Model Antrian & Model Trafik Rekayasa Trafik Sukiswo sukiswok@yahoo.com sukiswo@elektro.ft.undip.ac.id Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Outline Overview Sistem Antrian Karakteristik proses antrian Notasi Dasar sistem antrian Model Trafik Suara/Voice Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Sistem Antrian Kedatangan utk layanan Menunggu utk layanan Mendapat layanan Meninggalkan sistem Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Sistem Antrian Umum Rekayasa Trafik, Sukiswo

Karakteristik Proses Antrian Pola kedatangan Pola layanan Disiplin antrian Kapasitas sistem Jumlah kanal layanan Jumlah tingkat/stages layanan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Pola Kedatangan Stochastic Distribusi probabilitas Kedatangan tunggal/single atau batch Kelakuan pelanggan Pelanggan sabar Menunggu selamanya Pelanggan tidak sabar Menunggu utk suatu perioda waktu dan memutuskan utk pergi Melihat antrian panjang dan memutuskan tdk bergabung Mengubah barisan utk menunggu Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Pola Kedatangan Apakah time dependent? Pola kedatangan Stationary (time independent – probability distribution) Pola kedatangan Nonstationary Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Pola Layanan Distribusi utk waktu layanan Layanan tunggal/single atau batch (mesin paralel) Proses layanan tergantung jumlah pelanggan menunggu (state dependent) Layanan sangat cepat  masih memerlukan antrian? Tergantung juga pada kedatangan Mengasumsikan mutually independent Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Disiplin Antrian Cara pelanggan-pelanggan mendapatkan layanan First come, first serve Last come, first serve Random serve Priority serve Preemptive Nonpreemptive Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Kapasitas Sistem Kapasitas terbatas Ukuran sistem maksimum Kapasitas tdk terbatas Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Jumlah Kanal Layanan Sistem antrian multiserver Single line service Multiple line service Rekayasa Trafik, Sukiswo

Tingkat/Stages Layanan Single stage Multiple stages Tanpa feedback (Entrance Exam) Dg feedback (Manufacturing) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Notasi Antrian Notasi Kendall (1953) A / B / X / Y / Z A : Distribusi waktu antar kedatangan B : Distribusi waktu layanan X : # kanal layanan paralel Y : Kapasitas sistem Z : Disiplin antrian Rekayasa Trafik, Sukiswo

Notasi Antrian A/B/X/Y/Z Rekayasa Trafik, Sukiswo

Notasi Antrian A/B/X/Y/Z M/M/3/∞/FCFS Waktu antar kedatangan exponential Waktu layanan exponential 3 server paralel Ruang tunggu tdk terbatas Disiplin antrian First-Come First-Serve Rekayasa Trafik, Sukiswo

Notasi Antrian A/B/X/Y/Z M/D/1 Waktu antar kedatangan exponential Waktu layanan Deterministic 1 server Ruang tunggu tdk terbatas (default) Disiplin antrian FCFS (default) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Notasi Antrian A/B/X/Y/Z M/M/1 M/M/c/k M/M/∞ Ek/M/1 M/G/1 G/M/m G/G/1 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Sistem Antrian - Dasar G/G/m Waktu antar kedatangan dg distribusi A(t) Waktu layanan dg distribusi B(x) m servers Cn: pelanggan ke-n memasuki sistem Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Sistem Antrian - Dasar n: waktu kedatangan utkCn tn: Waktu antar kedatangan (n – n-1) xn: service time for Cn Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Sistem Antrian - Dasar wn: waktu tunggu dlm antrian utk Cn sn: waktu dlm sistem utk Cn  (wn + xn) λ : laju kedatangan rata-rata µ : laju layanan rata-rata Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Notasi Diagram Waktu Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Sistem Antrian - Dasar N(t): # pelanggan dlm sistem@waktu t U(t): pekerjaan belum selesai/ unfinished @waktu t U(t) = 0  Sistem idle U(t) > 0  Sistem busy (t): # kedatangan pada (0,t) (t): # keberangkatan pada (0,t) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Sistem Antrian - Dasar Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Sistem Antrian - Dasar t : laju kedatangan t = (t)/t = # kedatangan/waktu (t) : waktu total semua pelanggan dlm sistem (pelanggan-detik) Tt = (t)/t = waktu sistem/pelanggan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Sistem Antrian - Dasar Rata-rata # pelanggan dlm sistem Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Hasil Little Jumlah rata-rata pelanggan dlm sistem antrian sama dg laju kedatangan pelanggan ke sistem tsb, dikalikan rata-rata waktu yg dihabiskan dlm sistem” Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Hasil Little Nq = rata-rata # pelanggan dlm antrian  = laju kedatangan W = rata-rata waktu dihabiskan dlm antrian Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Hasil Little Ns = rata-rata # pelanggan dlm fasilitas layanan  = laju kedatangan x = rata-rata waktu dihabiskan dlm fasilitas layanan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Model teletrafik Dua fase dalam pemodelan Pemodelan incoming trafik -> model trafik Pemodelan sistem -> model sistem Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Dasar Pemodelan Deskripsi Trafik Diagram Transisi Kondisi Pola Kedatangan Panggilan Pola Lamanya Waktu Pendudukan Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Deskripsi Trafik Pola lamanya waktu pendudukan Pola lamanya waktu pelayanan Sistem Pola kedatangan panggilan Berkas sempurna Berkas tak sempurna Sistem rugi Sistem tunggu FIFO Etc. Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Deskripsi Trafik (2) Salah satu pendeskripsian matematis dari trafik adalah birth and death process (Proses kelahiran dan kematian) Merupakan salah satu kasus Markov chain dimana perubahan keadaan (state) terjadi selangkah demi selangkah (one step at a time) Dalam jaringan telepon, proses kelahiran adalah proses datangnya panggilan sedangkan proses kematian adalah proses berakhirnya panggilan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Deskripsi Trafik (3) Pola kedatangan panggilan dan pola pendudukan dideskripsikan dengan distribusi probabilitas Bila deskripsi pola trafik dengan distribusi probabilitasnya serta disiplin operasinya diketahui, maka banyak hal dapat diketahui (harga rata-rata trafik, blocking dst.) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Diagram Transisi Kondisi Jumlah saluran dalam berkas yang diduduki disebut kondisi (keadaan/state) Proses kedatangan panggilan atau berakhirnya pendudukan dapat merubah kondisi berkas yang bersangkutan Kondisi dan perubahannya dapat digambarkan oleh suatu diagram transisi kondisi Kondisi : bulatan dan angka Arah transisi : panah b1 b2 bn-1 bn b0 1 2 n m1 m2 m3 mn mn+1

Diagram Transisi Kondisi (2) Kondisi menyatakan jumlah saluran atau peralatan yang diduduki Probabilitas kondisi menyatakan lamanya suatu kondisi berlangsung di dalam selang waktu tertentu (1 jam sibuk) Probabilitas transisi menunjukkan peluang terjadinya transisi dari suatu keadaan ke keadaan yang lain di dalam selang waktu yang sangat kecil (dt) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola kedatangan panggilan (Call Arrival Process) Call arrival dapat diartikan percobaan pertama untuk menghubungkan beberapa perangkat bagi terbentuknya suatu panggilan (first attempt to connect some device for the purpose of establishing a call)  event sesaat (instantaneous) Pengertian di atas merupakan pengertian yang legitimate karena proses pendudukan perangkat (seizing) pada umumnya sangat singkat dibandingkan dengan holding time-nya setelah seizure Dengan fakta-fakta tersebut di atas marilah kita turunkan distribusi kedatangan panggilan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola kedatangan panggilan (Call Arrival Process) (2) Misalkan proses call arrival (seperti yang sudah didefiniskan pada slide sebelumnya) berlangsung terus pada selang waktu yang sangat lama dan bayangkan selang waktu yang lama tersebut dibagi menjadi interval-interval yang lebih kecil dengan durasi dt Dengan membuat agar dt sangat singkat, kita dapat menjamin bahwa peluang terjadinya kedatangan lebih dari satu (pada selang dt) dapat diabaikan dt dt dt T Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola kedatangan panggilan (Call Arrival Process) (3) Misalkan ‘a’ menyatakan jumlah rata-rata kedatangan per satuan waktu Satu satuan waktu terdiri dari ‘1/dt’interval Maka peluang suatu interval (yang dipilih secara acak) mengandung sebuah kedatangan adalah a/(1/dt) = a.dt = dengan kata lain ini adalah peluang meunculnya pangggilan dalam interval dt Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola kedatangan panggilan (Call Arrival Process) (4) Peluang bahwa ada tepat (exactly) sebanyak ‘x’ panggilan yang terjadi selama selang waktu T adalah merupakan peluang bahwa ada sebanyak ‘x’ dari ‘T/dt’ interval yang mengandung panggilan (dt dipilih agar T/dt merupakan sebuah integer) Maka ‘x’ merupakan distribusi binomial, sehingga distribusi peluangnya adalah : ( ( ( ( T ( T ( T ( T (T/dt)-x x ( - 1 - 2 - x +1 (1-adt) (a/dt) … dt dt dt dt px= x ! T(T-dt)(T-2dt)…(T-x-1dt)(1-adt)-x {(1-adt)1/dt}T ax = x! Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola kedatangan panggilan (Call Arrival Process) (5) Bila dt  0, maka (1 – adt)1/dt  e-a, maka px menjadi : Ini merupakan distribusi Poisson Jadi pola kedatangan panggilan berdistribusi Poisson Mean value dari distribusi Poisson di atas adalah at demikian pula dengan variansinya akan berharga at  ciri distribusi Poisson Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola antar waktu kedatangan (Interarrival time distribution) Seperti sebelumnya, sumbu waktu dibagi kedalam interval-interval yang lebih kecil ‘dt’ Misalkan dipilih suatu waktu secara acak (random instant) Selang waktu sampai terjadinya suatu panggilan berikutnya akan melebihi ‘t’, jika dan hanya jika interval pertama, kedua … ke-’(t/dt)’ tidak mengandung kedatangan panggilan. Peluang terjadinya event ini adalah ‘(1-adt)t/dt’ yang akan cenderung menjadi ‘e-at’ jika ‘dt’ mendekati nol Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola antar waktu kedatangan (Interarrival time distribution) Maka fungsi distribusi dari t (yaitu peluang bahwa selang waktu sampai panggilan berikutnya lebih kecil dan sama dengan t) adalah F(t) = 1 – e-at Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola antar waktu kedatangan (Interarrival time distribution) Probability density function dari F(t) adalah f(t) = dF(t)/dt = ae-at Ini adalah distribusi eksponensial negatif Mean value dari ‘f(t)’ adalah ‘1/a’ yang merupakan rata-rata selang waktu antar kedatangan panggilan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola lamanya waktu pendudukan (service time distribution) Diasumsikan bahwa sebuah panggilan berakhir secara acak Dengan mengambil waktu awal (origin) merupakan saat dimulainya panggilan, maka peluang bahwa panggilan berakhir dalam selang (t,t+dt] adalah mdt (analogi dengan kedatangan panggilan) Peluang bahwa waktu pelayanan lebih besar dari t (H(t)) adalah sama dengan peluang bahwa panggilan tidak berakhir dalam selang (0,t] t t+dt Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola lamanya waktu pendudukan (service time distribution) Dengan mempartisi selang (0,t] kedalam sejumlah n interval dan dengan membuat agara dt=t/n maka peluang berakhirnya panggilan setelah t (waktu pelayanan melebihi t) adalah (1 – mdt)n Bila n menuju 0 maka H(t) = e-mt Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola lamanya waktu pendudukan (service time distribution) Peluang terjadinya pendudukan yang berakhir pada waktu kurang dari t adalah F(t) = 1 - e-mt Maka probability density function dari waktu pelayanan adalah f(t) = me-mt Dengan demikian waktu pendudukan berditribusi eksponensial negatif dengan mean m-1 m disebut laju waktu pelayanan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Pola lamanya waktu pendudukan (service time distribution) (3) Penyesuaian dengan notasi di diktat kuliah a = l m = 1/h l = harga rata-rata kedatangan panggilan 1/ l = selang waktu antar kedatangan panggilan m = laju berakhirnya panggilan 1/ m = selang waktu antar berakhirnya pendudukan h = harga rata-rata waktu pendudukan 1/h = selang waktu antar pendudukan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Akan dicari peluang bersyarat : suatu panggilan datang pada selang (t,Dt) bila diketahui bahwa selama waktu t tidak ada panggilan datang Bila x adalah panggilan yang datang, maka kita akan mencari P(x  t+Dt | x > t) t t+Dt Pangggilan datang Tidak ada panggilan datang Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan P(x  t+Dt | x > t) = P(t < x  t+Dt) P(x > t) P (x > t) = e-lt ingat P(x>t) = 1- P(x t)=1 –(1- e-lt) = e-lt P(t < x  t+Dt) merupakan peluang bahwa (x >t dan x  t+Dt), atau bisa kita pandang juga sebagai usaha mencari peluang munculnya panggilan pada selang (t+ Dt) Maka P(t < x  t+Dt) =1– P(x  t) - P (x > t+ Dt) =1– P(x  t) – (1 – P (x  t+ Dt)) = P (x  t+ Dt) – P(x  t) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan P(t < x  t+Dt) = 1– P(x  t) - P (x > t+ Dt) = 1– P(x  t) – (1 – P (x  t+ Dt)) = P (x  t+ Dt) – P(x  t) = (1 – e-l(t+ Dt)) – (1 – e- lt) = e- lt – e-l(t+ Dt) Maka P(t < x  t+Dt) P(x  t+Dt | x > t) = P(x > t) e- lt – e-l(t+ Dt) = 1-(1-e- lt) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan P(t < x  t+Dt) P(x  t+Dt | x > t) = P(x > t) e- lt – e-l(t+ Dt) = 1-(1-e- lt) e- lt – e-l(t+ Dt) = e- lt = 1 – e-lDt Bila kita uraikan menggunakan deret Mc Laurin, akan kita peroleh (l.Dt)2 (l.Dt)3 … P(x  t+Dt | x > t) = l.Dt - + = P (Dt) 2! 3! Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Bila Dt  0 maka P(Dt)  l.Dt + 0(Dt) 0(Dt) merupakan fungsi Dt yang harganya akan lebih cepat menjadi 0 daripada Dt nya sendiri bila Dt mendekati nol P(Dt) tak tergantung t Hanya mungkin terjadi satu peristiwa dalam suatu waktu tertentu, karena bila terjadi lebih dari satu peristiwa maka probabilitasnya akan sebanding dengan Dt2 (atau Dt3 dst.) dan ini berarti akan menjadi nol (bila Dt mendekati nol) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kita sudah memperoleh hasil sebagai berikut (dengan Dt mendekati nol (dt)): Peluang (datangnya 1 panggilan dalam waktu dt) = lt + 0(dt) l=laju rata-rata datangnya panggilan Dengan analogi : Peluang (berakhirnya 1 pendudukan dalam waktu dt) = mt + 0(dt) m=1/h= laju rata-rata berakhirnya panggilan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Bila kita gunakan koefisien kelahiran dan kematian : Peluang (datangnya 1 panggilan pada kondisi n dalam waktu dt) = bndt + 0(dt) Peluang (berakhirnya 1 panggilan pada kondisi n dalam waktu dt) = dndt + 0(dt) Peluang (terjadi lebih dari 1 peristiwa datang dan/atau berakhir dalam waktu dt) = 0(dt) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kondisi n pada saat t+dt dapat terjadi melalui beberapa kemungkinan : Kondisi pada t Kondisi pada (t+dt) Transisi Prob(transisi dlm dt/kondisi pada t) n Tak ada yang datang ataupun berakhir (1-bndt)(1-dndt)=1- bndt- dndt+0(dt) n-1 1 panggilang datang dan tak ada yang berakhir bn-1dt(1- dn-1dt)+0(dt)= bn-1dt+0(dt) n+1 Tak ada yang datang dan 1 pendudukan berakhir (1- bn+1dt)dn+1dt +0(dt)= dn+1dt+0(dt) Kondisi lainnya Lebih dari 1 transisi O(dt) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kita akan mencari probabilitas kondisi n pada waktu t : P(n,t) P(n,t+dt)=P(n,t)(1-bndt-dndt)+P(n-1,t)bn-1dt +P(n+1,t)dn+1dt+0(dt) (P(n,t+dt) – P(n,t))/dt =-(bn+dn) P(n,t)+ bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(dt) Bila dt mendekati nol : dP(n,t)/dt =-(bn+dn) P(n,t)+ bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(dt) Ini disebut persamaan kondisi dan berlaku untuk n=1,2,3,… Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Persamaan kondisi dapat diselesaikan dengan 2 kasus Kasus 1 : P(n,t) bukan fungsi waktu. Hal ini terjadi bila sistem dalam keadaan kesetimbangan statistik (statistical equilibrium) [jam sibuk dianggap merupakan keadaan yang setimbang] Kasus 2 : P(n,t) merupakan fungsi waktu Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kasus 1 Karena P(n,t) bukan fungsi waktu, maka dP(n,t)/dt = 0 (berlaku untuk semua harga n) Untuk n=0 : 0=-b0P(0)+d1P(1) b0P(0)=d1P(1) pers (1) Untuk n=1 : (b1+d1)P(1)=b0P(0)+d2P(2) pers (2) Untuk n=2 : (b2+d2)P(2)=b1P(1)+d3P(3) pers (3) Untuk n=3,4,dst. : (bm+dm)P(m)=bm-1P(m-1)+dm+1P(m+1) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kasus 1 (cont.) Substitusi dari persamaan (1) ke persamaan (2) dan seterusnya : b1P(1)=d2P(2) b2P(2)=d3P(3) b3P(3)=d4P(4) bmP(m)=dm+1P(m+1) Ini disebut persamaan kesetimbangan bm m m+1 dm+1 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kasus 2 : dP(n,t)/dt = -(bn+dn) P(n,t) + bn-1P(n-1,t) + dn+1P(n+1,t) + 0(dt) Untuk n=0 dP(0,t)/dt = -b0P(0,t) + d1P(1,t) Selisih aliran masuk dan keluar Aliran keluar dr kondisi n Aliran masuk ke kondisi n Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Untuk memudahkan solusi : Tak ada pendudukan yang berakhir : dn=0 Rate datangnya panggilan sama untuk semua kondisi : bn=a Maka (*) d(P0,t)/dt = -a P(n,t)+aP(n-1,t) untuk n1 (**) d(P0,t)/dt = -a P(0,t) untuk n=0 Untuk menyederhanakan penyelesaian, digunakan syarat batas pada permulaan sistem (pada t=0 dan n=0) : P(n,0) = 1 untuk n = 0 dan P(n,0) = 0 untuk n  0 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Penyelesaian untuk P(0,t) dapat diperoleh dari persamaan (**): P(0,t) = e-at,harga ini bila dimasukkan ke persamaan (*) n=1, akan didapat : dP(1,t)/dt=-aP(1,t)+ae-at, bila persamaan ini diselesaikan, akan memberikan P(1,t)=at.e-at, kemudian persamaan tersebut digunakan untuk menyelesaikan P(2,t) Akan diperoleh dP(2,t)/dt=-aP(2,t)+a.at.e-at, yang bila diselesaikan akan menghasilkan P(2,t)=((at)2/2!)e-at Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Secara induksi akan diperoleh : Gambar P(n,t) untuk beberapa harga n dan t dapat dilihat di diktat Harga Mean =at Harga variansi = at (at)n Distribusi Poisson P(n,t)= e-at n! Rekayasa Trafik, Sukiswo

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan PDF = P (x  t) = 1 – P(x > t) Jadi PDF = F(t) =1 – P(0,t) = 1 – e-at pdf = f(t) = ae-at Peluang waktu interval panggilan lebih besar dari t atau peluang tidak ada panggilan yang datang selama waktu t (P(0,t)) (at)0 P(0,t)= e-at 0! P(0,t)= e-at Rekayasa Trafik, Sukiswo