|A), didefinisikan dengan : jika P(A) > 0 Contoh : Ruang sampel S terdiri atas populasi sarjana di suatu kota. Akan dikategorikan populasi ini menurut jenis kelamin dan status pekerjaan. Bekerja Menganggur Laki-laki 460 40 Perempuan 140 260

Perhatikan kejadian berikut : misalkan akan diambil secara acak seorang di antara mereka untuk ditugaskan mempublikasikan pentingnya didirikan industri-industri baru di kota tersebut. Perhatikan kejadian berikut : M : kejadian yang terpilih laki-laki E : Kejadian yang terpilih telah bekerja Maka peluang yang telah terpilih adalah Laki-laki yang telah bekerja adalah :

Contoh : Peluang suatu penerbangan berangakat tepat pada waktunya adalah 0.83, peluang penerbangan itu mendarat tepat pada waktunya adalah 0.92, dan peluang penerbangan itu berangkat dan mendarat tepat waktu adalah 0.78. hitung bahwa pesawat pada penerbangan itu : a. mendarat tepat waktu jika diketahui bahwa pesawat tersebut berangkat tepat waktu b. berangkat tepat waktu jika diketahui pesawat itu mendarat tepat waktu

Peluang kejadian saling bebas Dua kejadian dikatakan kejadian yang saling bebas jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian yang lain. Sehingga : DEFINISI: Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika : P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A) Hal ini berpengaruh pada kaidah penggandaan Jika kejadiannya tidak saling bebas maka: P(A∩B) = P(A). P(B|A) atau P(A∩B) = P(B). P(A|B)

Jika kejadiannya saling bebas maka P(A∩B) = P(A).P(B) Contoh : Misalkan terdapat sebuah kotak berisi 20 sekring yang 5 di antaranya rusak. Bila 2 sekring diambil secara acak dan tanpa pengembalian berapa peluang sekring yang terambil keduanya rusak ?

1. Bila sebuah huruf di ambil secara acak dari alfabet hitung peluang bahwa huruf yang terambil: a. merupakan huruf hidup b. mendahului huruf j c. di belakang huruf g 2. Sepasang dadu dilemparkan, hitung peluang mendapatkan a. jumlahnya 8 b. jumlahnya kurang dari atau sama dengan 5 3. Diaantara 100 siswa, 54 mempelajari matematika, 69 mempelajari sejarah, dan 35 mempelajari keduanya. Bila seorang mahasiswa diambil secara acak, hitung peluang bahwa : a. ia mempelajari matematika atau sejarah b. ia tidak mempelajari keduanya

Peluang sebuah mobil yang di isi bensin juga memerlukan penggantian oli adalah 0.25. peluang mobil itu memerlukan penyaring oli yang baru adalah 0.4 dan peluang bahwa moil itu memerlukan oli maupun penyaring oli yang baru adalah 0.14 A. bila oli harus diganti, berapa peluang penyaring baru juga diperlukan B. bila penyaring baru diperlukan , berapa peluang olinya juga harus diganti Peluang seorang dokter mendiagnosis suatu penyakit secara benar adalah 0.7. bila diketahui dokter tersebut salah mendiagnosis, bahwa pasien akan menuntut ke pengadilan adalah 0.9. berapa peluang dokter tersebut salah mendiagnosis dan pasien menuntutunya?