DASAR-DASAR PROBABILITAS

DASAR-DASAR PROBABILITAS Peranan probabilitas Teori probabilitas Aturan penjumlahan dan perkalian Peristiwa mutually Exclusif Mutually Exclusif independent Teori Bayes

Probabilitas adalah : Pendahuluan peluang suatu kejadian, ukuran numerik dari kecenderungan terjadinya suatu peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa lain. suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang.

Kegiatan melempar uang. Contoh Probabilitas Kegiatan melempar uang. Kemungkinan hasil yang diperoleh mempunyai dua permukaan yaitu: muncul gambar G) dan muncul angka (A). Peristiwa munculnya angka mempunyai probabilitas ½ atau 50%. Suatu dadu dilempar satu kali. Peluang mendapat sisi dengan muka 4 adalah 1/6. Dua buah dadu dilempar satu kali. Peluang mendapat jumlah muka dadu sembilan adalah mata dadu yang memberikan jumlah sembilan adalah: (3+6), (4+5), (5+4),(6+3) dari 36 kombinasi yang ada, sehingga peluangnya adalah 4/36 atau 1/9 atau 11,11%. Mahasiswa menempuh ujian skripsi. Kemungkinan hasil yang diperoleh mempunyai kemungkinan yaitu: Lulus memuaskan (M), lulus sangat memuaskan (SM), dan ter puji (P). Probabilitas mahasiswa lulus dengan predikat terpuji adalah 1/3 atau 33,3%

Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian eksperimen yang menghasilkan ”hasil” yang tidak pasti, dan bermakna apabila eksperimen diulang dalam kondisi yang sama akan memberikan hasil yang dapat berbeda-beda. Peran mempelajari probabilitas adalah : ~ membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna. Contoh: Kasus pemberian air dan hara pada sistem aerophonik. Dibutuhkan pemilihan ukuran pipa saluran yang tepat, besar kecilnya pipa yang digunakan tergantung dari jumlah air dan pupuk yang diberikan. Secara umum saluran yang besar akan memecahkan masalah, tetapi hal ini akan menjadi pemborosan karena air dan pupuk yang diberikan dalam jumlah yang tertentu. Keputusan untuk menggunakan ukuran pipa sebagai saluran membutuhkan dasar-dasar probabilitas.

Nilai Probabilitas /Peluang Nilai probabilitas/peluang = 0 – 1 atau 0 – 100% 1 0,5 Absolut Impossible Absolut Certainly Pelemparan mata uang nilai peluang akan mucul diantara hasil yang diharapkan dan hasil yang tidak diharapkan.

Dasar-dasar Probabilitas Percobaan (Eksperiment) Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi. Percobaan tidak terbatas pada percobaan dalam laboratorium, tetapi juga meliputi sebagai prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu dimana pada kondisi tersebut percobaan dapat diulang-ulang dan menghasilkan hasil yang tidak sama. Hasil (outcome) Hasil dari sebuah percobaan atau hasil pengamatan pada percobaan. Himpunan yang anggotanya merupakan hasil yang mungkin dari suatu percobaan dinamakan ruang sampel. Elemen dalam ruang sampel dinamakan titik sampel. Ruang sampel diskrit adalah ruang sampel yang mempunyai banyak elemen terhingga, sedangkan ruang sampel kontinu memuat semua bilangan rill suatu interval. Peristiwa (event): Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Dengan kata lain peristiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel. Peristiwa yang hanya memuat satu elemen saja disebut peritiwa sederhana. Peristiwa dapat disusun dari beberapa peristiwa sederhana dinamakan peristiwa bersusun.

Contoh : Eksperimen : Pelemparan sebuah dadu Hasil : Sisi dadu Ruang sampel : S = { 1,2,3,4,5,6 } Peristiwa : A = Munculnya dadu genap A = {2,4,6 } Eksperimen : Pelemparan koin 2 kali Hasil : Salah satu hasilnya GA yang menunjukkan bahwa hasil pelemparan pertama adalah sisi Gambar dan hasil pelemparan kedua Angka. Ruang sampel : S = { GA, GG, AG, AA) Peristiwa : A = Paling sedikit muncul muka Gambar (G) A = { GA, GG, AG}

Peristiwa dan Operasinya (Diagram Venn) Diagram Venn digambarkan dengan sebuah persegi panjang yang mewakili total elemen yang ada. Peluang dua atau lebih kejadian. Peristiwa baru dapat dibentuk dari peristiwa-peristiwa yang sudah ada. Union dua peristiwa A dan B (A  B) adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A atau di dalam B Contoh Tentukan gabungan dari kejadian A = {1,2,3,4,5} dan B = {2,4,6,8}. Maka A  B = {1,2,3,4,5,6,8} S A B

2. Interaksi dua peristiwa A dan B (A  B) adalah impunan semua elemen yang ada di dalam A dan di dalam B. Tentukan irisan antara A = {1,2,3,4,5} dan B ={2,4,6,81} Maka A  B = {2,4} S A B

3. Komplemen peristiwa A dan B (Ac) adalah himpunan semua elemen yang tidak ada di dalam A Contoh : S {1,2,3,4,5,6,7,8} dan A = {1,2,3,4,5} maka maka Ac = {6,7,8} S A Ac

Menghitung Titik Sampel Aturan 1. Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1.X. n2 cara. Contoh: Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel sepasang dadu dilantunkan satu kali. Pelemparan dadu pertama menghasilkan 6 hasil yang mungkin, untuk tiap-tiap hasil pelemparan dadu pertama, pelemparan dadu ke dua menghasilkan 6 hasil yang mungkin. Hasil yang mungkin seluruhnya adalah 6 X 6 = 36

Menghitung Titik Sampel lanjutan Aturan 2 Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebut operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1 x n2 x ...x nk cara. Contoh Berapa macam hidangan dapat disajikan jika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop, nasi goreng, bakmi, dan soto. Bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto. Hasil yang mungkin adalah 4 x 3 x 5 x 4 = 240 hidangan.

Menghitung Titik Sampel lanjutan Diagram pohon 1 Route 2 Suatu jasa pengiriman barang dengan kapal laut menawarkan tiga jalur pelayaran yang masing-masing terdiri dari tiga rute. Berapa banyak cara untuk mengirimkan barang tersebut ? Jalur 1 3 1 Route 2 Jalur 2 3 1 Jalur 3 2 Route 3

Menghitung Titik Sampel lanjutan Permutasi ~ adalah suatu susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya. ~ Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda adalah jumlah susunan yang berbeda yang dimungkinkan dari objek tersebut. Jika semua obyek digunakan dalam susunan, maka permutasi di tuliskan dengan nPn. Jika sebagian obyek saja (r) yang disusun dari n jumlah objek yang ada (r < n) maka permutasinya ditulis dengan nPr.

Menghitung Titik Sampel lanjutan : Permutasi n! (dibaca n faktorial) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 0! = 1 Contoh 1. Dari 20 undian, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyaknya titik sampel dalam ruang S. Bentuk 3 dan 5 bilangan angka yang dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5, Urutan angka yang dibentuk harus diperhatikan. Terdiri dari 3 angka Terdiri dari 5 angka

Menghitung Titik Sampel lanjutan : Permutasi Aturan 3. Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)! Contoh : Dalam suatu rapat ada empat peserta duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang berlainan dalam rapat tersebut? Banyaknya susunan = (n-1)! = (4 - 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Menghitung Titik Sampel lanjutan : Permutasi Aturan 4 Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,..., nk berjenis ke k adalah : Contoh: Suatu pohon dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu, bila tiga diantaranya berwama merah, empat kuning dan dua hijau? Banyaknya cara menyusun lampu =

Menghitung Titik Sampel lanjutan Aturan 5 Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 elemen dalam sel pertama, n2 dalam sel ke dua dst, adalah: dengan n1 + n2 + n3 ... + nk = n. Contoh: Berapa banyaknya cara untuk menampung 9 mahasiswa dalam tiga kamar hotel, bila satu kamar bertempat tidur tiga sedangkan dua lainnya mempunyai dua tempat tidur? Cara yang dapat digunakan adalah =

Menghitung Titik Sampel lanjutan 2. Kombinasi ~ Jumlah kombinasi dari n benda yang berbeda adalah jumlah susunan dari r benda yang berbeda tanpa memperhitungkan susunannya Aturan 6 Jumlah kombinasi dari 4 benda yang berlainan bila diambil sebanyak 2 adalah:

Menghitung Titik Sampel lanjutan Contoh Bila ada empat kimiawan dan tiga fisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orang yang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawan dan satu fisikawan. Cara memilih 2 dari 4 kimiawan adalah Cara memilih 1 dari 3 fisikawan adalah Banyaknya panitia adalah 6 x 3 = 18 susunan panitia

Menghitung Titik Sampel lanjutan Contoh 2 : Dari 6 siswa laki-laki (L) dan 5 siswa perempuan (P) akan dibentuk sebuah panitia yang terdiri diri dari 6 anggota dimana panitia tersebut paling sedikit harus terdiri dari 3 perempuan. Berapa jumlah panitia yang berbeda yang mungkin dibentuk? Panitia dengan syarat sepert di atas mungkin terdiri dari 3P dan 3L, 4P dan 2L serta 5P dan 1L. Dengan demikian masing-masing perbandingan jumlah panitia Laki dan Perempuan tersebut dapat tersusun dari : (5C3P x 6C3L) + (5C4P x 6C2L) + (5C5P x 6C1L) = 281 panitia yang berbeda

Menghitung Titik Sampel lanjutan 3. Empat bola diambil dari sebuah kotak yang terdiri dari 10 bola hitam dan 10 bola putih. Berapakah peluang mendapat bola yang semuanya berwama hitam dan peluang mendapat bola dengan warna yang sama? Peluang mendapatkan bola hitam jika setiap bola yang terambil dikembalikan sebelum melakukan pengambilan berikutnya? Jumlah kejadian yang mungkin 4 bola hitam yang dapat diambil dari 20 bola yang ada adalah 20C4 = 4845

Probabilitas Suatu Peristiwa Suatu ruang sampel mempunyai elemen N(S). Peristiwa A adalah himpunan bagian dari S mempunyai elemen N(A). Probabilitas peristiwa A di definisikan N menunjukkan banyaknya elemen dalam peristiwa Contoh: maka S = (1,2,3,4,5,6), peristiwa A = (2,4,6) sehingga N(S) = 6 dan N(A)= 3, probabilitas peristiwa A

Sifat-sifat probabilitas yang penting P(A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi 0 < P(A) <1 Karena 0 < N(A) < N(S) maka P()= 0 dan P (S) = 1 P(A) = 1 artinya A pasti terjadi, P(A) = 0 artinya A tidak mungkin terjadi

D. Aturan Penjumlahan Aturan penjumlahan digunakan untuk menghitung suatu peristiwa A atau peristiwa yang lain, peristiwa B akan terjadi ditulis P(A atau B) atau P (A U B) Aturan perkalian digunakan untuk menghitung peristiwa A dan peristiwa B akan terjadi bersama­sama, ditulis P(A dan B) atau P (A  B). Ada dua aturan penjumlahan yaitu untuk peristiwa yang Mutually Exclusive Events dan Not Mutually Exclusive Events

S A B a) Mutually Exclusive Events Dua kejadian dikatakan mutually exclusive event satu sama lain jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersama ­ sama. Terjadinya peristiwa A atau peristiwa B adalah penjumlahan kemungkinan terjadinya kedua peristiwa tersebut yaitu : P (A B) = P(A) + P(B) yang berasal dari: N(A  B) = N(A) + N(B) - N(A  B) P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) P(A  B) = P(A) + P(B) karena A dan B saling asing A  B =  dan P(A  B) = 0 S A B

Contoh : 1. Pelemparan sebuah dadu, kemungkinan mata genap atau mata ganjil yang mungkin adalah : P(A  B)=P(ganjil) + P(genap)= 3/6 + 3/6 = 1 2. Sebuah kartu diambil secara random dari satu dek kartu bridge. Peristiwa A = terambil kartu hati, Peristiwa B = terambil kartu berlian. Hitung peluang munculnya terambilnya kartu hati atau kartu berlian, P (A  B) adalah:

b. Not Mutually Exclusive Events Dua kejadian A dan B dikatakan Not Mutually Exclusive Events, maka peristiwa dapat terjadi bersama- sama. P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) Karena A dan B tidak saling asing, sehingga P(A  B)  0 S AB A B

Contoh : Sebuah kartu diambil secara random dari satu dek kartu bridge. Peristiwa A = terambil kartu hati, peristiwa B terambil kartu Ace, maka P (A  B) adalah:

C). Complementary Events Dua kejadian A dan B dikatakan complementary, jika kejadian A tidak muncul, maka kejadian B pasti muncul. P(A) + P(B) = 1 atau P(B) = P(Ac) P(Ac) = 1 - P(A) karena: Ac  A = S, N(Ac  A) = N(S) P(S) =1 = P(Ac  A) = P(Ac) + P(A) Maka P(Ac) = 1- P(A) S A Ac

Contoh: Sebuah dadu telah dibuat sedemikian rupa sehingga dalam jangka panjang sisi-sisi dadu itu akan nampak di alas dalam frekuensi relative sebagai berikut. Sisi dengan titik 1 2 3 4 5 6 Frekuensi Relatif 0,13 0,18 0,16 0,15 0,20 Ruang sampel pelemparan dadu satu kali adalah S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Peristiwa A kejadian nampak muka genap, mempunyai probabilitas P (A) = 0,18 +0,16 + 0,20 = 0,54 sedangkan Ac = titik ganjil, mempunyai probabilitas P(Ac) = 1 - P(A) = 1 - 0,54 = 0,46 atau = 0,13 + 0,18 + 0,15 = 0,46

G. Aturan perkalian 1. Kejadian bebas Ada dua aturan perkalian yaitu untuk peristiwa bebas (independent) dan peristiwa yang tidak bebas (dependent) 1. Kejadian bebas Dua kejadian A dan B dikatakan bebas satu sama lain jika munculnya kejadian A tidak akan berpengaruh terhadap peluang munculnya kejadian B. Untuk kejadian bebas berlaku P (A  B) = P(A) X P(B) Contoh 1. Probabilitas muncul muka 1 dalam pelemparan sebuah dadu adalah 1/6, muncul muka 2 adalah 1/6 . Pada pelemparan dadu keluarnya muka 1 tidak tergantung keluar dan tidaknya muka 2 sehingga:

Contoh 2. Seorang mekanik melakukan seleksi terhadap 2 sprayer A dan B untuk dipakai menyemprot gulma. Peluang mendapatkan sprayer A yang baik adalah 0,95 dan peluang mendapat sprayer B yang baik adalah 0,95. Dengan demikian peluang mendapat sprayer A dan B yang baik adalah : P(A baik  B baik) = P(A baik) X P(B baik) = 0,9 x 0,95 = 0,855

G. Aturan perkalian 2. Kejadian tidak bebas Peristiwa dependent adalah kejadian yang terjadi jika kejadian lainnya sudah terjadi atau disebut peluang bersyarat. Peluang kejadian A terjadi jika kejadian B sudah terjadi dan ditulis dengan P(A/B) (dibaca kejadian A jika B), atau peluang bersayarat A jika B telah terjadi, Pada peristiwa dependent berlaku P (A  B) = P(A) X P(B/A)

Contoh Sebuah kartu diambil dari sebuah kotak remi dengan isi 52 buah lembar kartu. A adalah kejadian mendapat kartu merah dan kejadian B adalah kejadian mendapat kartu bergambar. (jack, queen, king). Maka berapakah peluang munculnya kejadian A dan B secara bersama- sama? Peluang kejadian A adalah peluang mendapat kartu berwarna merah yaitu P(A) =26/52 Peluang muncul kejadian B jika kejadian A sudah terjadi adalah Peluang mendapat kartu bergambar dari semua kartu berwama merah yang besarnya adalah P(B/A)=6/26. Sehingga :

Teorema Bayes Menujukkan bagaimana probabilitas tak bersyarat P(Ai) dari kejadian dari partisipasi (A1,….A2) diubah menjadi probabilitas bersyarat P(A1.B) setelah informasi tambahan bahwa B terjadi diperoleh. Teorema bayes merupakan Statistical decision theory

Contoh penerapan Teori Bayes Andaikan dari 1000 orang sarjana yang bekerja pada suatu instansi 60 % adalah laki-laki (A), dan 40% perempuan (Ac), dan B menunjukkan sifat “lulusan UPN”. Jika kita ketahui bahwa P(B/A)=0,55 (55% sarjana laki-laki lulusan UPN) dan P(B/Ac)= 0,35 (35% sarjana perempuan lulusan UPN), maka berapa persen sarjana lulusan UPN yang bekerja di instansi adalah lulusan laki-laki. 390 180 210 220 A= pria Ac= wanita

390 180 210 220 A= pria Ac= wanita

Soal Latihan Sebuah kartu diambil secara random dari dek kartu bridge, dimana A= Kartu yang terambil Ace B= Kartu yang terambil Hati C= Kartu yang terambil Berlian D= Kartu yang terambil Merah E= Kartu yang terambil Hitam Carilah : B C b. B  C c. B  C  E d. A  C Dc f. (B  C)c 2. Sebuah kotak berisi empat bola bernomor 1, 2, 3, 4. Eksperimen adalah pengambilan bola dalam kotak. Tunjukkanlah himpunan elemen-elem dari Peristiwa A (pengambilan dua bola dengan jumlah kedua nomor adalah genap). Peristiwa B (pengambilan dua bola dengan jumlah kedua nomor  5) Peristiwa C (pengambilan dua bola dengan jumlah kedua ganjil)

3. Jika X menunjukkan Indeks Prestasi seorang mahasiswa dan B = {0 < X  2}, dan C = {1,5 < X  3}, . Carilah : AC b. AC c. BC d. AB e. Ac f. Ac  C 4. Berapa cara yang mungkin dibentuk dari tiga huruf dengan menggunakan huruf a,b,c, d dan e. 5. Seorang mempunyai 9 kemeja, 6 celana dan 3 pasang sepatu. Hitunglah banyaknya cara seseorang dapat berpakaian secara berbeda.

Probabilitas seorang mahasiswa jurusan Agroteknologi mendapat nilai A, B, C, D, E pada mata kuliah statistika adalah berturut-turut 0,75; 0,26; 0,40; 0,11. 0,60. Hitunglah Probabilitas seseorang mahasiswa mendapat nilai A atau B Probabilitas seseorang mahasiswa tidak mendapat nilai E Kotak berisi 20 kelereng merah (M), 18 Hijau (H), 22 kuning (K) diaduk dan diambil secara acak tidak dilakukan pengembalian. Hitunglah probabilitas terambil kelereng merah atau kuning. Suatu dadu dimodifikasi sehingga angka tiga muncul dua kali lebih sering dari angka-angka lainnya. Berapakah peluang dari semua keluaran yang mungkin? Berapakah peluang bahwa angka ganjil akan muncul ketika dadu tersebut digulingkan? 9. Di suatu jalan, peluang terjadinya kecelakaan diketahui adalah 0,075. Apabila diketahui karakteristik antar peristiwa adalah independen. Hitung peluang dari satu tahun masehi kabisat peluang terjadinya 1 kecelakaan dan peluang terjadinya maksimal 5 kecelakaan.

Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Berapakah peluang sebuah bola berwarna biru terpilih jika diambil sembarang bola dari kotak tersebut? Berapakah peluang seseorang memenangkan undian 6/49, yaitu pengambilan 6 bilangan (tanpa menghiraukan urutannya) dari kumpulan 49 bilangan secara benar. Data angket kesan seseorang terhadap buah-buahan adalah sebagai berikut : Senang Apel atau P(A) =9,8 %, senang Durian atau P(B) = 22,9 %, senang Mangga atau P(C) = 12,1 %, senang Apel dan Durian atau P(AB) = 5,1%, senang Apel dan Mangga atau P(AC)=3,7% dan senang Durian dan Mangga atau P(BC) = 6,0%. Hitunglah banyaknya orang yang senang paling sedikit 1 jenis buah-buahan

13. Informasi Indeks Prestasi mahasiswa disajikan pada tabel berikut Jenis Kelamin Indeks Prestasi A1 0,00-1,00 A2 1,01-2,00 A3 2,01-3,00 A4 3,01-4,00 L=laki-laki 10 20 30 15 P=perempuan 10. 25 45 Hitunglah : Probabilitas mahasiswa mempunyai indeks prestasi 3,01-4,00 Probabilitas mahasiswa mempunyai indeks prestasi lebih besar dari 1,00 P(A1/L) P(A3/P) P(A4/L)

Soal Suatu pertemuan ilmiah diikuti oleh 20 mahasiswa Program Studi Agroteknologi. Apabila untuk kelancaran acara tersebut, maka perlu dibentuk panitia kecil yang beranggotan 6 orang mahasiswa. Berapa cara penunjukkan panitia kecil tersebut. Berapa kemungkinan cara duduk anggota panitia kecil tersebut, apabila mereka duduk melingkar Apabila disediakan 7 kamar bagi seluruh peserta acara tersebut, terdiri dari 3 kamar dapat diisi 2 orang, 2 kamar dapat diisi 3 orang dan kamar selebihnya dapat diisi 4 orang, maka berapakah kemungkinan cara pembagian kamar tersebut ?

Soal Sebuah kartu diambil secara random dari satu dek kartu bridge. A adalah peristiwa terambilnya kartu berwarna hitam dan B adalah peristiwa terambilnya kartu bergambar. Berapakah peluang terambilnya kartu berwarna hitam atau kartu bergambar Gambarkan operasi peluang tersebut dalam diagram Venn dan disebut apakah peristiwa / kejadian pada soal

Soal Sebuah kotak berisi 35 bola yang terdiri dari 15 berwarna merah, 8 berwarna kuning dan 12 berwarna hijau. Pada masing-masing bola merah diberi nomor urut 1 - 15, bola kuning 1 - 8 dan bola hijau diberi nomor 1 - 12. A adalah kejadian mendapatkan bola berwarna hijau dan kejadian B adalah kejadian mendapatkan bola yang bernomor bilangan prima. Berapakah peluang munculnya kejadian mendapatkan bola bernomor bilangan prima jika kejadian munculnya bola berwarna hijau ? Berapakah peluang munculnya kejadian bola berwarna hijau dan kejadian mendapatkan bola yang bernomor bilangan prima secara bersama- sama?

Dari sekumpulan 100 orang mahasiswa, terdapat 42 orang belajar matematika, 68 orang belajar psikologi, 54 orang belajar sejarah, 22 orang belajar matematika dan sejarah, 25 orang belajar matematika dan psikologi, 7 orang belajar sejarah dan tidak belajar matematika atau psikologi, 10 orang belajar ketiga pelajaran tersebut dan 8 orang tidak belajar ketiganya. Gambarkan diagram Venn berdasarkan data tersebut di atas Apabila dipilih secara random satu mahasiswa : Hitunglah probabilitas bahwa dia adalah mahasiswa yang belajar sejarah dan psikologi, tetapi tidak belajar matematika Hitunglah probabilitas bahwa dia adalah mahasiswa yang terpilih adalah belajar sejarah ternyata mengambil ketiga pelajaran tersebut Hitunglah probabilitas bahwa mahasiswa yang terpilih hanya belajar matematika

Membuat diagram Venn 42 matematika (M) 68 psikologi, (P) 54 sejarah, (S) 22 matematika dan sejarah, 25 matematika dan psikologi, 7 orang belajar sejarah dan tidak belajar matematika atau psikologi, 10 orang belajar ketiga pelajaran 8 orang tidak belajar ketiganya. 5 15 18 10 12 25 7 Sejarah 8

Apabila dipilih secara random satu mahasiswa : 5 7 12 10 25 18 15 Matematika Psikologi Sejarah 8 S Apabila dipilih secara random satu mahasiswa : Hitunglah probabilitas bahwa dia adalah mahasiswa yang belajar sejarah dan psikologi, tetapi tidak belajar matematika

Apabila dipilih secara random satu mahasiswa : 5 7 12 10 25 18 15 Matematika Psikologi Sejarah 8 S Apabila dipilih secara random satu mahasiswa : Hitunglah probabilitas bahwa mahasiswa yang terpilih adalah belajar sejarah dan mengambil ketiga pelajaran tersebut

5 7 12 10 25 18 15 Matematika Psikologi Sejarah 8 S Hitunglah probabilitas bahwa mahasiswa yang terpilih hanya belajar matematika